2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章 第8节 曲线与方程.ppt

第八节曲线与方程 理 主干知识梳理 一 曲线与方程在直角坐标系中 如果某曲线C 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的坐标都是 2 以这个方程的解为坐标的点都是 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 这个方程的解 曲线上的点 二 求动点的轨迹方程的一般步骤1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点P x y 3 列式 列出动点P所满足的关系式 4 代换 依条件式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为关于x y的方程式 并化简 5 证明 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 基础自测自评 1 教材习题改编 方程x2 xy x表示的曲线是 A 一个点B 一条直线C 两条直线D 一个点和一条直线C 方程变为x x y 1 0 则x 0或x y 1 0 故方程表示直线x 0和直线x y 1 0 2 已知点P是直线2x y 3 0上的一个动点 定点M 1 2 Q是线段PM延长线上的一点 且 PM MQ 则Q点的轨迹方程是 A 2x y 1 0B 2x y 5 0C 2x y 1 0D 2x y 5 0D 由题意知 M为PQ中点 设Q x y 则P为 2 x 4 y 代入2x y 3 0得2x y 5 0 3 教材习题改编 若点P到直线x 1的距离比它到点 2 0 的距离小1 则点P的轨迹为 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线D 依题意 点P到直线x 2的距离等于它到点 2 0 的距离 故点P的轨迹是抛物线 5 一圆形纸片的圆心为O 点Q是圆内异于O的一点 点A在圆周上 把纸片折叠使点A与点Q重合 然后抹平纸片 折痕CD与OA交于P点 当A点运动时 点P的轨迹是 解析由条件知折痕CD垂直平分AQ 故 PQ PO PA PO OA OQ 故点P的轨迹是以O Q为焦点的椭圆 答案椭圆 关键要点点拨 1 曲线与曲线方程 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的 完备性与纯粹性 的影响 2 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 直接利用条件建立x y之间的关系或F x y 0 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 3 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 4 代入转移法 动点P x y 依赖于另一动点Q x0 y0 的变化而变化 并且Q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 直接法求轨迹方程 规律方法 直接法求曲线方程的一般步骤 1 建立合理的直角坐标系 2 设出所求曲线上点的坐标 把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程 3 化简整理这个方程 检验并说明所求的方程就是曲线的方程 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系 翻译 为代数方程 要注意 翻译 的等价性 典题导入 2014 海淀模拟 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离 那么平面内到定圆的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是 A 圆B 椭圆C 双曲线的一支D 直线 定义法求轨迹方程 听课记录 如图1 令定点A为定圆的圆心 动点M为定圆半径AP的中点 故 AM MP 此时M的轨迹为一个圆 圆心为A 半径为AM 故A可能 如图2 以F1为定圆的圆心 图1 F1P 为其半径 在F1P上截 MP MA PF1 r MF1 PM MF1 MA r F1A 由椭圆的定义可知 M的轨迹是以F1 A为焦点的椭圆 故B可能 图2 如图3 以F1为定圆的圆心 F1P 为其半径 延长F1P到点M 使得 MP MA 则有 MF1 PM r MF1 MA r F1A 由双曲线的定义可知 M的轨迹是以F1 A为焦点的双曲线的右支 故C可能 图3 如图4 定点A在定圆F上 则满足题意的点M的轨迹是以F为端点的一条射线 故D不可能 答案D 图4 规律方法 1 运用圆锥曲线的定义求轨迹方程 可从曲线定义出发直接写出方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出方程 2 定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线 其方程是什么形式的方程的情况 利用条件把待定系数求出来 使问题得解 代入法求轨迹方程 规律方法 代入法也叫坐标转移法 是求轨迹方程常用的方法 其题目特征是 点P的运动与点Q的运动相关 且点Q的运动有规律 有方程 只需将P的坐标转移到Q的方程中 整理即可得P的轨迹方程 思路导析 1 利用椭圆的定义求a 2 分直线l与x轴垂直和不垂直两种情况求解 直线l与x轴不垂直时 借助于一元二次方程根与系数的关系及消参法等知识求轨迹方程 高手支招 参数法是指先引入一个中间变量 参数 使所求动点的横 纵坐标x y间建立起联系 然后再从所求式子中消去参数 得到x y间的直接关系式 即得到所求轨迹方程 体验高考 2013 新课标全国卷 高考 已知圆M x