填料塔毕业设计计算说明书终结版.doc

北方民族族大学过程装备与控制工程专业2010届毕业设计2前 言炼焦化学产品在国民经济中占有重要地位，炼焦化学工业是国民经济的一个重要部门，它是钢铁联合企业的主要组成部分之一，也是煤炭的综合利用工业。焦炉煤气中所含的氨可用于制取硫酸铵、浓氨水或无水氨；煤气中主要成分-氢，可用于制造合成氨。进一步制取尿素、硝酸铵、磷酸铵和碳酸铵等化肥，均可以直接用于农业生产。焦炉煤气中含有很多焦油、粗苯、氨等多种具有回收价值的化工产品。由于环保问题日益成为政府部门和社会公众关注的焦点，氨的排放量和排放浓度成为焦化厂需要重点控制和解决的问题，其次，提高氨的回收利用，不仅有利于促进环境保护，更是具有循环经济效益的头等大事。在化学工业中，经常需要将气体混合物中的各个组分加以分离，其主要目的是回收气体混合物中的有用物质，以制取产品，或除去工艺气体中的有害成分，使气体净化，以便进一步加工处理，或除去工业放空尾气中的有害成分，以免污染空气。吸收操作是气体混合物分离方法之一，它是根据混合物中各组分在某一种溶剂中溶解度不同而达到分离的目的。塔设备是化工生产中重要的设备。它使气液或液液两相之间进行紧密接触，达到传质及传热的目的。填料塔具有结构简单、便于用耐腐蚀材料制造、适于小直径塔的场合以及压降小等优点。塔填料的性质决定了填料塔的操作,只有性能优良的塔填料再辅以理想的塔内件,才有望构成技术上先进的填料塔。人们对塔填料的研究十分活跃。对塔填料改进与更新的目的在于:改善流体的均匀分布,提高传递效率,减少流动阻力,增大流体的流量以满足降耗、节能、设备放大、高纯产品制备等各种需要。目前,塔填料的开发,除研究各种散装和规整填料结构外,还对填料的材质、加工方法、表面特性等进行研究。近年来由于填料塔结构的改进，新型的、高负荷填料的开发，既提高了塔的通过能力和分离效能又保持了压降小、性能稳定等特点。因此，填料塔已经被推广到大型气、液操作中，在某些场合还代替了传统的板式塔。如今，直径几米甚至几十米的大型填料塔在工业上已非罕见。随着对填料塔的研究和开发，性能优良的填料塔必将大量用于工业生产中。综合考察各分离吸收设备中以填料塔为代表，填料塔技术用于各类工业物系的分离,虽然设计的重点在塔体及塔内件等核心部分,但与之相配套的外部工艺和换热系统应视具体的工程特殊性作相应的改进。例如在DMF回收装置的扩产改造项目中,要求利用原常压塔塔顶蒸汽,工艺上可以在常压塔及新增减压塔之间采用双效蒸馏技术,达到降低能耗、提高产量的双重效果，在硝基氯苯分离项目中;改原多塔精馏、两端结晶工艺为单塔精馏、端结晶流程,并对富间硝基氯苯母液进行精馏分离,获得99%以上的间硝基氯苯,既提高产品质量,又取得了降低能耗的技术效果。过程的优缺点：分离技术就是指在没有化学反应的情况下分离出混合物中特定组分的操作。这种操作包括蒸馏，吸收，解吸，萃取，结晶，吸附，过滤，蒸发，干燥，离子交换和膜分离等。利用分离技术可为社会提供大量的能源，化工产品和环保设备，对国民经济起着重要的作用。为了使填料塔的设计获得满足分离要求的最佳设计参数(如理论板数、热负荷等)和最优操作工况(如进料位置、回流比等),准确地计算出全塔各处的组分浓度分布(尤其是腐蚀性组分)、温度分布、汽液流率分布等,常采用高效填料塔成套分离技术。而且,20世纪80年代以来,以高效填料及塔内件为主要技术代表的新型填料塔成套分离工程技术在国内受到普遍重视。由于其具有高效、低阻、大通量等优点,广泛应用于化工、石化、炼油及其它工业部门的各类物系分离。填料塔今后可能将从两个方面得到发展,一是不断开发更简单、更高效的填料,即沿着理想塔填料的方向发展。所谓理想塔填料就是要求传质效率高、分离能力大、压降低和成本合理。二是塔内件,它是填料塔技术发展的关键之一。发展方向应是开发先进的与高效填料相匹配的低压降气液分布系统。另外,在工艺流程方面也应作相应的改进。建立复合分离技术会是一项全新而有效的节能技术。总之,今后将会在填料与塔内件开发、塔器设计、制造与推广应用结成一体以及形成完整的一条龙技术服务体制方面有所发展。第1章 填料蒸氨塔工艺设计1.1工艺计算相关参数进料温度 塔顶压力 塔顶温度 塔底压力 塔底温度 分缩器后产品浓度 废水浓度 进料量 kg/h 进料浓度 焦炉煤气大概如下成分比率55%25%6%2%5%0.5%6.5%平均式量焦炉煤气中氨气的含量：选用作为吸收液完全中和氨气所需的体液流量为1.2热量横算：输入热量进料气体带入的热量，入塔温度为50 焦炉煤气的近似比热容为 进塔液体带入的热量稀硫酸溶液近似比热为 ，入塔温度102 输出热量净化焦炉煤气带走热量：焦炉煤气近似比热为 ，出塔温度102塔底带走热量： 出塔温度105吸收放出的热量和损耗的热量 由能量守恒： 式中T温度，1.3填料的选择选用环形陶瓷拉西环乱堆， 特性数据如下公称直径个数堆积密度孔隙率比表面积填料因子5060004570.81931771.3.1塔径计算用艾克特（Eckert）泛点汽速关联图计算泛点气速 已知 查艾克特（Eckert）关联图得 式中 液泛点是填料塔的操作上限，设计点通常取泛点气速的50%80%，所以取 1.3.2塔径计算 圆整到1m；1.3.3塔径校核在塔径D=1m的情况下，计算设计气速故设计气速满足要求。1.3.4核算喷淋密度填料塔的喷淋密度为单位时间内单位塔截面积上喷淋的液体体积为使塔能获得良好的湿润，应保证塔内的喷淋密度高于某一下限值。最小喷淋密度的计算式为 润湿率是指在塔的横截面上，单位长度的填料周边上液体的体积流量，的取值如下则 1.3.5校核径比为保证填料润湿均匀，实际采用的塔径与填料直径比在10以上，如果这个值太小，液体沿填料下流时会出现壁流现象。因此 满足要求。1.4塔高计算1.4.1传质单元高度计算填料高度可按下式计算1.4.2润湿面积按照恩田关联式计算的值式中单位体积填料的润湿面积填料材质的临界表面张力；表面张力；通过塔截面积液相流量液相粘度液相密度填料比表面积 1.4.3传质单元高度1.4.4传质单元数查阅参考文献传质单元数图可知，横坐标参数=1.07由图查得 取=111.4.5 计算填料层高度 考虑到恩田关联式的最大偏差为，为安全考虑，所以填料层高度 最终填料层高度为8m，分两段安装。1.5进口接管的结构设计1.5.1气体的出塔和入塔管径计算，则根据计算得，选择无缝钢管。管内流速 。塔顶气体的出塔管径与气体入塔管径相同。1.5.2吸收液的出塔和入塔管径计算 取，则根据计算，进口液体输送管径按照无缝钢管标准选择无缝钢管。实际流速 1.6气体进出口压力降流速为12.8/s，则气体进口压力降为出口流速的压降 1.7 填料层压降 按照塔底操作参数计算：查阅Eckertt关联图得 1.8其他塔内件的压力降由于其他塔内件的压力降较小，可近似取 1.9塔的泛点率 操作气速为0.8m/s，泛点气速为1.1m/s 返点率第二章 填料蒸氨塔结构设计2.1液体初始分布器的工艺设计2.1.1选用排管多孔式喷洒的设计塔径/mm主管直径/mm支管排数管外缘直径/mm最大体积流量 100086496020其结构特点是由水平管一端引入液体，通过支管小孔喷向填料层，支管开两排空，小孔直径4mm，孔中心线与垂直线夹角 2.2填料支撑装置的设计选用梁式气体喷射式支撑板，保证通气量大，阻力小，是目前最优的的填料支撑板。塔径/mm支撑板外径/mm支撑板分块数波形尺寸近似重量，N10009983300300280 2.3液体再分布器选用盘式液体再分布器，参数如下塔径/mm塔盘外径/mm螺栓圆直径/mm升气管液体负荷范围/100096086045.5-2002.4床层限制板板当时，则限制板外径小10-15mm，取限制板外径986mm，重量300 2.5丝网除沫器固定式丝网除沫器的结构分为上装式（直径范围DN300-DN5200）和下装式（直径范围DN7000-DN4600）两种，根据容器结构确定丝网除沫器的形式。由于人孔设在除沫器的下方采用下装式丝网除沫器。公称直径DNmm主要外形尺寸，mm 质量，kg100010017692043.92.6塔顶吊柱选择对于较高的室外无框架的整体塔，在塔顶设置吊柱，对补充和更换填料，安装和拆卸内件，是既方便又经济的一项设施。一般高度在15m以上的塔，都设置吊柱，根据塔径决定其回转半径，然后HG/T21639选用吊柱。设计载荷DN/mmSLHRe100090034001000168x107502501102.7吊耳的选择吊耳一般位于塔的整体重心以上，对称地设置一对。轴式吊耳一般用于较高及较重的重型设备，吊耳的参数如下：形式吊重范围/tDND0D1D2LSS1S2质量/kgA5-2020021941032014014182036.12.8裙座设计裙座选用圆筒形，与塔体焊接采用焊接，焊接接头采用对戒形式。采用对接形式时，一般裙座筒体外径与塔体的外径相等，裙座筒体与塔体釜封头的连续焊缝采用全焊透的连续焊，且与塔釜封头外壁连续过度。裙座尺寸如图所示：2.9塔的附属高度塔上部空间高度一般取1.2-1.5m，取1.5m安装液体在分布器所需的高度一般为1-1.5m，取1.5m。封头高度 ，裙座高度取2.5m，塔上部空间高度，两段填料之间的高度，填料层高度 填料层下部安装支撑圈的高度为，气体分布器安装高度，液体分布器安装高度为。第三章 蒸氨填料塔的机械设计3.1 选择材料筒体与封头材料选用16MnR,群座材料选用Q235-A，材料的有关性能参数如下：16MnR：=170 Mpa， =170 Mpa，=345 Mpa Q235-A: =113 Mpa， =113 Mpa，=235 Mpa3.2计算筒体与封头厚度3.2.1筒体厚度=取腐蚀余量为3mm，在考虑其他因素的影响，则取筒体的名义厚度为10mm。所以：筒体的有效厚度 mm 封头的名义厚度 mm，有效厚度 mm 裙座的有效厚度 mm，有效厚度 mm3.2.2封头厚度校核GB150规定，标准椭圆形封头的有效厚度应不小于封头内直径的0.15%，因此，满足要求。3.3 塔的质量载荷计算3.3.1估计质量封头质量 筒体质量 裙座质量 塔壳和裙座质量3.3.2塔内件质量填料密度 填料堆积体积 填料质量3.3.3人孔.法兰.接管与附属物质量取3.3.4保温材料其中，为封头保温层质量，分别为保温层的密度和厚度。3.3.5平台，扶梯质量式中平台单位质量，;扶梯高度，取=14m；B平台宽度，m；笼式扶梯单位质量，40kg/m；n平台数量，取n=3；3.3.6操作时塔内件物料质量3.3.7充水质量3.3.8全塔操作质量3.3.9全塔最小质量3.3.10全塔最大质量将塔沿高度方向分成6段，各段质量如下表所示。塔段质量123456合计331587.5724.5828828918.547441119.61119.91119.93359.431.2105.5422.01422.01400.41381.2404040610.56610.56867.82209150.59422211.41844.71844.77733.562.1146.462.1227.8227.8221.6948150.5274731403140211411291433955.61874.15419486613584.1203754331106.14621.18559800615698.123933371805932.12312.222752984.929953.8塔段长度/mm11.53.544418人孔.平台数00011133.4塔的自振周期等直径，等厚度的塔基本自振周期3.5地震载荷计算3.5.1 地震影响系数（设计地震烈度8级）由表9-25查得，类场地地震下的特征周期，则地震影响系数又且.不考虑高振形影响。3.5.2确定危险截面0-0截面为裙座基地截面，1-1截面为裙座人孔处截面，2-2截面为裙座与塔体焊缝处截面。0-0截面式中取=0.5，裙座基地0-0截面的基本地震弯矩NmmNmm1-1截面2-2截面3.6风载荷计算3.6.1风力计算（1）风振系数由于塔高H20m，取（2）有效直径设笼式扶梯与塔顶管线成角，取平台构件的投影面积取下式计算值中的较大者。 ，塔顶管线外径，笼式扶梯当量宽度。操作平台当量宽度。各段计算结果列于下表：塔段号123456塔段长度100015003500400040004000400000250250250160016001600185018501850（3）水平风力计算塔器地i段计算水平风力N；基本风压值；风压高度变化系数；第i段计算长度。体型系数，取;塔器第i计算段风压系数，当塔高, 各段计算结果列于下表:塔段号1234560.71.750011.021.081.101.121.14100015003500400040004000160016001600185018501850892.51456.53598.54843.34931.35019.43.6.2风弯矩计算0-0截面1-1截面2-2截面3.7 各种载荷引起的轴向应力3.7.1计算压力引起的轴向应力 Mpa3.7.2操作质量引起的轴向应力0-0截面1-1截面裙座人孔截面处水平方向的最大宽度mm；裙座人孔截面处水平方向的最大宽度mm；人孔或较大管线引出处孔加强管的厚度，mm裙座壳有效厚度mm；人孔或较大管线引出孔加强管厚度mm；2-2截面3.7.3最大弯矩引起的轴向应力最大弯矩取下式计算值中较大者：0-0截面 1-1截面 2-2截面截面0-01-12-2各危险截面的如下0-0截面1-1截面2-2截面3.8 筒体和裙座危险截面的强度与稳定性校核3.8.1筒体的强度与稳定性校核（1）强度校核筒体截面2-2处的最大组合轴向拉应力轴向许用应力，故满足强度要求。（2）稳定性校核许用轴向压应力按照GB150中的规定，由查外压圆筒计算的材料图得 则 因为故满足稳定性条件3.8.2裙座的稳定性校核裙座危险截面0-0及1-1的处最大组合轴向压应力查图得 则 取 ，故满足稳定性要求条件。3.9 筒体和裙座水压试验应力校核3.9.1筒体水压试验应力校核（1）由试验压力引起的环向应力因为，满足要求。（2）由试验压力引起的轴向应力（3）水压试验时，中立引起的轴向应力（4）由弯矩引起的轴向应力（5）最大组合轴向拉应力校核许用应力 因为，故满足要求。（6）最大组合应力校核轴向许用应力或 取较小者 取因为，满足要求。3.9.2裙座水压试验压力校核（1）水压试验时，重力引起的轴向应力（2）由弯矩引起轴向应力（3）最大组合轴向压应力校核轴向许用应力取其中较小者 取 因为，故满足要求。3.10基础环设计3.10.1基础环尺寸 取 3.10.2基础环的应力校核取其中较大者（1）（2）取，选用75号混凝土，其许用应力因为，故满足要求。3.10.3基础环厚度按有筋板时，计算基础环的厚度 式中设地脚螺栓直径为，查表9-31得矩形板计算力矩式计算取基础环材料许用应力基础环厚度 取3.11地脚螺栓计算3.11.1地脚螺栓承受的最大拉应力（1）(2) 取3.11.2地脚螺栓直径因为 故塔设备必须安装地脚螺栓。取地脚螺栓个数那n=28,地脚螺栓材料应力，则地脚螺栓直径 式中地脚螺栓螺纹小径为查表9-32 取地脚螺栓为M27，故选用28个M27的地脚螺栓，满足要求。第四章 补强4.1补强及补强方法判别4.1.1补强判别 根据文献【9】表4-14，允许不另行补强的最大接管为mm。进气接管为mm，故需另行补强。4.1.2补强计算方法判别取厚度附加量C取2mm；开孔直径 筒体上开孔直径为满足等面积补强使用条件，股可用等面积补强。4.2开孔所需面积4.2.1开孔所需补强面积此开孔为筒体上开孔，筒体厚度mm。强度削弱系数，接管材料为，=取 =1.0接管有效厚度4.2.2开孔补强所需面4.3有效补强范围4.3.1有效宽度B取最大值B=408mm.4.3.2有效高度外侧有效高度（实际外伸高度）取小值内侧有效高度（实际内伸高度）取小值4.4有效补强面积4.4.1筒体多余金属面积筒体有效厚度筒体多余金属面积 4.4.2接管多余金属面积接管厚度计算接管多余金属面积4.4.3接管区焊缝面积 4.4.4有效补强面积4.4.5所需另行补强面积故不需另行补强。4.5人孔补强设计和卸料孔在筒体上分别有两个，群座上有两个人孔。且都为材料为 。4.5.1补强判别 根据文献【9】表4-14，允许不另行补强的最大接管为mm。人孔接管为mm，故需另行补强。4.5.2补强计算方法判别厚度附加量C取2mm；开孔直径 筒体上开孔直径为满足等面积补强使用条件，故可用等面积补强。4.5.3开孔所需面积此开孔为筒体上开孔，筒体厚度mm1.开孔所需补强面积强度削弱系数，接管材料为，=取 =1.0人孔有效厚度开孔补强所需面4.5.4有效补强范围1.有效宽度B取最大值B=920mm.2.有效高度外侧有效高度（实际外伸高度）取小值3.内侧有效高度（实际内伸高度）取小值4.5.5有效补强面积1.筒体多余金属面积筒体有效厚度筒体多余金属面积 2.接管多余金属面积接管厚度计算接管多余金属面积3.接管区焊缝面积（根据文献【10】脚焊取6.0mm）4.有效补强面积5.所需另行补强面积故不需另行补强。填料蒸氨塔机械设计结果汇总表塔体的名义壁厚/mm筒体，封头，群座质量载荷/kg 26375 23933 9290.2风弯矩/Nmm 2.08 1.761.48地震弯矩/Nmm4.057 3.8123.319计算压力引起的轴向应力/MPa操作质量引起的轴向应力/MPa -11.7 -20.13 -11.14最大弯矩引起的轴向应力/MPa 83.62 110.6 67.13最大组合轴向拉应/MPa59.6最大组合轴向压应力/MPa-95.32 -130.9-78.27强度校核,满足强度要求稳定性校核满足稳定性要求满足稳定性要求满足稳定性要求筒体水压试验应力校核满足强度要求满足强度要求满足稳定性要求群座水压试验满足稳定性条件满足稳定性条件基础环尺寸mm,mm,mm基础环应力校核，满足要求地脚螺栓设计地脚螺栓设计，地脚螺栓个数致 谢经过几个月的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。在这里首先要感谢我的导师汤占岐老师。他的治学严谨和科学研究的精神是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。其次要感谢我们专业的所有的专业老师，如吕硕、刘天霞、姜国平等老师。在专业课的学习上，他们给了我很大的帮助。他们在课堂上教授的专业知识在设计上都得到了广泛的应用；他们传授的方法在设计中给了我很大的设计启迪。这些都为我打下化工机械专业知识的基础。应用各科的专业知识，我克服了许多困难来完成此次毕业设计。如果没有这些知识和方法，此次设计的完成将变得非常困难。然后还要感谢大学四年来所有的同学。正是因为有了你们的支持和鼓励，此次毕业设计才会顺利完成。 参考文献1 GB150-89钢制压力容器；2陈敏恒主编，化工原理M.北京：化学工业出版社，2000；3陈英南常用，化工单元设备设计.上海：华东理工大学出版社，2005.4；4王毅，过程装备控制技术及应用，化学工业出版社；5路秀林，王者相主编，塔设备，化学工业出版社，2004年；6郑津洋. 过程设备设计M. 北京：化工出版社，2005；7顾芳珍主编，化工设备设计基础M.天津：天津大学出版社，20018王非. 化工设备用钢M. 北京：化工出版社，2004；9贺匡国主编，化工容器及设备简明设计手册，化学工业出版社，2002年；英文摘要 along its outward unit normal with respect to the initial position of the node；hence，each node is associated with adesign variable，which covers the complete design space for the particular finite element discretizationThe velocity field associated with the shape change of cycle at node can be written as (37) For the current frequency maximization problem，the optimality criterion states that a homogenization the Lagrangian energy density by an appropriate modification of the design boundary leads to a maximization of the first natural frequencyThe Lagrangian energy density consists of the difierence between strain energy density and kinetic energy density.The strain energy density can be influenced in the required way by the redesign rule for stress homogenization(Meske et a12005)；that is，growth at high values of thestrain energy density leads to a reduction of the strain energy density and shrinkage at low values leads to an increase in the strain energy densityThe kinetic energy density can be influenced in the opposite Way；that is，shrinkage at high values of the kinetic energy density leads to a reduction of the kinetic energy density due to the local reduction of mass and increase at low values leads to all increase in the kinetic energy density due to the local increase in mass The above considerations justify to take the difference of the Lagrangian energy density distribution and its average value on the design boundary as input quantity for the redesign rule for frequency maximization similar to the stress or strain energy density in the redesign rule for stress homogenization (Meske et a12005)： (38) where is the Lagrangian energy density of node i and is the average Lagrangian energy density on the design boundary according to (39) Another inherent advantage of the redesign rule(38)is that the volume constraint(25)will always be satisfied for any arbitrary distribution of the Lagrangian energy density by using(39)： (40) The scaling factorin (38) is calculated from the mesh quality and the initial distribution of the Lagrangian energy densityA slightly faster convergence can be achieved if a nonlinear relationship between nodal optimization movement and energy difference is used： (41) The exponent k is a fixed constant which has been calibrated together with the formula for a from many practical test cases to ensure a rapid but stable convergenceIn this case，the volume constraint is not satisfied automatically,which call be compensated by an additional global volume correction The combination of optimality criterion and redesign rule for frequency maximization problems shows all appealing simplicity and a strict physical justification.A global quantity,like the first natural frequency,is modified using a local criterion.This usually leads to a rapid and stable convergenceThe nodal criteflon allows to modify each node such that the highest geometrical flexibility is ensuredThe unitary approach and the resemblance to stress minimization problems are another benefit43 Remark on frequency reduction It is sometimes required that a frequency is not increased but reduced，for instance，to avoid having resonance near a fixed excitation frequency，if a maximization beyond the excitationis not possible The above optimization procedure can be used efficiently for frequency reduction by inversion ofthe redesign rule(4 1)In this case，a high value of the Lagrangian energy density leads to a shrinkage at this location；hence，regions with high strain energy density are made weaker,resulting in a further local increase in the Lagrangian energy densityA low value of the Lagrangian energy density leads to a growth at this location；hence，regions with high kinetic energy density receive more nlass，resulting in a further increase in the kinetic and，therefore，a reduction of the Lagmngian strain energydensity. The inverse redesign rule calculates the shape change，which is most effective to achieve a frequency reduction44 Example vibrating cantilever beamThe vibrating cantilever beam with a point mass at the free end is a classical example for eigenfrequency shape optimizationUsing the necessary assumptions for beam theory,the problem can be formulated and solved as one-dimensional problem，which makes it a good candidate for a benchmark problem Turrler(1966)and Taylor (1967)investigated the axial vibration of a tapered beamThe transverse vibration of a composite beam，where the stiffness per unit length varies with some power of the design variable，e.g., the width or height.was the topic of research of Turner(1 966)，Prager and Taylor(1968)，and Olhoff and Taylor(1979)The maximization of a single higher order eigenfrequency of a solid beam with and without constraints on the geometry was investigated by Olhoff(1976，1977)A general review on shape optimization with frequency objectives and constraints for beams and plates was given by Olhoff(1980)Kamat and Simitses(1973)investigated the transverse vibration of a beam with several point masses and an elastic foundationopensection beams vibrating in bending and torsion werestudied by Hanagud et a1(1987)The transverse vibration of rectangular beams，which is the topic of the following exampie，was studied by Miele et a1(1978)and Wang(1995) A rectangular beam with a length of 50 mma height of 10 mm.and a depth of 10 mm is modeled using plane stress quadrilateral elements with an element size of 0.5mmThe material steel is chosen with a density of 7.810 kg/m)The weight of the beam is M0=3.910kgA point mass M of the same weight is attached to all nodes of the free end using distributing coupling conditions(see Fig .3)The first eigenmode is a transverse vibration(see Fig4) The maximization ofthe first natural frequency is selected as objective function，while a constant volume is prescribed as constraintThe design nodes are all nodes on top and bottom of the beamwhich are allowed to move in vertical directionA symmetry coupling between top and bottom side is not prescribed，although it would have been possibleThe optimization process itself is achieved via a homogenization of the Lagrangian energy density according to(41) The convergence of the first natural frequency is plotted in Fig.5An accuracy of 1.100 is achieyed after only 12 optimization cycleswhile the accuracy of 110is reached after 25 cycles The geometry of inifial and optimized beam is shown in Fig.6. together with the distribution of the Lagrangian energy densityThe Lagrangian energy density is also plotted along the bottom contour in Fig.7The absolute energy values are not relevant because the eigenmode displacement isnormalized in each cycleThe homogenization on the beamsurface can be clearly seenSlight deviations can be observedat the fixed and the free end, which are due to the linkage ofthe concentrated mass at the free end and the fixation on theconstrained end The optimization is performed with difierent ratios of tip mass M and beam mass M，and the increase in the first eigenfrequency is compared in Table