数学归纳法(第一课时)ppt.ppt

2 3数学归纳法 问题1 在仪容仪表检查中 如何断定我们班的所有同学不戴耳环 方法一 检查每位同学 确认每位同学不戴耳环 完全归纳法 方法二 检查部分同学 确认他们不戴耳环 不完全归纳法 定义 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法 用完全归纳法得到的结论正确吗 不完全归纳法呢 如果一个问题中的元素有无限多个 如与自然数有关的命题 怎样归纳出其结论的正确性 问题2 正确 不一定正确 不可行 可行 问题3 通过看视频发现多米诺骨牌游戏中 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 1 第一块骨牌倒下 2 前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌倒下 思考 这个猜想与多米诺骨牌游戏有没有相似的地方 多米诺骨牌数学命题证明 目标每片骨牌倒下 要求 1 第一片要倒下 2 若前片倒下 则后片也倒下 结论由 1 2 知游戏成功 神奇的对比 每个n值都成立 1 n 1时要成立 2 若n k时成立则n k 1时也成立 由 1 2 知命题成立 一般地 证明一个与正整数n有关的数学命题 可按下列步骤进行 1 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 假设当n k k N k n0 时命题成立证明当n k 1时命题也成立 由 1 2 可知 命题对从n0开始的所有正整数都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 数学归纳法 归纳递推 递推的依据 归纳奠基 递推的基础 例1 用数学归纳法证明 步骤 递推基础不可少 基础 归纳假设要用到 依据 结论写明莫忘掉 结论 例2 证明方法是否正确 为什么 理由 因为是不完全归纳法 缺乏递推的依据 结论不可靠 即使验证了100个正确也是不严密的 解 等式成立 证明如下 1 3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 n2 1 解 等式成立 证明如下 假设当n k时等式成立 即1 3 5 2k 1 k2 1则当n k 1时 1 3 5 2k 1 2k 1 k2 1 2k 1 k 1 2 1 当n k 1时等式也成立 对n N等式都成立 理由 第一步没有证明正确 缺乏递推的基础 从而假设没有根据 的过程 你认为他的证法正确吗 为什么 1 当n 1时 左边 右边 2 假设n k时命题成立即那么n k 1时 左边 右边 即n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对一切自然数 命题均正确 3 强调 两个步骤缺一不可 因为 有第一步无第二步 就是不完全归纳法 结论就不可靠 有第二步而无第一步 第二步中的假设就失去了基础 第二步的证明n k 1成立中必须用归纳假设 并且证明必须详细 答 不一定 举例说明 用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是 此时n取的第一值 1 用数学归纳法证明3 5 2n 1 n 1 n 1 时 第一步应验证n 时 等式成立 思考与练习 2 B 2k 1 2k 2 2 数学归纳法 证明与自然数n有关的命题 小结 今天我们学习了 1 由特殊到一般的归纳思想 步骤 证明当n取第一个值n0时命题成立 假设当n k k N k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 由 可知 对n N n n0 命题都成立 两个步骤缺一不可 练习 证明 当n 1时 左边 右边 假设n k k N 时 等式成立 那么n k 1时 等式成立 这就是说 当n