第五次课(线性控制系统的能控性与能观测性).ppt

1 第二章线性控制系统状态方程求解 课前回顾 一 线性定常系统的运动 自由运动 齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程的求解方法 2 课前回顾 二 状态转移矩阵 状态转移矩阵的计算方法 直接求解法 根据定义拉氏变换求解 标准型法求解 对角线标准型和约当标准型 非奇异变换待定系数法 凯莱 哈密顿 简称C H 定理 状态转移矩阵的性质 3 三 非齐次状态方程的求解 强迫运动 非齐次状态方程的解 课前回顾 4 四 线性定常离散系统的运动分析 1 线性定常连续系统的离散化 2 线性离散系统状态方程的解 递推法 Z变换法 课前回顾 5 3 1线性连续系统的能控性与能观性3 2线性离散时间系统的能控性与能观性3 4能控性 能观测性与传递函数的关系3 5实现问题3 6线性定常系统的结构分解3 7MATLAB在系统能控性和能观性分析中的应用 第三章线性控制系统的能控性与能观测性 6 能控性和能观测性基本概念 状态空间描述的两段性 20世纪60年代初 由卡尔曼提出 与状态空间描述相对应 状态方程 描述了输入引起的状态变化输入能够控制状态 输出方程 描述了状态变化引起的输出改变状态能否由输出反映 背景 7 显然 只能控制而不能影响 我们称状态变量是可控的 而是不可控的 只要系统中有一个状态变量是不可控的 则该系统是状态不可控的 能控性 指外输入u t 对系统状态变量x t 和输出变量y t 的支配能力 它回答了u t 能否使x t 和y t 作任意转移的问题 8 指由系统的输出y t 识别状态变量x t 的能力 它回答了状态变量能否由输出反映出来 能观测性 显然输出中只有 而无 所以从中不能确定 只能确定 我们称是可观测的 是不可观测的 9 一 状态能控性定义 如果存在一个分段连续的输入u t 能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到任一终端状态 则称此状态是能控的 如果系统的所有状态都是能控的 则称系统是状态能控的 3 1线性连续系统的能控性与能观性 3 1 1线性系统的能控性定义及判据 如果存在一个分段连续的输入u t 能在的有限时间内使得系统的某一初始状态转移到零态 则称系统是状态能控的 对线性定常连续系统 为简便计 可以设初始状态为状态空间任意非零有限点 终端状态为状态空间原点 即零态 10 二 状态能控性判别准则 1 判据一 能控性判别矩阵 证明 11 已知 线性定常非齐次状态方程的解为 12 4 将 3 式代入 2 式得 5 令 6 将 5 式代入 4 式得 13 由以上可以看出式 6 中各参数维数如下 说明 维数较大时 注意使用矩阵秩的性质 式 6 是关于U的非齐次方程组 由线性代数知识知道 其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等 即 14 例3 1 判别如下系统的能控性 解 1 构造能控性判别矩阵 故系统的状态完全可控 2 求能控性判别矩阵的秩 15 2 判据二 标准型法 原因 线性变换不改变系统的能控性 16 说明 定理2说明 设2阶系统的对角线标准型为 则根据定理1有 要使系统能控 则必有 说明对角线标准型形式下 各变量间没有耦合关系 从而影响每一个状态的唯一途径是通过输入 17 1 例 考察如下系统的能控性 状态完全能控 18 中 阵中与每个约当小块最后一行所对应的元素不全为零 定理3 设线性系统具有重特征值 且每个重特征值只对应一个独立的特征向量 则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型 19 说明 定理3说明 设2阶系统的约当标准型为 则根据定理1有 要使系统能控 则必有 20 例3 3考察如下系统的状态能控性 1 2 完全能控 不能控 21 定理3 4线性定常系统完全能控的充分必要条件是n维矩阵对A的所有特征值之秩都为n 即 3 判据三 PBH法 例3 4系统状态方程为 试判别系统的能控性 22 解求系统特征值 由 可解出 按照定理3 4 有 故系统能控 23 三 输出能控性 前提 在实际的控制系统设计中 需要控制的是输出 而不是系统的状态 因此 就需要研究输出的能控性 定义 考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统 如果能找到一个无约束的控制向量u t 在有限的时间间隔to t tf内 把任一初始输出y to 转移到任意最终输出y tf 那么称系统为输出能控的 24 输出能控性判据 系统输出能控的充要条件是输出能控性判别矩阵 说明 状态能控性和输出能控性是两个完全不同的概念 没有必然的联系 某系统状态不完全能控 输出有可能完全能控 的秩为m 其中m为输出维数 25 例 判断下列系统的状态能控性与输出能控性 26 一 能观测性定义 能观测性是研究输出反映状态向量的能力 即通过输出量在有限时间内的量测 能否把系统的状态识别出来 由于输入引起的输出可计算 所以分析观测性时 常令u恒等于0 说明 如果对任意给定的输入u t 存在一有限观测时间 使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态 则称状态是能观测的 如果系统的每一个状态都是能观测的 则称系统是状态能观测的 3 1 2线性系统的能观性定义及判据 27 二 能观测性判别准则 1 判据一 能观测性判别矩阵 证明 略 证明思路同能控性 用C H定理 28 例 判别如下系统的能观测性 故此系统是状态完全能观测的 解 构造能观测性判别矩阵 并判断其秩 29 2 判据二 标准型法 前提条件 线性非奇异变换不改变系统的能观测性 定理 设线性系统具有两两相异的特征值则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型 中 不包含元素全为0的列 30 说明 定理2说明 设2阶系统的对角线标准型为 则根据定理1有 要使系统能观测 则必有 说明对角线标准型形式下 各变量间没有耦合关系 从而反映每一个状态的唯一途径是通过输出 31 例 考察如下系统的能观测性 32 中 阵中与每个约当小块首列所对应的列 其元素不全为零 定理 设线性系统具有重特征值 且每个重特征值只对应一个独立的特征向量 则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型 33 说明 定理3说明 设2阶系统的约当标准型为 则根据定理1有 要使系统能观测 则必有 34 35 例3 9判断下列系统的能观性 解 已知特征值为 2 5 由于 的判别阵秩不为2 对故系统不能观测 36 例 已知系统状态空间描述如下 试判断其能控性与能观测性 解 系统状态空间描述的矩阵形式为 37 故系统为状态完全能观测 故系统不是状态完全能控 38 3 1 3对偶性原理 线性定常系统1 2如下 如果满足如下关系 则称两系统是互为对偶的 一 线性定常系统的对偶关系 39 二 对偶系统的两个基本特征 1 互为对偶的系统 其传递函数阵是互为转置的 2 互为对偶的系统 其特征方程是相同的 40 三 对偶原理 41 所以能观测 说明 利用对偶原理 可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析 从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系 反之亦然 证毕 42 一 线性定常离散系统能控性定义 3 2线性离散时间系统的能控性与能观性 3 2 1线性定常离散时间系统的能控性定义及判据 设线性定常离散系统方程为 对于任意给定的一个初始状态 存在 在有限时间区间 内 存在容许控制序列 使得 则称系统是状态完全能控的 43 二 线性定常离散系统能控性判别准则 定理1 对于线性连续定常系统 状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵 满秩 即 44 例 判定下列线性离散系统的能控性 解 用定理1 线性离散系统是完全能控的 45 三 线性定常离散系统能观测性定义 已知输入向量序列 及有限采样周期内测量到的输出向量序列 如果能唯一确定任意初始状态向量 则称系统是完全能观测的 简称系统是能观测的 46 四 线性定常离散系统能观测性判别准则 定理 对于线性离散定常系统 状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵 满秩 47 例 判定下列线性离散系统的能观性 解 用定理2 线性离散系统是不完全能观的 48 3 3能控标准形与能观标准形 3 3 1能控标准形 一个单输入系统 如果具有如下形式 则系统一定能控 这种形式的状态空间方程称为能控标准形状态空间方程 49 定理3 13若n维单输入线性定常系统能控 则一定能找到一个线性变换阵将其变换成能控标准形 具体做法是 设A的特征多项式为 引入非奇异线性变换 其中 代入 即得到式 3 26 所示的能控标准形 50 例3 12已知能控的线性定常系统动态方程 试将其变换成能控标准形 解 1 能控性矩阵 2 A的特征多项式 3 计算变换矩阵P 51 4 计算线性变换后各矩阵 5 系统能控标准形为 52 由于线性变换不改变系统的传递函数 故由标准形求得的传递函数就是系统的传递函数 因此如果已知系统传递函数 也可以直接由两式各参数的对应关系 写出系统能控标准形状态空间方程 53 例3 13已知线性定常系统传递函数为 试将其变换成能控标准形状态空间方程 解由传递函数可知 代入 3 26 可得对应能控标准形状态空间方程为 54 3 3 2能观标准形 一个单输入系统 如果具有如下形式 则系统一定能观测 这种形式的状态空间方程称为能观测标准形状态空间方程 55 定理3 14若维单输出线性定常系统能观测 则一定能找到一个线性变换阵将其变换成能观测标准形 具体做法是 设A的特征多项式为 引入非奇异线性变换 其中 代入 即得到式 3 30 所示的能观标准形 56 例3 14已知能控的线性定常系统动态方程 试将其变换成能观标准形 解 1 能观性矩阵 2 A的特征多项式 3 计算变换矩阵P 57 4 计算线性变换后各矩阵 5 系统能控标准形为 58 3 4能控性 能观测性与传递函数的关系 定理3 15单输入单输出系统能控且能观测的充分必要条件是传递矩阵G s 的分母与分子之间不发生因子相消 例3 15已知系统的动态方程如下 试求系统的传递函数 判断其能控性 能观测性 解 如果求出各自的传递函数 可看出三个系统的传递函数均为 能控不能观 能观不能控 不能控不能观 59 定理3 17如果多输入 多输出系统的输出向量与初始状态向量之间的传递矩阵的各列在复数域上线性无关 则系统是能观测的 充分必要条件 定理3 16如果多输入 多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵的各行在复数域上线性无关 则系统是能控的 充分必要条件 定理3 15只适用于单输入 单输出系统 对于有重特征值的多输入 多输出系统 即使有零 极点对消 系统仍可能是既能控又能观测的 例3 16判断下列多输入输出系统的能控 能观测性 存在零 极点对消的情况 60 例3 17试用传递矩阵判断下列系统的能控性 能观测性 解 1 三个行向量线性无关 系统是能控的 2 三个列向量线性无关 系统是能观测的 61 3 5实现问题 由给定的传递函数 或脉冲响应 建立与输入输出特性等价的系统方程的问题 称为实现问题 转换时由于状态方程的表示不是唯一的 因此传递函数到状态方程的转换也不是唯一的 一个传递函数可以对应多个状态方程 在实际应用中 常常根据所研究问题的需要 将传递函数化成相应的几种标准形式 设单输入 单输出系统传递函数为 62 3 5 1能控 能观标准形实现 例3 18已知传递函数为 试采用不同的转换方法到不同标准形式的状态空间方程 解 1 能控标准形 引入中间变量V s 设 得 设 有 63 可得到如式 3 26 的能控标准形状态空间方程为 64 2 能观标准形同样也可以通过设状态变量得到与能控标准形对偶的能观标准形 其表达式为 实际上 控制系统的能控标准形和能观标准形通常简单地根据式 3 26 式 3 29 与式 3 31 各参数的对应关系直接写出 65 3 5 2对角标准形或约当标准形实现 设 则有 例3 18 设 则有 设 则有 由 有 66 由以上各式可写出对角标准形状态空间方程为 例3 18是特征根各不相同时的解法 由于实际系统的特征根还存在有重根的情况 这里分别对这两种情况讨论一下系统对角标准形和约当标准形的实现问题 67 一 系统的特征根互异 式中为系统的互异极点 特征值 为待定系数 当系数比较复杂时 可采用公式 3 33 来计算 68 这时系统对应的对角标准形状态空间方程可写为 或 69 设有一个m重根 其余是互异根 二 系统的特征根具有重根 70 此时只能写出该系统如下形式的约当标准形状态空间方程 状态方程 71 输出方程 72 例3 19已知系统传递函数为 写出其对角或约当标准形状态空间方程 解 系统特征值 可化为约当标准形 求出式中待定系数 73 则状态空间方程为 需要注意的是这里讲的闭环传递函数的分母阶次小于分子阶次的情况 n m 如果分母阶次等于分子阶次时 n m 这时应做一次除法 将传递函数化为带分式的形式 再去求状态方程的表达式 74 例3 20已知系统传递函数为 写出其能控标准形状态空间方程 解 此时状态空间方程式带有关联矩阵 能控标准形为 75 3 5 3最小实现 通常我们希望实现的维数越低越好 在所有可能的实现中 维数最小的实现称为最小实现 最小实现反映了系统最简单的结构 因此最具有工程意义 定理3 18传递函数的一个实现为最小实现的充要条件是 不但能控而且能观 一般而言 构造最小实现可按如下步骤进行 1 按给定的系统传递函数阵先找出一种实现 通常 最方便的方法是选取能控标准形实现或能观标准形实现 2 对所得实现中 找出其完全能控且完全能观测部分 即为最小实现 76 3 6线性定常系统的结构分解 如果系统是不能控 不能观的 那么从结构上看 系统必然包括了能控 不能控和能观 不能观的子系统 因此可以采用线性变换的方法进行结构分解 找到能控或能观的子系统 3 6 1能控性结构分解 设不能控系统的动态方程为 经非奇异变换后 系统的动态方程可写 77 设能控性判别矩阵的秩为 选出其中个线性无关列 再加任意个线性无关列 构成非奇异变换阵 能控子系统动态方程为 不能控子系统动态方程为 非奇异变换阵的求取 使 78 例3 21对下列系统进行能控性分解 能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控 79 取中线性独立的两列向量 这里取第1 2列 再补充一个与其它列向量无关的列向量 可得到 则 能控子系统动态方程为 不能控子系统动态方程为 80 3 6 2能观性结构分解 设不能观系统的动态方程为 经非奇异变换后 系统的动态方程可写 令 将状态变量分解为能观的变量和不能观的变量两部分 81 设能观性判别矩阵的秩为 选出其中个线性无关行 再加任意个线性无关行 构成非奇异变换阵 能观子系统动态方程为 不能观子系统动态方程为 非奇异变换阵的求取 82 例3 22对下列系统进行能观性分解 解 能观性矩阵的秩 可知系统不完全能控 83 取中线性独立的两行向量 这里取第1 2行 再补充一个与其它行向量无关的行向量 可得到 则 能观子系统动态方程为 不能观子系统动态方程为 84 3 6 3系统按能控性和能观测性的标准分解 设系统即不能控又不能观 可对其进行结构分解 将系统分解为四个子系统 分别为既能控又能观 能控不能观 不能控能观 即不能控也不能观子系统 具体步骤可先对系统按能控性分解 即令 再分别对能控子系统 不能控子系统按能观测性分解 即 85 最后将状态变量分解既能控又能观 能控不能观 不能控能观 即不能控也不能观4个部分 86 经线性变换后 系统的动态方程为 系统传递函数矩阵描述的是任意系统中即能控又能观测的子系统特性 87 88 3 7MATLAB在系统能控性和能观性分析中的应用 3 7 1状态空间模型能控 能观性判定 用ctrb和obsv函数可求状态空间系统的可控性和可观性矩阵 格式如下M ctrb A B N obsv A C 例3 23试用MATLAB判断例3 1系统的能控性 a 121 0