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弹塑性力学读书报告姓 名: 周海雷学 号： 09020099年 级： 2009级授课教师： 乔箭导 师： 侍克斌弹塑性力学前言弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学。固体力学又按其研究对象而区分为不同的学科分支。例如，弹性力学是研究固体力学及其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力（应力）、变形（应变）和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。大多数材料都具有弹性和塑性性质，当外荷较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当荷载渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在一定条件下主要呈现弹性性质的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含有与此相类。如上所述，大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中即有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形；因此有时又称为弹塑性力学。本文内容则是简单介绍关于分析弹性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法，以及相应的“破坏”准则或失效准则。作为一门课程，弹塑性力学以理论力学、材料力学、高等数学、数理方程等课程为基础，较系统地介绍弹性力学和塑性力学的基本概念、基本理论和基本方法，为进一步学习板壳理论、断裂力学、连续介质力学、实验应力分析、有限单元法等后续课程打下基础。一：力学模型在弹塑性力学的研究中，如同在所有科学研究中一样，都要对研究对象进行模拟，建立相应的力学模型（科学模型）。“模型”是“原型”的近似描述或表示。建立模型的原则，一是科学性能尽可能地近似表示原型；二是实用性能方便地应用。显然，一种科学（力学）模型的建立，要受到科学技术水平的制约。总的来说，力学模型大致有三个层次：材料构造模型，材料力学性质模型，以及结构计算模型。第一类模型属于基本的，它们属于科学假设范畴。因此，往往以“假设”的形式出现。“模型”有时还与一种理论相对应；因而在有些情况下，“模型”、“假设”和“理论”可以是等意义的。二：应力状态理论从静力学观点出发、分析一点的应力状态，建立平衡微分方程和静力边界条件。由于这里不涉及物体的材料性质和表形情况，所有应力状态理论适用于任何连续介质。1：应力和一点的应力状态一个在外界因素作用下的物体将产生内力和变形。用以描述物体中任何部位的内力和变形特征的力学量是应力和应变。为了说明应力的概念，我们假想通过物体内任一点作法线方向为的微小面积，此微小面积把物体在点的微小领域分割成两部分，如图2.1所示。由隔离体法可知，在被切割的表面处，必须用内力和代替，显然，这里的与是作用力和反作用力的关系。根据物体连续性假设，可以认为作用在微小面上的力是连续分布的，内力则是这个分布的合力。于是分布集度称为平均应力。如果令趋于零，则可定义：是作用与点处法线为的面元上的应力矢量。必须指出，凡提到应力，需指明它是对物体内哪一点并过该店的哪一个微分面。因为通过物体内同一点可以作无数个方位不同的微分面。显然，各微分面上的应力一般是不同相同的。在笛卡儿坐标系中，用六个平行于坐标面的截面（简称正截面）在点的邻域内取出一个正六面体微元。如图2.2所示。其中外法线与坐标轴同向的三个面元称为正面，记为,它们的单位法向失即坐标轴的单位矢。另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面，它们的法线单位矢为。把作用在正面上的应力矢量沿坐标轴正向分解，得即：上式中共出现了九个应力分量： 其中，第一个指标表示面元的法线方向，称面元指标；第二个指标表示应力分解的方向，称为方向指标。当时，应力分量垂直与面元，称为正应力；当时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。弹性理论规定，作用在负面上的矢量应沿坐标轴反向分解，当微元收缩成一点时，负面应和正面应力大小相等方向相反，即而应力分量的正负规定是：正面上与坐标轴同向的应力分量及负面上与坐标轴反向的应力分量为正，反之为负。以上这九个应力分量定义了一个新的量，它描述了点处的应力状态。数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫二阶张量。为二阶张量，它称为柯西应力张量，简称为应力张量。为应力张量在基矢量为的坐标系中的分量，简称应力分量。应力张量的矩阵形式通常表示为： 应当指出，物体内各点的应力状态一般是不相同的，应为坐标的函数，所以，应力张量与给定点的空间位置有关，应力张量总是针对物体的某一确定点而言的。应力张量安全确定了一点处的应力状态。2：主应力和应力不变量当坐标系转动时，受力物体内任一确定点的九个应力分量将随着改变。在坐标系不断转动的过程中，必然能找到一个坐标系，使得该点在该坐标系中只有正应力分量，而剪应力分量为零。也就是说，对于任一确定的点，总能找到三个互相垂直的微分面，其上只有正应力而武剪应力。我们把这样的微分面称为主微分平面，简称为主平面，其法线方向称为应力主 方向，而其上的应力称为主应力。三：应变状态理论从运动学观点出发，分析一点的应变状态，建立几何方程和应变协调方程。由于这里不涉及到产生变形的原因和物体的物理性能，则应变状态理论适用于任何连续介质。1：位移和应变在外部因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后任保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸形；物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。2：描述物体位移的方法：拉格朗日法当采用拉格朗日法描述物体位移时，物体变形后的位置是的函数：，即则位移场也是的函数（图3.1），由上式可得：欧拉法当采用欧拉法描述物体位移时，物体变形前的位置是的函数：，即则位移场也是的函数，有上式可得： 在固体力学中，我们常采用拉格朗日法描述；在流体力学中采用欧拉法描述更为方便；而对大变形问题及一般的物理定律，采用拉格朗日坐标来建立它的数学表达式更为方便，但在求解具体问题时，又常以欧拉法描述更为方便，所以两种描述方法都要采用。3：应变率张量和应变增量张量当介质处在运动状态时，以=（）表示质点的速度，表示速度的三个分量。如果以时间作为起点，则经过无限小时间段后，位移为，由于很小，因此及其对坐标的导数都很小，可以应用小变形公式：若令，则有：上式定义的不论其是大量或小量均成立，但要求对每一个瞬时状态进行计算，不是按初始位置计算。而是从初始位置计算的，因此，一般情况下:4:应变协调方程对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形后必须保持其连续性，即物体既不开裂，又不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不协调的。从数学的观点说，要求位移函数在其定义域内为单值连续函数。若出现了开裂，位移函数就会出现间断；出现了重叠，位移函数就不可能出现单值。因此，为保持物体变形后连续性，各应变分量之间，必须有一定的关系。另一方面，在小变形情况下的六个应变分量是通过六个几何方程与三个位移函数相联系的。应当指出，如能正确地求出物体各点的位移函数，然后根据几何方程求出各应变分量，则应变协调方程可自然满足。因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。而从物理意义上来说，如果位移函数是连续的，变形也就自然可以协调。所以，以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足，而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。四：守恒定律在自然界中，有一些规律是基本性的，它们不能有其他规律推演而建立，而是人们长期的实践、观察所得到的对于自然界的认识。理论力学中的公理属于此类，在热学、力学中，守恒定律也具有此项属性。所谓守恒定律，是某些物理量在运动过程中保持恒常（守恒性、均衡性或平衡性）的反映。一般而言，在物体运动变形过程中，力学量是变化的，表现为时间的函数。：质量守恒定律物体（或连续介质）在运动变形过程中，其位置、形状、大小虽可变化，但质量保持不变，即是守恒的。质量守恒定律就是反映这一客观事实的。设某材料单元体的体积为，质量密度为，则该单元体所包含的质量为：在物体运动变形过程中，对于这个但与体来说，体积和密度都是变化的，是时间的函数，但保持不变。因此质量守恒定律可表示为：常数上式中的常数可以由初始条件确定。例如设在物体未变形时，或在某一其他参考状态时，该单元体的密度为，体积为。则质量守恒定律可表示为： 即，但=常数。一般成为质量守恒定律的拉格朗日形式，另外还与所谓的欧拉形式。：能量守恒定律对于一个热学力学系统（连续体）来说，外部的作用除了仟述体积力密度，表面接触力之外，还有外热源对单位质量的供hv热率，单位时间单位表面积热流的热流矢，而等于单位时间内通过法线为单位表面面积的热量，时为从系统输出热量，表示对系统输入热量。在物体的任何一部分（边界为）内，动能的变率为：设为单位质量所含的内能，则内能的变率为：外力功率为：外部对系统的供热率为：上式右侧第二项前冠以符号是因为此处表示热量的输入。于是对于物体该部分的热力学第一定律的总体形式为：即系统的动能变率与内能变率之和等于外部对系统的供热率与外力功率之和。这是能量守恒定律的一般形式。五：弹性本构方程弹性是众多材料所具有的共同力学性质，在应力不大的情况下，大多数材料都呈现弹性性质。这是材料力学性质的一种理想模型。本小节简要介绍弹性固体的本构方程。1：柯西弹性和超弹性所谓柯西弹性是指材料的现时应力唯一定于现时应变的力学性质，在小变形情况下，柯西弹性材料的本构方程可写成： 或 于是有： 或 上式中的符号“：“表示两张量的并双点积。定义：称为弹性系数，它们是四阶张量的分量；这个四阶张量称为弹性张量。其中，因此弹性张量共有81个分量，亦即柯西弹性材料共有81个弹性系数。由于应力张量和应变张量都是对称，从而分别对及是对称的，即有：因此柯西弹性材料只有36个独立的弹性系数。当为常数时，材料是线性弹性的，此时有： 此处假定时，即材料存在自然状态。 2：有初应力和初应变时的广义胡克定律所谓初应力和初应变是指物体（结构）没有外载、且将其内、外联系（约束）移去后存在与自由单元体的应力和应变，分别记作和。这些应力和应变一般地不满足弹性力学基本方程和边界条件；为此将引起附加应力和附加应变，使得总应力和总应变满足除弹性本构方程以外的基本方程和边界条件；而附加应力和附加应变则满足广义胡克定律。其表达形式为：或者为在一般情况下，初应力为零，常见的初应变有温度变化引起的单元体的应变，以及材料进入塑性状态后的塑性应变等。现设温度变化为T（T0表示温度升高），它可以是点的坐标的函数（非均匀变温场），可能还是时间的函数（非定常变温场）。对于各向同性材料，变温T引起单元体的应变为：或者于是没有初应力、仅有变温应变的广义胡克定律为或者为：它们的展开式分别为： 及6：屈服条件本节中一维应力条件的某些结果推广到一般应力状态。这设计涉及到：（1）如何确定初始和相继弹性范围的边界，也即材料进入塑性变形状态的条件，分别称为初始和相继屈服条件。这些条件的数学表达式分别为初始和相继屈服条件，它们在应力空间内的几何表述，分别称为初始和相继屈服曲面。习惯上将初始屈服条件（函数、曲面）简称为屈服条件（函数、曲面），而将相继屈服条件（函数、曲面）称为加载（强化）条件（函数、曲面）。(2)塑性应变增量（或变率）与应力增量（或变率）的关系，即塑性状态下的本构关系。从本质上说，由于塑性变形过程是不可逆的，现时应力(应力全量)与现时应变（应变全量）间不存在唯一的关系，本构关系只能是增量型的，称为增量理论。但在特殊加载条件下，应力全量和应变全量存在确定的关系，称为全量理论。1：初始屈服条件的一般性质对于金属材料，可以作出以下假设：（1） 材料初始各向同性；（2） 材料初始指向同性，即拉压的屈服极限在数值上相同，没有初始包辛格效应。（3） 材料的塑性与平均应力无关。材料初始屈服时，它仍处于弹性状态，引力和应变有唯一关系，因此在常温下，屈服条件可以写成应力状态的函数，即2：两个常用的屈服条件 特雷斯卡屈服条件1864年，特雷斯卡根据库仑对与土力学的研究及其本人在金属挤压试验中得到的结果，提出了一个屈服条件。它认为，当最大剪应力达到某个定值时，材料就开始屈服，或者说，他认为最大剪应力是材料屈服的准则量。现在设，则有。于是特雷斯卡屈服条件可以具体写成 米泽斯屈服条件1913年，米泽斯建议用一个圆柱面代替特雷斯卡六边棱柱面，其表达式可以写成采用应力分量表示，则为2+2+2=或2+2+2+以上式中，为材料常数。3：两个屈服条件的比较长期以来，人们将以上两个屈服条件视作适用于一切金属材料的初始屈服条件。由于两个屈服条件所对应的剪拉比不同，于是提出了哪个屈服条件更精确的问题。为此，不少学者进行了一系列试验来验证它们的精确性。由于当时所采用的试验材料的剪拉比接近于，因此，米泽斯屈服条件被认为得到了广泛的实验支持。实际上，这两个屈服条件分布对应于 特雷斯卡 米泽斯这正好与大多数金属材料的实验结构相吻合。7：弹塑性问题的建立及求解总的来说，变形连续体力学的边值问题，就是在给点的边界条件下确定物体内的应力场和应变场，而应变场和位移场密切相关。所求得应力场、应变场和位移场应该满足相应的基本方程和边界条件。对于线性弹性体，在小变形条件下，可以证明其边值问题的解是唯一的，即对任何给定的边界条件及体积力，可唯一确定物体内的应力场、应变场和位移场，与物体的变形历史无关。而且，一组任意线性组合的边界条件及体积力，将对应于相应应力场和位移场的同一线性组合，也即可以应用叠加原理。对于弹塑性问题则没有上述情况。由于塑性本构方程是非线性的，在求解这类问题时不能应用叠加原理。另外，由于塑性变形是不可逆的，应力的现时值与应变的现时值不存在唯一的关系，也即塑性本构方程与变形历史有关，因此，从本质上说，塑性本构方程只能是增量型的，从而其他基本方程亦应写成增量型。给定某一时刻的边界值，不能确定物体内的应力场和位移场；必须给出从自然状态开始的边界条件（以及体积力）的全部变化过程，才能跟踪给定的加载历史，采用逐步累加（“积分”）的办法，求出给定时刻的（或最终的）应力场和位移场。因此弹塑性力学边值问题的建立与弹性力学不同，它应按增量来建立。由于塑性和弹性一样，不具时间效应，因此弹塑性力学边值问题可以等价地按变率来建立。：弹性力学边值问题弹性力学边值问题就是在给定荷载下确定物体内的应力场、应变场和位移场，它们将满足如下的基本方程及给定的边界条件。这里所称“荷载”包括：体积力、面积力（即应力边界条件）及给定的边界位移（即位移边界条件）；由于在部分边界上给定的位移也是对物体的一种干扰，可归于广义的荷载之内。在笛卡儿坐标系下，弹性力学的基本方程包括： 平衡方程总得来看，弹性力学基本方程共有：三个平衡方程，六个几何方程，六个本构方程，共计十五各方程，包括十五各待求函数；六个应力分量，六个应变分量，三个位移分量；方程个数等于待求函数个数，只要给出合适的边界条件，就可以确定弹性力学边值问题的解。 求解弹性力学边值问题的基本方法从原则上说，求解弹性力学边值问题，就是在给定的边界条件下联立求解十五个基本方程，确定弹性体内的应力场、应变场和位移场。但是由于未知函数之间存在一定的关系，因此可以通过这些关系消去一部分未知函数，使问题的求解得到简化。通常有两种方法或途径可以采用。 位移法以位移为基本未知函数，通过几何方程和本构方程，用位移表示应力，在代入平衡方程，最后得到用位移表示的平衡方程；求解此方程得得位移，然后反求应力和应变。显然，对于位移边值问题宜采用位移法。 应力法宜应力为基本未知量，通过基本方程用应力表示应变，代入应变协调方程，最后得到用应力表示的协调方程；联立求解这些方程即平衡方程，得到应力，然后求应变及位移。由于应力已经满足协调方程，故可以由应变求出位移。对于应力边值问题宜采用应力法。8 刚性理想塑性平面应变问题本节主要介绍塑性体的平面应变问题。假定材料是刚性理想塑性（简称刚塑性）的。由于极限状态到达之前弹塑性结构在弹性和弹塑性阶段的变形一般属弹性量级，变形对结构几何尺寸和形状的改变可以忽略不计，任按变形前的几何形状和尺寸建立基础方程和边界条件。因此，如果我们仅需确定极限荷载和极限状态的应力分布即速度分布。这是采用刚性理想塑性模型，所得结果与弹性理想塑性模型所的结果完全相同。这种分析问题的方法简称为极限分析方法。在极限状态下，度弹塑性结构，在塑性区之外，可以存在弹性变形区，而对刚塑性结构，在塑性区之外，只可以存在刚性区。另外，无论采用哪一种模型，在极限状态下的应变率都是塑性的。 刚塑性平面应变问题的基本特点和基本方程与弹性问题一样，如果一个柱体，沿其轴向（Z方向）没有变形，而在垂直于轴线的诸平面内力学响应相同（即不随Z变化），则这类问题为平面应变问题，此时柱体内任一点沿的位移分量为， ， 在实际问题中，如果柱体的两端为光滑约束，不能伸长和缩短，柱体侧面所受荷载又不随Z而变化，就成为一个平面应变问题。一般来说，如果柱体很长，两端具体的约束条件不影响中间段柱体的变形，则亦可以近似地看作平面应变问题。9 弹性力学和塑性力学中的变分原理在本节之前，我们介绍了求解弹性力学边值问题的放法，即从分析单元体的变形和平衡以及材料的力学性质出发，建立弹性力学的基本方程，于是将弹性力学问题归结为给定边界条件下求解偏微分方程组的边值问题。在实际的应用中，当边界条件比较复杂时，求解这类边值问题往往要遇到很大的困难，特别是要得到精确解，有时甚至是不可能的。为此，需寻求各种近似解法。本节介绍的弹性力学问题的变分解法是将上述边值问题转变为在给定约束条件下（或没有条件）求解某种泛函（或驻值）的变分问题，在此基础上发展了各种近似求解方法。 基本概念 弹性力学的三大类基本关系 变分学是数学的一个分支，它研究一些函数的函数（即泛函）的驻值性质。这样，变分学的目的就不是求含有有限个变量的函数的极值，而是在一组容许函数中选定一个函数，使给定的泛函取驻值。一个熟悉的例子是，在指定空间内连续两点的各容许曲线中，选定这样的曲线，使两点间沿该曲线的距离为最短，而寻求以最小周长包围给定面积的曲线问题，则是另一个经典的例子。变分学在数学物理中有着广泛的应用。这是因为一个物理系统的性状常常使得与其性状有关的某种泛函取驻值，换句话说，我们往往发现物理现象所遵循的方程，就是某些变分问题的驻值条件。光学中的Fermat原理可以作为一个经典的例子。这个原理指出，光线在两点间沿需时最短的路径传播。由此立即导致在任何均匀介质中光线按直线传播的结论。力学是数学物理的领域之一，其中对变分方法已经广泛地研究过。我们将以质点系的问题为例，来回顾一下它的变分公式的推导。首先，我们来考虑一个质点系在外力和内力作用下处于静力平衡的问题。众所周知，变分公式推导的基础是虚功原理，这个原理可以叙述如下：假定一个力学系统在作用力和给定的几何约束下处于平衡状态，那么，存在于系统内的外力和内力在满足给定几何约束的任意无限小虚位移上所作的全部虚功之和(用表示)为零。这儿原理也可以改述如下：如果对于满足给定几何约束的任意无限小虚位移，力系所作的虚功之和为零，则次力学系统处于平衡状态，这样，虚功原理就等价与系统的平衡方程。然而，对于力学问题的公式推导来说，前者的应用领域比后者更为广泛。当所有外力和内力都可以由为势函数U（它是质点系坐标的函数）导出，从而使则由虚功原理可以导致驻值势能原理的建立：在所有的容许位形中，平衡状态是由势能U的驻值性质来表征的：上面的论述可以推广到质点系的动力学问题中去，这时系统所受的作用力和几何约束都与时间有关。Dalembert原理指出，如果考虑了惯性力就可以把系统看作是处于平衡状态的。运用这个原理，只有把表面惯性力所作虚功的各项包括在内，就可以象静力学问题那样导出动力学问题的虚功原理。把这样得到的原理在两个界限和内对时间积分。通过分布积分并利用在界限处没有虚位移的约定，我们最后得到动力学问题的虚功原理，如下：式中T是系统的动能。由于从这样得到的虚功原理可以导出系统的Lagtange运动方程，所有显然，这个原理对于推导具有几何约束的质点系统运动方程是非常有用的。当进一步确认可以有位势函数U 导出所有的外力和内力时，我们就得到Hamilion原理，其中位势函数的定义和方程相同，而且是坐标和时间的函数。这个原理指出，只有在界限和处给定系统的位形，则在系统的所有容许位形中，真实的运动状态矢量：取驻值。Hamilton原理可以用数学形式表示如下：式中L=T-U是系统的Lagrange函数。众所周知，利用Legondre变换可以把Hamilton原理变换为一个新的等价的原理，而Lagrange运动方程则简化为所谓的典型方程。对与Hamilton原理的变换已经有过广泛的研究，并已建立起一个通称为典型变换的完善的理论。小位移弹性理论为变分法提供了最有成效的用用领域之一。当确认了应变能函数的存在，又假定在位移变化的过程中外力保持不变，虚功原理就可导致最小势能原理的建立。通过引进Lagrange乘子把变分原理加以推广，就产生一整族的变分原理，包括Hellinger-Reissner原理，最小余能原理，等等。另一方面，当应力-应变关系保证余能函数的存在，又假定砸应力变化的过程中几何边界条件保持不变时，余虚功原理就可导致最小余能原理的建立。通过引进Lagrange乘子把最小余能原理加以推广，就产生Hellinger-Reissner原理，最小势能原理，等等。由此可见，对小位移弹性理论来说，这两条推导变分原理的途径是彼此可逆和等价的。在有限位移弹性理论中，当确认了物体材料的应变能函数和外力的位势函数存在时，虚功原理就可以导致驻值势能原理的建立。一旦这样地建立驻值势能原理，就可以通过利用Lagrange乘子来把它推广。将惯性力考虑进去，可以把上述方法推广到弹性体的动力学问题。于是引入动能的概念，我们就可以导出动力学问题的虚功原理。在假定应变能函数和外力的位势函数存在的前提下，虚功原理就转换为变分原理。新得到的变分原理可以看作是推广到弹性体动力学问题的Hamilton原理，而且可以通过利用Lagrange乘子把它推广。弹性力学问题的变分原理通过驻值条件提供问题的控制方程，并在此意义上和控制方程等价。然而，用变分公式表示有几个优点。第一，经受变分的泛函通常具有明确的物理意义，而且在坐标变换中保持不变。因而，一旦变分原理按某一坐标系列出了公式，就可以得到用另一坐标系表示的控制方程，只有首先写出新坐标系内的额不变量，然后应用变分方法即可。例如，一旦变分原理按直角卡迪儿坐标系列出公式，通过上述方法就可以得到用柱面坐标系或极坐标系表示的控制方程。可以看出，这一属性使变分法在结构分析中分成有效。第二，用变分公式表示有助于实现一个通用的数学步骤，这就是说，把给定的问题变换成一个比原来更易于求解的额等价问题。在带有一些约束条件的变分问题中，用Lagrange乘子法可以完成这一变换，这是一种非常有效而有条理的放法。于是，我们就可以推导一整族彼此等价的变分原理。第三，变分原理有时可以得到所研究问题的精确解的上界或下界公式。一个例子是，从驻值势能原理导出一个弹性体自由振荡最低频率的上界公式。第四，当弹性力学问题不能精确求解时，变分法常常给问题提供一种近似的公式表示，由此得到与所采用的近似度相适应的解，在这里，变分法不仅提供近似的控制方程，而且也提供了近似边界条件的提示。因为除