2018-2019学年高中数学_第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第二课时 分段函数课件 新人教a版必修1

第二课时分段函数 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 情境导学 导入一某人去上班 由于担心迟到 所以一开始就跑步前进 等跑累了再走完余下的路程 可以明显地看出 这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数 想一想 用怎样的解析式表示这一函数关系呢 为解决这一问题 本节我们学习分段函数 导入二在现实生活中 常常使用表格描述两个变量之间的对应关系 比如 国内跨省市之间的邮寄信函 每封信函的重量和对应邮资如下表 想一想邮资M是信函重量m的函数吗 若是 其解析式是什么 据函数定义知M是m的函数 其解析式为M 知识探究 分段函数如果函数y f x x A 根据自变量x在A中不同的取值范围 有着不同的对应关系 则称这样的函数为分段函数 探究 怎样求分段函数的定义域 值域 答案 分段函数的定义域是各段定义域的并集 分段函数的值域是各段值域的并集 自我检测 1 分段函数求值 已知f x x N 则f 3 等于 A 2 B 3 C 4 D 5 A 解析 f 3 f 3 2 f 5 f 5 2 f 7 7 5 2 2 分段函数的定义域 已知f x 则f x 的定义域为 A R B 1 C 2 D 1 C 解析 因为f 1 1 2 1 2 所以f f 1 f 2 22 2 2 4 答案 4 3 分段函数求值 设函数f x 则f f 1 的值为 答案 2或3 4 分段函数求参数的值 已知f x 且f a 4 则a 题型一 分段函数求值 课堂探究 素养提升 解 2 当a 2时 a 1 3 即a 2 2 不合题意 舍去 当 2 a 2时 a2 2a 3 即a2 2a 3 0 所以 a 1 a 3 0 得a 1或a 3 因为1 2 2 3 2 2 所以a 1符合题意 当a 2时 2a 1 3 即a 2符合题意 综上可得 当f a 3时 a 1或a 2 2 若f a 3 求实数a的值 解 3 因为m 2 所以f m 2m 1 即2m 1 3m 5 解得m 4 又m 2 所以m的取值范围为 2 4 3 若f m 3m 5 m 2 求实数m的取值范围 变式探究1 本题中若将 2 中的f a 3改为f f a 3 求a 变式探究2 本题 3 中 若改为f m 3m 5 求m的取值范围 方法技巧 1 分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段 代入该段解析式求解即可 2 已知函数值求自变量的值时 应分别代入各段解析式中求解 以免丢解 要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍 3 已知f x 解关于f x 的不等式时 要先在每一段内求交集 最后求并集 4 求解形如f f a 的函数值问题 按从里到外的原则 先求f a 再求f f a 题型二 分段函数的解析式 例2 2018 成都高一检测 成都市出租车的现行计价标准是 路程在2km以内 含2km 按起步价8元收取 超过2km后的路程按1 9元 km收取 但超过10km后的路程需加收50 的返空费 即单价为1 9 1 50 2 85元 km 1 将某乘客搭乘一次出租车的费用f x 单位 元 表示为行程x 0 x 60 单位 km 的分段函数 2 某乘客的行程为16km 他准备先乘一辆出租车行驶8km后 再换乘另一辆出租车完成余下行程 请问 他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱 现实中要计等待时间且最终付费取整数 本题在计算时都不予考虑 解 2 只乘一辆车的车费为f 16 2 85 16 5 3 40 3 元 换乘2辆车的车费为2f 8 2 4 2 1 9 8 38 8 元 因为40 3 38 8 所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱 方法技巧分段函数模型的一般形式是 对于不同的自变量范围对应不同的函数解析式 求解分段函数模型问题应明确分段函数的 段 一定要分得合理 日常生活中的出租车计费 自来水费 电费 个人所得税的收取等 都是最简单的分段函数 即时训练2 1 小刘周末自驾游 早上8点从家出发 驾车3小时到达景区停车场 期间由于交通等原因 小刘的车所走的路程s 单位 km 与离家的时间t 单位 h 的函数关系式为s t 5t t 13 由于景区内不能驾车 小刘把车停在景区停车场 在景区玩到16点 小刘开车从停车场以60km h的速度沿原路返回 1 求这天小刘的车所走路程s 单位 km 与离家时间t 单位 h 的函数解析式 2 在距离小刘家60km处有一加油站 求这天小刘的车途经加油站的时间 备用例1 2017 衡阳一中高一期中 在扶贫活动中 为了尽快脱贫 无债务 致富 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5 8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙 并约定从该店经营的利润中 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后 逐步偿还转让费 不计息 在甲提供的资料中有 这种消费品的进件为每件14元 该店月销量Q 百件 与销售价格P 元 的关系如图所示 每月需要各种开支2000元 1 当商品的价格为每件多少元时 月利润扣除职工最低生活费的余额最大 并求最大余额 2 企业乙只依靠该店 最早可望在几年后脱贫 解 2 设可在n年内脱贫 依题意有12n 450 50000 58000 0 解得n 20 即最早可望在20年后脱贫 题型三 分段函数的图象 例3 画出下列函数的图象 并写出它们的值域 1 y 解 1 函数y 的图象如图所示 观察图象 得函数的值域为 1 2 y x 1 x 3 解 2 用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉 化为分段函数y 它的图象如图所示 观察图象 得函数的值域为 4 方法技巧 1 画含有绝对值的函数的图象的方法 对含有绝对值的函数 要作出其图象 首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号 将函数转化为分段函数 然后分段作出函数图象 2 画分段函数图象的方法 作分段函数的图象时 分别作出各段的图象 在作每一段图象时 先不管定义域的限制 作出其图象 再保留定义域内的一段图象即可 作图时要特别注意接点处点的虚实 保证不重不漏 即时训练3 1 已知f x 1 作出f x 的图象 解 1 利用描点法 作出f x 的图象 如图所示 2 求f x 的定义域和值域 解 2 由条件知 函数f x 的定义域为R 由图象知 当 1 x 1时 f x x2的值域为 0 1 当x 1或x 1时 f x 1 所以f x 的值域为 0 1 备用例2 已知函数y f x 的图象由图中