52向量空间的定义和基本性质.doc

5.2向量空间的定义和基本性质授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质授课时数：3学时教学重点：线性空间的定义及基本性质教学难点：性质及有关结论的证明教学过程：一、线性空间的定义1. 引例定义产生的背景例1 设则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）这里2. 向量空间的定义抽象出的数学本质 Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作；F是一个数域,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了FV到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素与V中的乘积记作）。如果加法和纯量乘法满足：1）2）3） （找出元）4）使得=称为的负向量（找出负元）5）6）7）8）V是F上的一个线性空间，并称F为基数域.3. 进一步的例子加深定义的理解例1：复数域C对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R上的线性空间.例2：任意数域F可看作它自身的线性空间.例3 其加法定义为, 数乘定义为, 则V是数域F上的线性空间.注: V=0对普通加法和乘法是数域F上的线性空间, 称为零空间.例4：设F是有理数域，V是正实数集合，规定练习 集合V对规定的是否作成数域F上的线性空间？解 显然V对满足条件1）7），但对任意的有故集合V对规定的不作成数域F上的线性空间.由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8)是独立的, 它不能由其他条件推出.二、线性空间的简单性质1、线性空间V的加法和纯量乘法有以下基本性质.Th5.2.11） V的零向量唯一，V中每个向量的负向量是唯一的.2）证明：1）设是V的两个零向量，则.设是的负向量, 则有 于是 *由于负向量的唯一性, 以后我们把的唯一负向量记作. 2） 因 所以3） *我们规定: 且有定理5.2.2 对F的任意数a, b和V中任意向量, 则有 1) 2) 特别地, 3) 4) 证明: 1) 因为 所以 类似地可证 2) 因为 所以是的负向量, 即. 同理可证 3) 设 如果 则有 于是 4) 注: 线性空间的定义中与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价.事实上, 由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).反之, 由线性空间定义中的条件1)7)及定理5.2.2的性质3）可推得因为 由性质3） 课堂讨论题：检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：1）起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V，按通常集合向量的加法及数乘运算；2）按通常数域F上n维向量的加法及乘法运算；3）按通常数域F上矩阵的加法及乘法运算；4） 按通常数域F上多项式的加法及数乘运算；5）全体实数R的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C上线性空间？全体复数域C的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R上线性空间？6）数域F上的n阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为 三、子空间1、子空间的定义定义2：子空间的定义：V是F上一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对V的加法和FV到V的纯量乘法，也作成F上的一个线性空间，则称W是V的子空间。例5：Fx是Fx的子空间.例6：V是它本身的一个子空间. 0也是V的子空间. V和零空间叫做V的平凡子空间，V的其他子空间叫做V的真子空间.2、子空间的判断：Th5.2.3 设V是数域F上的线性空间, W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件：（1）（2）证明：(1) W对加法封闭, 即对任意(2) W对纯量乘法封闭, 即对任意证明: 必要性. 设W是V的子空间, 则V的加法是W的代数运算, 从而W对V的加法封闭; 另外, 到V的纯量乘法也是到W的纯量乘法, 因此W对纯量乘法也封闭.充分性. 由于W对V的加法封闭, 对到V的纯量乘法封闭, 所以V的加法是W的代数运算, 到V的纯量乘法也是到V的纯量乘法的代数运算. 线性空间定义中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)对V中任意向量都成立, 自然对W的向量也成立. 由W对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2, 对于, 所以V中的零向量属于W, 它自然也是W的零向量, 并且, 因此条件3)和条件4)也成立, 故W是V的子空间.推论1：W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件： 3、生成子空间例7：设是数域F上的线性空间V的一组向量.则作为V的一个子空间.所以又因4、子空间的交与并Th4: W,W是V的两个子空间，则W W仍是V的子空间. (问WW是否为V的子空间.)证明: 因为W,W是V的两个子空间，所以所以是V的子空间.推广：若W，W是V的子空间，则也是V的子空间. 例：A是一个n阶矩阵，S（A）=B|AB=BA则S（A）是的一个子空间.证