3.1.1-2习题分析.ppt

3 1 1 2习题分析 3 1 1习题 1 a 3 c 1的椭圆标准方程为 A B C D 解析 选D 当焦点在x轴时 方程为当焦点在y轴上时 方程为故选D 2 已知椭圆方程为则椭圆的焦点为 A 5 0 B 0 3 C 4 0 D 0 4 解析 选C 由方程可得椭圆的焦点在x轴上 又c2 25 9 16 c 4 故焦点坐标为 4 0 3 若F1 F2是两个定点 F1F2 6 动点M满足 MF1 MF2 6 则点M的轨迹是 A 椭圆 B 直线 C 圆 D 线段 解析 选D MF1 MF2 6 F1F2 点M的轨迹为线段F1F2 4 设F1 F2为椭圆的焦点 P为椭圆上一点 则 PF1F2的周长等于 解析 c2 16 1 15 PF1F2的周长为 PF1 PF2 F1F2 2 4 2 8 答案 8 5 椭圆5x2 ky2 5的一个焦点是 0 2 那么k 解析 椭圆的方程为 焦点在y轴上 k 1 答案 1 6 已知椭圆经过点和点求椭圆的标准方程 解析 方法一 当椭圆的焦点在x轴上时 设椭圆的标准方程为因为点和点在椭圆上 所以 所以a2 1 b2 9不合题意 即焦点在x轴上的椭圆不存在 设椭圆的标准方程为因为点和点在椭圆上 所以所以所求的椭圆的标准方程为 方法二 设椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 因为点和点都在椭圆上 所以所以所求椭圆的标准方程为 椭圆焦点三角形的简单应用 关于椭圆的焦点三角形的特点 1 如图所示 PF1F2称为椭圆的焦点三角形 三角形中的定理 如勾股定理 余弦定理 正弦定理 三角形的面积公式等均成立 2 解题时应用相关定理要结合椭圆的定义 PF1 PF2 2a 3 常用的变形 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 1 解题过程中要注意整体思想的应用 PF1 PF2 与 PF1 PF2 可以作为整体相互表示 而不必分别求出 PF1 和 PF2 2 若涉及最值问题 则要注意不等式及其变形式的应用 例3 2011 厦门高二检测 已知椭圆的两焦点为F1 2 0 F2 2 0 P在椭圆上且2 F1F2 PF1 PF2 1 求此椭圆的方程 2 若 F1PF2 60 求 F1PF2的面积 审题指导 本题中F1 F2坐标已知 故可求出c 又 PF1 PF2 2a 可求出a F1PF2中 F1PF2及 F1F2 已知 可用余弦定理 设法构造求值 规范解答 1 由题意知c 2 又因为2 F1F2 PF1 PF2 所以2 4 2a a 4 b2 16 4 12 所以椭圆的方程为 2 设 PF1 r1 PF2 r2 在 F1PF2中 r1 r2 2a 8 r12 r22 2r1r2cos60 16 即 r1 r2 2 3r1r2 16 解得r1r2 16 所以 F1PF2的面积为 互动探究 本题 2 若改为 F1PF2的面积为试求 F1PF2 解析 设 F1PF2 变式训练 设F1 F2为椭圆的两个焦点 P为椭圆上的一点 PF1 PF2 且 PF1 PF2 求的值 解题提示 可设法求出 PF1 PF2 后求比值 注意PF1 PF2条件的应用 解析 PF1 PF2 F1PF2为直角 则 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 有解得 PF1 4 PF2 2 3 1 2习题 1 已知点 3 2 在椭圆上 则点 3 3 与椭圆的位置关系是 A 在椭圆上 B 在椭圆内 C 在椭圆外 D 无法判断 解析 选C 点 3 2 在椭圆上 由椭圆的对称性可知 点 3 2 也在椭圆上 点 3 3 在点 3 2 的上方 应在椭圆外 2 点P x y 在椭圆上 F1 F2是椭圆的左 右焦点 若 PF1 PF2 则有 A 4 x PF2 点P位于y轴右侧 4 x 4 0 x 4 3 椭圆的两个焦点与它在y轴上的顶点构成正三角形 则此椭圆的离心率为 A B C D 解析 选A 如图所示 4 已知椭圆的短轴长为6 焦点F到长轴端点的最大距离为9 则椭圆的方程为 解析 由题意 2b 6 b 3 由得a 5 椭圆的方程为答案 5 已知 ABC的顶点B C在椭圆上 顶点A是椭圆的一个焦点 且椭圆的另外一个焦点在BC边上 求 ABC的周长 解析 由得如图所示 由椭圆的定义得 BA BF CA CF 2 故 ABC的周长为4a 4 已知椭圆的方程求椭圆的几何性质 1 理解椭圆标准方程首先要弄清以下几点 1 焦点位置 2 基本量a b c的值 3 相关概念如所求量是长轴还是短轴 焦距 F1F2 2c 而不是c等 2 确定椭圆几何性质的基本步骤及关注点 1 步骤 2 关注点正确应用a b c的关系是解题的关键 明确a2 b2 c2 例1 设椭圆方程为mx2 4y2 4m m 0 的离心率为试求椭圆的长轴 短轴的长 焦点坐标及顶点坐标 审题指导 本题中椭圆的方程不是标准形式 故应先化为标准形式 再利用求出m的值 最后根据焦点位置写出几何性质 规范解答 椭圆方程可化为 1 当0 m 4时 a 2 椭圆的长轴 短轴的长分别是4 焦点坐标为F1 1 0 F2 1 0 顶点坐标为A1 2 0 A2 2 0 2 当m 4时 b 2 椭圆的长轴 短轴的长分别是焦点坐标为顶点坐标为 互动探究 本例中将x y互换后怎样求解 解析 椭圆的方程为4x2 my2 4m m 0 可化为 1 当0 m 4时 a 2 椭圆长轴 短轴的长分别是4 焦点坐标是F1 0 1 F2 0 1 顶点坐标为A1 0 2 A2 0 2 2 当m 4时 椭圆的长轴 短轴的长分别是焦点坐标为顶点坐标为 变式训练 1 2011 新课标全国高考 椭圆的离心率为 A B C D 解析 选D 由题意知 2 2011 会昌高二检测 若椭圆的离心率为则m的值为 解析 当04时 答案 1 利用几何性质求椭圆的标准方程 利用椭圆的几何性质求标准方程常采用待定系数法 将条件转化为相应的方程 组 后求系数 体现了方程思想在解题中的应用 2 利用几何性质求椭圆标准方程的步骤 已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 例2 1 2011 厦门高二检测 若对称轴在坐标轴上 椭圆长轴长与短轴长的比为2 它的一个焦点是则此椭圆的标准方程是 2 2011 郑州高二检测 离心率短轴长为的椭圆的标准方程是 审题指导 1 中已知长轴长与短轴长的比 即a b 2 又可分别求a b 2 中短轴长为2b 可先求出b后借助a b c的关系求a 但是要注意焦点位置并不确定 规范解答 1 由题意 c2 6 a2 b2 3b2 b2 2 a2 4b2 8 椭圆的焦点在x轴上 椭圆的标准方程为 2 由题意 a2 b2 c2 80 a2 a2 144 椭圆的标准方程为答案 变式训练 分别求满足下列条件的中心在原点 对称轴为坐标轴的椭圆的标准方程 1 离心率长轴长和短轴长之和为36 2 一个焦点为且长轴长是短轴长2倍 解析 1 由已知条件得解得a 10 b 8 或a 90 b 72 舍去 所以所求椭圆的标准方程为 2 由题意知 又a2 b2 c2 4b2 b2 12 b2 4 a2 b2 c2 4 12 16 故所求椭圆的标准方程为 1 关于椭圆的离心率的认识 1 离心率是椭圆最为核心的几何性质 是刻画椭圆 扁的程度 的量 2 求椭圆的离心率 2 椭圆离心率的求法 1 直接求a c后求e 或利用求出后求e 2 将条件转化为关于a b c的关系式 利用b2 a2 c2 消去b 等式两边同除以a2或a4构造关于的方程求e e的范围是 0 1 求出e后要检验是否符合 避免出现错解 例3 如图所示 在平面直角坐标系xOy中 A1 A2 B1 B2为椭圆 a b 0 的4个顶点 F为其右焦点 直线A1B2与直线B1F相交于点T 线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点 求该椭圆的离心率 审题指导 由A1 B1 B2 F的坐标可分别求出直线A1B2 B1F的方程 可求出点T的坐标 进而求出点M的坐标 点M在已知椭圆上 可代入椭圆方程 得到a b c的关系式 从而求出离心率e 规范解答 点A1 B2的坐标分别为 a 0 0 b 直线A1B2的方程为 点B1 F的坐标分别为 0 b c 0 直线B1F的方程为 联立可得 点M是OT的中点 点M在椭圆上 适合椭圆的方程 整理得c2 10ac 3a2 0 两边同除以a2 得即e2 10e 3 0 椭圆的离心率 变式训练 2010 广东高考 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 A B C D 解题提示 由等差数列的定义可得a b c的关系 再消去b后构造求e 解析 选B 依题意有2 2b 2a 2c 即2b a c 所以4b2 a2 2ac c2 b2 a2 c2 4a2 4c2 a2 2ac c2 3a2 2ac 5c