第九周第2次课_n维向量和线性相关(课后修改版).ppt

几何与代数 主讲 王小六 东南大学线性代数课程 第四章n维向量 第一节n维向量空间 一维空间 x x R 二维空间 x y x y R 三维空间 x y z x y z R 有没有四维或更高维的空间 x y z t x y z t R 四维的空间 x1 x2 xn x1 x2 xn R n维的空间 给出n维空间的定义 本章的目的之一 一维空间 x x R 二维空间 x y x y R 三维空间 x y z x y z R x x 1 x y x 1 0 y 0 1 x y z x 1 0 0 y 0 1 0 z 0 0 1 x y m n 只要 不共线 x y z k1 k2 k3 只要 不共面 问 n维空间中的元素是不是也可以由它里面的若干个元素 生成 上面低维的例子告诉我们 一个空间可以由它里面的若干个元素 生成 给出n维空间的刻画 本章的目的之二 三维空间 x y z x y z R 二维子空间 x y z O 给出n维空间的子空间的刻画 本章的目的之三 4 1 1n维向量的概念 n维行向量 a1 a2 an n维列向量 第i分量ai i 1 n 第四章n维向量 4 1n维向量空间 a1 a2 an T 4 1n维向量空间 实向量 复向量 向量相等 零向量 负向量 Rn n维向量 第四章n维向量 4 1n维向量空间 4 1 2 n维向量的线性运算 即为矩阵的线性运算 包括 加法与数乘 第四章n维向量 4 1n维向量空间 a1 b1a2 b2an bn k ka1ka2kan 4 1 2 n维向量的线性运算 即为矩阵的线性运算 包括 加法与数乘 回顾 矩阵的线性运算满足性质 设A B C O是同型矩阵 k l是数 则 1 A B B A 2 A B C A B C 3 A O A 4 A A O 5 1A A 6 k lA kl A 7 k l A kA lA 8 k A B kA kB 第四章n维向量 4 1n维向量空间 设 是n维行 列 向量 k l是数 则 1 2 3 为n维列向量 4 5 1 6 k l kl 7 k l k l 8 k k k 4 1 2 n维向量的线性运算 即为矩阵的线性运算 包括 加法与数乘 第四章n维向量 4 1n维向量空间 定义4 1n维向量 1 2 s 数 k1 k2 ks 线性组合 k1 1 k2 2 ks s 4 1 3 线性组合和线性表示 一线性组合 线性表示 k1 1 k2 2 ks s 若存在一组数k1 k2 ks使得 则称 能由向量组 1 2 s线性表示 可以全为零 第四章n维向量 4 1n维向量空间 线性表示与共线 共面向量的判定 定理3 1设向量 则向量 与 共线 可以由 线性表示 即存在唯一的实数m使得 m 定理3 2若向量 不共线 则向量 与 共面 可以由 线性表示 即存在唯一的实数对 m n 使得 m n 第四章n维向量 4 1n维向量空间 例1 n维基本单位向量组 问 在高维的情形 如何判定一个向量可由某组向量进行线性表示 第四章n维向量 4 1n维向量空间 任何一个n维向量 都能由e1 e2 en线性表示 事实上 第四章n维向量 4 1n维向量空间 例2 A a11a12 a1sa21a22 a2s an1an2 ans 1 2 s T 能由 1 2 s线性表示 存在k1 k2 ks使得 k1 1 k2 2 ks s 1 2 s 第四章n维向量 4 1n维向量空间 例2 A a11a12 a1sa21a22 a2s an1an2 ans 1 2 s 方程组Ax 有解 其中 T 第四章n维向量 4 1n维向量空间 能由 1 2 s线性表示 二向量组之间的关系 A 1 2 sB 1 2 t 若B组中的每个向量都能由A组中的向量线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 1 给定两个向量组 第四章n维向量 4 1n维向量空间 简记为A 1 2 s B 1 2 t 若 j c1j 1 c2j 2 csj s j 1 2 t 即 1 2 n 1 2 s 第四章n维向量 4 1n维向量空间 简记为A 1 2 s B 1 2 t 若 j c1j 1 c2j 2 csj s j 1 2 t 即 Bn t An s Cs t 第四章n维向量 4 1n维向量空间 简记为A 1 2 s B 1 2 t 若 j c1j 1 c2j 2 csj s j 1 2 t 即 Bn t An s Cs t 第四章n维向量 4 1n维向量空间 向量组的线性表示 例3假设向量 问 当t取什么值的时候 1 2 3可以由 1 2线性表示 第四章n维向量 4 1n维向量空间 j c1j 1 c2j 2 csj s j 1 2 t 矩阵的乘积 Bn t An s Cs t 2 传递性 A 1 2 B 1 2 3 C 1 2 1 1 2 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 3 1 4 2 1 2 1 2 2 1 2 1 第四章n维向量 4 1n维向量空间 B能由A线性表示 A 1 2 B 1 2 3 C 1 2 A DF C能由B线性表示 一般地 C能由A线性表示 第四章n维向量 4 1n维向量空间 若向量组B能由向量组A线性表示 同时向量组A能由向量组B线性表示 则称这两个向量组等价 A 1 2 sB 1 2 t 3 给定两个向量组 显然 1 向量组A与其自身等价 反身性 2 若A与B等价 则B与A等价 对称性 3 若A与B等价且B与C等价 则B与A等价 传递性 第四章n维向量 4 1n维向量空间 例4假设向量 问 当t取什么值的时候 1 2 3可以由 1 2线性表示 这时 这两个向量组是否等价 第四章n维向量 4 1n维向量空间 4 1 4Rn的子空间 二维子空间 定义4 2如果Rn的非空子集S满足下列两个条件 则称S是Rn的子空间或向量空间 S 成立 S 加法封闭性 S k R 成立k S 数乘封闭性 也称S关于加法和数乘构成Rn的子空间 第四章n维向量 4 1n维向量空间 Rn和 0 构成Rn的一个子空间 Rn和 0 Rn的平凡 trivial 子空间 例5 检验下列集合是否构成R3的子空间 1 V1 x y 0 x y R 2 V2 x y z x y z R x y z 0 V3 x y z x y z R x y z 1 注 Rn的子空间一定包含Rn的零元素 第四章n维向量 4 1n维向量空间 数乘封闭性 例6 1 A Rs n b Rs b 检验下列集合是否构成Rn的子空间 S1 Rn A S2 Rn A b 2 A Rs n 检验下列集合是否构成Rn的子空间 T Rs 存在x Rn使得 Ax 记S1为K A 称其为Ax 的解空间或矩阵A的核空间 零空间 记T为R A 称其为矩阵A的值域 列空间 第四章n维向量 4 1n维向量空间 n维向量及其线性运算 向量与向量组的线性表示 向量组与向量组的线性表示 向量组之间的等价 Ax 是否有解 AX B是否有解 Rn的子空间 关于线性运算封闭 给定矩阵A 有两个常用的子空间 核空间与列空间 子空间一定含有零元素 第四章n维向量 第二节向量组的线性相关性 4 2向量组的线性相关性 给定一个向量组 它里面的元素有什么关系 如果其中有一部分向量组可以线性表示 生成 向量组里的所有向量 如何找出来这部分组 第四章n维向量 4 2向量组的线性相关性 例如 一个二维的向量组含有 0 1 1 0 那么 0 1 1 0 满足要求 例如 一个二维的向量组含有 1 1 1 0 那么 1 1 1 0 也满足要求 问 对于一般的情形呢 第四章n维向量 4 2向量组的线性相关性 4 2 1 基本概念 定义4 3 假设 1 2 s是n维向量 如果存在一组不全为零的数k1 k2 ks 使得k1 1 k2 2 ks s 0 则称n维向量组 1 2 s线性相关 如果 1 2 s不线性相关 则称向量组线性无关 第四章n维向量 4 2向量组的线性相关性 注 1 如果 1 2 s线性无关 就意味着不存在一组不全为零的数k1 k2 ks 使得k1 1 k2 2 ks s 0 换句话说 k1 1 k2 2 ks s 0k1 k2 ks全为零 第四章n维向量 4 2向量组的线性相关性 注 2 如何判断向量组 1 2 s线性相关或线性无关 不妨令x1 1 x2 2 xs s 即为 假设 1 2 s是列向量 齐次方程组有非零解向量组线性相关 齐次方程组只