「群的直积」.doc

群的直积（Direct Product of Group）群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其基本性质。定义1 设是群，为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算。则G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product)。当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作。定理1 设是群G1与G2的外直积，则（1） G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，有；（2） G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。（3） ；（4） 若令为G2的单位元，则A1是G的子群，且；若令为的单位元，则A2是G的子群，且。证明 （1）由卡氏积的性质显然。（2）如果G1和G2都是交换群，则对任意的有，所以G是交换群。反之，如果G是交换群，那么对任意的，有，即。故，所以G1，G2都是交换群。（3）构造映射 ，显然是双射，且因此，是到的同构映射，即。（4）构造映射 则易知是一个同构映射，因此是G的子群，同理可证另一个结论。例1 设分别是3阶和5阶的循环群，则是一个15阶的循环群。证明 首先，由定理1知，G是一个15阶的交换群，设，是G的单位元，则，所以都不等于，可知ordc由拉格朗日定理知，ordc=15，即是15阶循环群。例2 这里证明 对于4阶群中的任意元有故中没有4阶元素，所以不是循环群，而4阶群在同构的意义下仅有两个，于是事实上， 到G的任意一个将零元映到的双射都是一个群同构。定理2 设是群，和分别是和中的有限阶元素，则对于有证明 设则从而的阶有限，设其为，则需证首先。又因为所以，于是且，从而t是m和n的公倍数，而s是m和n的最小公倍数，因此，从而。例3 试确定中5阶元素的个数。解 由定理2，即要确定中满足的元素的个数。即要求：或者且或5；或者且。分别讨论如下：（1），此时a可选，b可选，从而共有16个5阶的元。（2）此时a如上，而b为故共有4个5阶元。（3）同（1），故也有4个5阶元。于是共有24个5阶元。定理3 设和分别是m阶及n阶的循环群，则是循环群的充要条件是。证明 设假设是循环群。若，则由于而和的阶都是t，因此和是循环群中的两个不同的t阶子群，矛盾，所以。反之，假设，则，所以是的生成元，因此是循环群。定义2 设H和K是群G的正规子群，如果群G满足条件且，则称G是H和K的内直积（internal direct product）。定理4 设H和K是G的子群，则G是H和K的内直积的充分必要条件是G满足以下两个条件：（1）G中每个元可惟一地表为hk的形式，其中；（2）H中任意元与K中任意元可交换，即：对任意，有hk=kh。证明 如果G是H和K的内直积，则G=HK，所以，G中每个元g都可表为的hk形式，其中，如果则，从而，因此，即条件（1）成立。对任意，考虑，则由于，故，同理，所以，即g=e，于是hk=kh，条件（2）成立。反之，若H，K是G的子群，且条件（1）和（2）成立，则G=HK，又对任意的，其中，则由条件（2），所以。于是。同理可得。对任意的，有ge = g = eg而由条件（1），g表示为hk的形式是惟一的，故得g = e，即。从而G是H和K的内直积。例4 设G=，则易证G是的子群，令则H和K是G的正规子群，显然，且对，有。由定义知G是H和K的内直积。例5 将自然地看作的子群，设，则K是的正规子群。显然。因此。从而。但是由于不是的正规子群，因此不是和K的内直积。关于群的内外直积，我们有如下定理：定理5 如果群G是正规子群，H和K的内直积，则；反之，如果群，则存在G的正规子群和，且与同构，使得G是和的内直积。证明 如果群G是正规子群H和K的内直积，定义映射则由于G=HK，故是满射，又由定理4知G中元与表为hk形式时表法惟一，故是单射，又对任意的，由于H中的元与K中的元可交换，故所以是同构映射，从而。如果。令首先由定理1知，都是G的子群，与同构。且对任意的，这一表法是惟一的。 且对任意的，有。所以，由定理4知G是与的内直积。定义3 设是有限多个群，构造集合，并在G中定义运算。则G关于上述运算构成群，称为群的外直积，记作。称为G的直积因子。定义4 设是群G的有限多少个正规子群，如果G满足以下两个条件，我们就称G是的内直积。 注：（2）也可以换成对多个群直积的情况，我们也有：定理6 如果群G是有限多个子群的内直积，则G同构于的外直积。注：从定理5和定理6可以看到，如果把同构的群不加区分的话，外直积与内直积本质上是一致的。所以我们将内外直积不加区分，统称为群的直积，也可以将内直积写成。另外，直积因子的次序可以任意调换，也可以随意添加或去掉括号。定理7 设则G是子群的内直积的充分必要条件是：（1）G中每个元素的表示法唯一；（2）中任意元素与中任意元素可换（）。证明 类似于定理4可证。例6 证明：证明 因为所以，。同理，例7 设为n阶的循环群，为n的标准分解式，则，这里。证明 显然。令，则，故存在使。从而，对G的任意元素有因此，又因为，而且，所以。下面我们利用群的直积定义两类重要的群。定义5 一个群如果能够分解成它的真子群的直积，则称这个群为可分解群；否则称为不可分解群。例8 是不可分解群。证明 当时的非平凡正规子群只有。的非平凡正规子群只有和Klein四元群，而且。因此，是不可分解群。例9 有理数加群 是不可分解群.证 设H,K是 的任二真子群,则有于是易知即 的任二真子群的交都不是0.因此 是不可分解群. 例10 无限循环群是不可分解群; n阶循环群是不可分解群当且仅当n为素数的方幂.证明 （1）设H,K是无限循环群的任二真子群,且。则所以的任二真子群的交都不是，从而,G是不可分解群.（2）设,为素数;又设H,K为G的任二真子群,且则，因此,G是不可分解群。反之,设n阶循环群不可分解,则有例7知n必为素数的方幂。习题 191. 证明：，其中V是Klein四元群。2. 中有多少个9阶元素？3. 中有多少个4阶元素？4. 在Z中，设H=,K=。证明：Z=H+K。问：Z与同构吗？5. 证明或否定是循环群。6. 证明：与不同构。7. 设是所有非零实数构成的乘法群，是所有正实数构成的乘法群。证明：是与子群-1,1的内直积。8. 设。问：是同构于还是？是同构于还是？9. 证明：复数加群同构于。10. 设。证明：存在G到的同态映射，使KerIm。11. 证明：同构于；同构于。这里，关于模n剩余类的乘法做成群。12. 设，每个是中的有限阶元素。证明：ord()=ord, ord,ord。13. 假设。证明：14. 证明：。15. 假设。证明：。15. 假设是群。证明：。16. 设H为G的直积因子,则H的每个正规子群均为G的正规子群.17. 若,则.18. 若,则G也必为这些的直积().19. 若,则,其中分别为G,A,B的换位子群.20. 若,则21. 设G,H是两个Abel群.若f是G到H的同态,且存在H到G的同态g,使fg是H的恒等映射,证明。22. 设f是Abel群G的自同态,若,则23. 设G,H是两个Abel群.f是G到H的同态,且存在H到G的同态g,使Aut(G)是H的恒等映射,证明。24. 设是n个群,则对的任意排列,均有.25. 设,则.26. 给出群的例子,使,但是没有同构于.27. 设G是奇数阶Abel群, Aut(G),，令,，则都是G的子群,且.28. 设,且G的子群,则.29. 设均,则