计数原理(1).ppt

第十章排列 组合和二项式定理 数学是锻炼思想的体操 加里宁 第十章排列 组合和二项式定理 思考下面的问题 2006年德国世界杯开幕式将于6月7日在慕尼黑市的阿利安兹竞技场举行 决赛于7月7日在德国首都柏林奥林匹亚体育场举行 现有32只队伍参赛 它们先分成8个小组进行循环赛 决出16强 按确定的程序进行淘汰赛产生8强后 仍进行淘汰赛产生4强 最后决出冠亚军 此外还决出了第三 第四名 问一共安排了多少场比赛 第十章排列 组合和二项式定理 从学校地到你家 可以乘火车 也可以乘轮船 一天中 火车有3班 轮船有2班 那么一天中 乘坐这些交通工具从学校到家共有多少种不同的走法 提问1 现有高中一年级的学生3名 高中二年级的学生5名 高中三年级的学生4名 从中任选1人参加接待外宾的活动 有多少种不同的选法 提问2 第十章排列 组合和二项式定理 提问3 一般化 若完成一件事 有类办法 在第1类办法中有种不同的方法 在第2类办法中有种不同的方法 在第类办法中有种不同的方法 每一类中的每一种方法均可完成这件事 那么完成这件事共有多少种不同方法 特点 1 明确题目中所指的 完成一件事 是什么事 完成这件事可以有哪些办法 怎样才算是完成这件事 2 完成这件事的n类方法是相互独立的 无论哪种方案的哪种方法都可以单独完成这件事 3 确立恰当的分类标准 准确地对 这件事 进行分类 要求每一种方法必属于某一类方案 不同类方案的任意两种方法是不同的方法 也就是分类时必须既 不重复 也 不遗漏 第十章排列 组合和二项式定理 从学校到家 要从学校先乘火车到丙地 再于从丙地选乘汽车到家 一天中 火车有3班 汽车有2班 那么两天中 从学校到家共有多少种不同走法 提问4 现有高中一年级的学生3名 高中二年级的学生5名 高中三年级的学生4名 分别从这3个年级中各选1人参加接待外宾的活动 有多少种不同的选法 提问5 第十章排列 组合和二项式定理 提问6 一般化 若完成一件事 需要分成个步骤 做第1步有种不同的方法 做第2步有种不同的方法 做第步有种不同的方法 那么完成这件事共有多少种不同方法 特点 1 完成一件事需要分成若干个步骤 只有每个步骤都完成了 才算完成这件事 缺少哪能步 这件事都不可能完成 2 根据题意正确分步 要求各步之间必须连续 只有按照这几步逐步地去做 才能完成这件事 各步骤之间不能重复也不能遗漏 各步之间是连续的缺一不可 分类计数原理与分步计数原理有什么不同 分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题 它们的区别在于 分类计数原理与 分类 有关 各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以完成这件事 分步计数原理与 分步 有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 第十章排列 组合和二项式定理 10 1分类计数原理与分步计数原理 材料2 某班级有男学生5人 女学生4人 1 从中任选一人去领奖 有多少种不同的选法 2 从中任选男 女学生各一人去参加座谈会 有多少种不同的选法 分类时要做到不重不漏 分步时要做到不缺步 两个原理的区别 材料3 一个三位密码锁 各位上数字由0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个数字组成 可以设置多少种三位数的密码 各位上的数字允许重复 变形1 首位数字不为0的密码数是多少种 变形2 首位数字是0的密码数又是多少种 变形3 由数字0 1 2 3 4可以组成多少个三位数 各位上的数字允许重复 第十章排列 组合和二项式定理 10 1分类计数原理与分步计数原理 第十章排列 组合和二项式定理 材料4 要从甲 乙 丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班 有多少种不同的选法 解 从3名工人中选出2名分别上日班和晚班 可以看成是经过先选1名上日班 再选1名上晚班这两个步骤完成 先选1名上日班 共有3种选法 上日班的工人选定后再选1名上晚班 上晚班的工人有2种选法 根据分步计数原理 所求的不同的选法数是 答 有6种不同的选法 日班晚班 相应的排法 不同排法如下图所示 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 日班晚班 第十章排列 组合和二项式定理 例 三边长均为整数 且最大边长为11的三角形有多少个 练习 三边长均为整数 且边长为11边既不是最大边也不是最小边的三角形有多少个 例 已知a 3 4 6 b 1 2 7 8 r 8 9 则方程 x a 2 y b 2 r2可表示不同的圆的个数有多少个 练习 某商业大厦有8个门供顾客出入 某顾客从任一门进入 从另一门走出 则不同的走法种数为 例 1 有5本书全部借给3名学生 有多少种不同的借法 例 2 有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践 则有多少种不同分配方案 变式训练 有三项体育运动项目 每个项目均设冠军和亚军一名奖项 1 学生甲参加了这一个运动项目 但只获得一个奖项 学生甲获奖的不同情况有多少种 2 有4名学生参加了这三个运动会项目 若一个学生可以获得多项冠军 那么各项冠军获得者的不同情况有多少种 例 某外语组有9人 每人至少会英语和日语中的一门 其中人会英语 3人会日语 从中选出会英语和日语的各一人 有多少种不同的选法 变式训练1 集合A 1 2 3 B 1 2 3 4 现从A B中各取一个元素作为点P x y 的坐标 1 可以得到多少个不同的点 2 在这些点中 位于第一象限的有几个 变式训练2 在两条异面直线a与b上分别有7个点 8个点 经过这15个点可确定多少个不同的面 练习 1 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 解 按地图A B C D四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案种数共有N 3 2 1 1 6种 10 1分类计数原理与分步计数原理 第十章排列 组合和二项式定理 10 1分类计数原理与分步计数原理 第十章排列 组合和二项式定理 3 用0 1 2 9可以组成多少个8位号码 用0 1 2 9可以组成多少个8位整数 用0 1 2 9可以组成多少个无重复数字的4位整数 用0 1 2 9可以组成多少个4位整数 用0 1 2 9可以组成多少个无重复数字的4位奇数 用0 1 2 9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等 10 10 10 10 10 10 10 10 108 9 10 10 10 10 10