2018版高中数学_第一章 计数原理 1.1 第2课时 分类计数原理与分步计数原理的应用课件 苏教版选修2-3

第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用 第1章1 1两个基本计数原理 学习目标巩固分类计数原理和分步计数原理 并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一两个计数原理的区别与联系 知识点二两个计数原理的综合应用 解决较为复杂的计数问题 一般要将两个计数原理综合应用 使用时要做到目的明确 层次分明 先后有序 还需特别注意以下两点 1 合理分类 准确分步 处理计数问题 应扣紧两个原理 根据具体问题首先弄清楚是 分类 还是 分步 要搞清楚 分类 或者 分步 的具体标准 分类时需要满足两个条件 类与类之间要互斥 保证不重复 总数要完备 保证不遗漏 也就是要确定一个合理的分类标准 分步时应按事件发生的连贯过程进行分析 必须做到步与步之间互相独立 互不干扰 并确保连续性 2 特殊优先 一般在后 解含有特殊元素 特殊位置的计数问题 一般应优先安排特殊元素 优先确定特殊位置 再考虑其他元素与其他位置 体现出解题过程中的主次思想 题型探究 例1用0 1 2 3 4五个数字 1 可以排成多少个三位数字的电话号码 解三位数字的电话号码 首位可以是0 数字也可以重复 每个位置都有5种排法 共有5 5 5 53 125 种 解答 类型一排数问题 2 可以排成多少个三位数 解三位数的首位不能为0 但可以有重复数字 首先考虑首位的排法 除0外共有4种方法 第二 三位可以排0 因此 共有4 5 5 100 种 解答 3 可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数 解被2整除的数即偶数 末位数字可取0 2 4 因此 可以分两类 一类是末位数字是0 则有4 3 12 种 排法 一类是末位数字不是0 则末位有2种排法 即2或4 再排首位 因0不能在首位 所以有3种排法 十位有3种排法 因此有2 3 3 18 种 排法 因而有12 18 30 种 排法 即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数 解答 引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数 解完成 组成无重复数字的四位奇数 这件事 可以分四步 第一步定个位 只能从1 3中任取一个 有2种方法 第二步定首位 把1 2 3 4中除去用过的一个还有三个 可任取一个 有3种方法 第三步 第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法 再排十位有2种方法 由分步计数原理知共有2 3 3 2 36 个 解答 对于组数问题 应掌握以下原则 1 明确特殊位置或特殊数字 是我们采用 分类 还是 分步 的关键 一般按特殊位置 末位或首位 分类 分类中再按特殊位置 或特殊元素 优先的策略分步完成 如果正面分类较多 可采用间接法求解 2 要注意数字 0 不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位 反思与感悟 解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性 其中四个数字全是2或3的情况不合题意 所以符合题意的四位数有24 2 14 个 跟踪训练1用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有 个 用数字作答 答案 解析 14 例2如图 小明从街道的E处出发 先到F处与小红会合 再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 类型二抽取 分配 问题 解析从E点到F点的最短路径有6条 从F点到G点的最短路径有3条 所以从E点到G点的最短路径条数为6 3 18 答案 解析 18 解决抽取 分配 问题的方法 1 当涉及对象数目不大时 一般选用列举法 树状图法 框图法或者图表法 2 当涉及对象数目很大时 一般有两种方法 直接使用分类计数原理或分步计数原理 一般地 若抽取是有顺序的就按分步进行 若是按对象特征抽取的 则按分类进行 间接法 去掉限制条件 计算所有的抽取方法数 然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可 反思与感悟 跟踪训练2有四位同学参加三项不同的竞赛 1 每位学生必须参加且只能参加一项竞赛 有多少种不同结果 解学生可以选择竞赛项目 而竞赛项目对于学生无条件限制 所以每位学生均有3个不同的机会 要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行 因此需分四步 而每位学生均有3个不同选择 所以用分步计数原理可得3 3 3 3 34 81 种 不同结果 解答 2 每项竞赛只许一位学生参加 有多少种不同的结果 解竞赛项目可挑选学生 而学生无选择项目的机会 每一个项目可挑选4位不同学生中的一位 要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行 因此需分三步 用分步计算原理可得4 4 4 43 64 种 不同结果 解答 命题角度1涂色问题例3将红 黄 蓝 白 黑五种颜色涂在如图所示 田 字形的4个小方格内 每格涂一种颜色 相邻两格涂不同的颜色 如果颜色可以反复使用 共有多少种不同的涂色方法 类型三涂色与种植问题 解答 解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上 有5种不同的涂法 1 当第2个 第3个小方格涂不同颜色时 有4 3 12 种 不同的涂法 第4个小方格有3种不同的涂法 由分步计数原理可知有5 12 3 180 种 不同的涂法 2 当第2个 第3个小方格涂相同颜色时 有4种涂法 由于相邻两格不同色 因此 第4个小方格也有4种不同的涂法 由分步计数原理可知有5 4 4 80 种 不同的涂法 由分类计数原理可得共有180 80 260 种 不同的涂法 引申探究若本例中的区域改为如图所示 其他条件均不变 则不同的涂法共有多少种 解答 解依题意 可分两类情况 不同色 同色 第一类 不同色 则 所涂的颜色各不相同 我们可将这件事情分成4步来完成 第一步涂 从5种颜色中任选一种 有5种涂法 第二步涂 从余下的4种颜色中任选一种 有4种涂法 第三步涂 与第四步涂 时 分别有3种涂法和2种涂法 于是由分步计数原理可得 不同的涂法为5 4 3 2 120 种 第二类 同色 则 不同色 我们可将涂色工作分成三步来完成 第一步涂 有5种涂法 第二步涂 有4种涂法 第三步涂 有3种涂法 于是由分步计数原理得 不同的涂法有5 4 3 60 种 综上可知 所求的涂色方法共有120 60 180 种 涂色问题的四个解答策略涂色问题是考查计数方法的一种常见问题 由于这类问题常常涉及分类与分步 所以在高考题中经常出现 处理这类问题的关键是要找准分类标准 求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解 常用的方法有 1 按区域的不同以区域为主分步计数 并用分步计数原理计算 2 以颜色为主分类讨论法 适用于 区域 点 线段 问题 用分类计数原理计算 3 将空间问题平面化 转化为平面区域的涂色问题 4 对于不相邻的区域 常分为同色和不同色两类 这是常用的分类标准 反思与感悟 跟踪训练3如图所示 将四棱锥S ABCD的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端点异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 解答 解由题意 四棱锥S ABCD的顶点S A B所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当S A B染色确定时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若C染2 则D可染3或4或5 有3种染法 若C染4 则D可染3或5 有2种染法 若C染5 则D可染3或4 有2种染法 由分类计数原理知 当S A B染法确定时 C D有7种染法 由分步计数原理得 不同的染色方法有60 7 420 种 命题角度2种植问题例4将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中 每块种植一种作物 且相邻的试验田不能种同一种作物 则不同的种植方法共有 种 答案 解析 42 解析分别用a b c代表3种作物 先安排第一块田 有3种方法 不妨设放入a 再安排第二块田 有2种方法b或c 不妨设放入b 第三块也有2种方法a或c 1 若第三块田放c 第四 五块田分别有2种方法 共有2 2 4 种 方法 2 若第三块田放a 第四块有b或c2种方法 若第四块放c 第五块有2种方法 若第四块放b 第五块只能种作物c 共1种方法 综上 共有3 2 2 2 2 1 42 种 方法 按元素性质分类 按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法 区分 分类 与 分步 的关键 是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情 分类中的每一种方法都能完成这件事情 而分步中的每一种方法不能完成这件事情 只是向事情的完成迈进了一步 反思与感悟 跟踪训练4从黄瓜 白菜 油菜 扁豆4种蔬菜品种中选出3种 分别种在不同土质的三块土地上 其中黄瓜必须种植 求有多少种不同的种植方法 解答 解方法一 直接法 若黄瓜种在第一块土地上 则有3 2 6 种 不同的种植方法 同理 黄瓜种在第二块 第三块土地上 均有3 2 6 种 不同的种植方法 故不同的种植方法共有6 3 18 种 方法二 间接法 从4种蔬菜中选出3种 种在三块地上 有4 3 2 24 种 其中不种黄瓜有3 2 1 6 种 故不同的种植方法共有24 6 18 种 当堂训练 1 用0 1 2 3组成没有重复数字的四位数 其中奇数有 个 答案 2 3 4 5 1 解析 解析个位数只能是1或3 所以有2种选择 首位不能为0 则有2种选择 剩下的2个数字 百位有2种选择 十位数字只有1种选择 由分步计数原理 奇数有2 2 2 1 8 个 8 2 在2 3 5 7 11这五个数字中 任取两个数字组成分数 其中假分数的个数为 答案 2 3 4 5 1 解析 解析当分子为11时 分母可为2 3 5 7 所以可构成4个假分数 当分子为7时 分母可为2 3 5 所以可构成3个假分数 当分子为5时 分母可为2 3 所以可构成2个假分数 当分子为3时 分母可为2 所以可构成1个假分数 由分类计数原理可得 假分数的个数为4 3 2 1 10 10 3 有5名同学被安排在周一至周五值日 每人值日一天 已知同学甲只能在周三值日 那么这5名同学值日顺序的安排方案共有 种 答案 2 3 4 5 1 解析 解析安排同学甲周三值日 其余4名同学的安排方案分四个步骤完成 第一步 安排第一位同学 有4种方法 第二步 安排第二位同学 有3种方法 第三步 安排第三位同学 有2种方法 第四步 安排第四位同学 有1种方法 根据分步计数原理知 这5名同学值日顺序的安排方案共有4 3 2 1 24 种 24 4 如图所示 在A B间有四个焊接点 若焊接点脱落 则可能导致电路不通 今发现A B之间线路不通 则焊接点脱落的不同情况有 种 答案 2 3 4 5 1 解析 13 解析按照焊点脱落的个数进行分类 第一类 脱落一个焊点 只能是脱落1或4 有2种情况 第二类 脱落两个焊点 有 1 4 2 3 1 2 1 3 2 4 3 4 共6种情况 第三类 脱落三个焊点 有 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 共4种情况 第四类 脱落四个焊点 只有 1 2 3 4 1种情况 于是焊点脱落的情况共有2 6 4 1 13 种 2 3 4 5 1 5 如图 用4种不同的颜色涂入图中的矩形A B C D中 要求相邻的矩形涂色不同 则不同的涂法有 种 2 3 4 5 1 答案 解析 解析A有4种涂法 B有3种涂法 C有3种涂法 D有3种