北师大的群论__第四章 点群.doc

群论第四章 点群及其应用 复习：4.1 点 群点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群。能带。正当转动点群及其非任意性（除球之外） 极点、极点星（）除单位元外，群的极点数满足 有 即 得到 = 2 或3组：两个极点星（n，1）、（n，1）；Cn群三个极点星（2，n）、（2，n）、（n，2）；Dn群（2，6）、（3，4）、（3，4）； T群（2，12）、（3，8）、（4，6）；O群（2，30）、（3，20）、（5，12）；P群第一类点群（正当转动点群）, 11个，第二类点群（含有非正当转动点群），21个晶体点群共有32个。 准晶体，包含5度对称轴的点群；新增加了5个晶系、28个准晶点群。4.2 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作：4种8个（1）cn， （5个）（2）镜面反射（镜面反映）（3）中心反演 I （4）旋转反射（旋转反映）sn（只有s4独立） 对称操作之间的关系： （1）同轴的两个转动 （2）两个镜面的连续操作转动（转角 ） （3）（镜面）（转动 ）镜面（夹角 ） （4）C2vC2u Cw（转角 ，转轴） （5）可对易的对称操作 对称元素在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。 （1）对称元素之间的关系： 两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴； （镜面）+（n度转轴）共n个镜面； 两个2度轴（ ）垂直的n度轴； 2度轴+与之垂直的n度轴共n个2度轴。 （2）某些特殊的对称元素 主轴 等价轴、等价面 双向轴（定义，两个判定）（3）图示对称元素的方法（群的图示）极射投影图（无主轴）作业：1. 习题4. 1 2. 图示上述6对可对易的对称操作。 3. 习题4. 3 4.3 晶体点群 4.3.1 32个晶体点群 附：可能的正多面体，只有5种：面心立方晶体的布里渊区（形状为截角八面体）体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称？正十二面体？不是！形状称为菱形十二面体、或菱十二面体。体心立方晶体的布里渊区，形状被称为正十二面体的有：1 黄昆.固体物理学.人教,1979. 2 黄昆,韩汝琦.固体物理学.高教,1988.3 李冠告. 晶体结构几何学基础. 南开大学出版社,2000.110.正确的有：1 方俊鑫，陆栋. 固体物理学（上册）. 上海科学技术出版社，1980. 235.2 顾秉林,王喜坤.固体物理学.清华大学出版社,1989. 6263.4.3.2 32个点群的符号及所属晶系点群的符号：熊夫利符号 国际符号晶系：七类对称性、七种单胞坐标系4.4 点群的特征标表阿贝尔群的特征标表有16个点群是阿贝尔群Cn、Cnh、S2m、C2V、D2、D2h阿贝尔群：c = g，所有g个不可约表示都是1维的。每个不可约表示是一组数；这组数也就是该表示的特征标系。其中循环群有9个：Cn、C1h、S2m不仅c = g，而且群元的阶= g，Rg = E.对于循环群群元的阶= g，第个不可约表示为即 、例如：（1）C2=c2, E群：即 、（2）C4=c4, c42, c43, E群：、满足矩阵元的正交归一、完全性关系；满足特征标的正交归一、完全性关系。对于一般的阿贝尔群各群元的阶都是一个有限的整数，记为h，即 ，（注意）利用特征标的正交归一、完全性关系，适当地排列各群元的这些h个数。例如：C2h=E, c2, h, I 各群元的阶都是2，特征标均为1或 -1。按照特征标的正交归一、完全性关系，得到点群的特征标表1、记号说明：一维：A（主轴转动的）和B二维：E三维：T下脚标g（反演对称）和u（反演反对称）.例如：C2h2、基函数的变换性质例如：C2h、C2V3、时间反演对称性及其简并例如：C44.5 双点群对于点群G = , A, ,R, （称为单群）对应的双点群为GD=,A,R,A,R,=,A,R,（略）4.6 晶体的宏观性质与晶体的对称性晶体的宏观性质，一般用张量表示。有：零阶、一阶、二阶、三阶张量、等。一阶张量与矢量：一阶张量都是（真）矢量，具有性质， 矢量有真假之分，分别称为（真）矢量与赝矢量或 极矢量与轴矢量电偶极矩是极矢量；磁矩，是轴矢量。轴矢量（赝矢量）不是一阶张量；轴矢量（赝矢量）的一个特征是在中心反演下保持不变，例如：还有（）： ，等。不是一阶张量的（赝）矢量，常见的有角速度、旋转角、轨道角动量、磁矩等。二阶张量：、等；三阶张量：霍尔系数RH、压电系数等；四阶张量：弹性模量等。非线性光学以及电介质物理中线性极化率即一阶极化率是一个二阶张量，二阶极化率是一个三阶张量，三阶极化率是一个四阶张量，有34=81个分量，。一阶张量与晶体的对称性以电偶极矩为例。在正当转动作用下， 如果晶体的对称性群为G，则，或构成群G的恒等表示的基。矢量中独立分量的个数，与包含的恒等表示数一样例1：G = C3,包含的恒等表示数表明具有C3对称性的晶体，极化强度只能沿着z方向。同样的分析，得到具有C3对称性的晶体，磁化强度也只能沿着z方向。例2：G = C3V（1）极化强度,其中，有（2）磁化强度,其中，有可见：具有C3V对称性的晶体可以是铁电的，但不可能是铁磁的。一般：Cn、CnV，可以是铁电的；Cn、Ci、C2h、C3h、S4、S6，可以是铁磁的。例3：铁电或铁磁晶体是否可以具有对称性？群元及其坐标变换矩阵， ，得到群的群元 对于空间坐标的三维表示的特征标为，。对于铁电晶体，电偶极矩，矢量各分量与上述三维表示的基函数相同（差一个比例系数）。如果这个表示中包含一个或几个恒等表示，相应的分量将在群元作用下不变；则沿着该方向极化的铁电体就具有对称性。下面根据约化系数公式 （2.6-6）计算上述三维表示中包含的恒等表示的数目：即上述三维表示中不包含恒等表示，在群元作用下，电偶极矩矢量的各个分量不可能保持不变，所以，铁电晶体不可能具有对称性。对于铁磁晶体，磁矩在群元作用下，有， ， 即磁矩在群元作用下保持不变，所以，铁磁晶体可以具有对称性。具体的变换矩阵为， ，包含的恒等表示的数目：二阶张量以电导率张量为例。在对称操作作用下，且 由于 ，即 所以，电导率的变换为（正交变换）电导率分量的变换为电导率张量的元形成直积表示的基。直积表示的特征标如果晶体的对称性群为G，则用表示矩阵写为该直积表示必须是一个恒等表示；电导率张量的9个元中的独立元的数目，由该式确定。具体计算该直积表示中，包含恒等表示的数目，确定独立元的数目。例如：G = C2h坐标变换矩阵， ，三维表示的特征标为，；直积表示的特征标为，；则电导率张量中独立元的数目下面通过C2h的各群元，具体分析电导率张量中各元的变换性质。电导率张量各元变换性质，与下脚标的坐标变换相同。在C2h各群元作用下，不变；有只有5个独立分量；与特征标的分析一致。电导率张量的进一步分析：（1）若系统具有c2z对称性，就有（2）若是对称张量，即，则张量只有4个独立分量；（3）若平面yz或xz是对称镜面，则（4）若G = Td或Oh，则退化为标量。（5）若G = D6d，则（习题14）介电常数张量、有效质量张量等具有这方面相同的性质。实验上：六角晶体具有双折射现象，立方晶体是光学各向同性的。对于六角晶体，电导率张量常写作介电常数张量为三阶张量二阶极化率张量、霍耳系数 、这里压电常数张量，等。与二阶张量相同：张量元的变换性质与下脚标的坐标变换相同。由对称群的群元，分析张量元（零元）与群元之间的关系。四阶张量三阶极化率张量、弹性系数 ， 等。弹性系数：如果系统具有c2z对称性，该张量元是一个独立的非零元；又 如果系统具有c2z对称性，有则 ，记作 这些性质，与下脚标的坐标变换性质相同。记三阶极化率四阶张量元为，有81个：（1）三斜晶系：有81个独立的非零元素；（2）正方晶系C4：有41个非零元素，其中21个是独立的；其中（下脚标） xxxx = yyyy（c4）zzxx = zzyy另外 zxxx = zyyy， zyyy = -zxxx，得到零元zxxx = zyyy = 0.D4h、D4：21个非零元，其中11个是独立的.（3）立方晶系：21个非零元素，其中7个是独立的：xxxx = yyyy = zzzzyyzz = zzxx = xxyyzzyy = xxzz = yyxxyzyz = zxzx = xyxyzyzy = xzxz = yxyxyzzy = zxxz = xyyxzyyz = xzzx = yxxy作业：1习题142证明C3h对称性的晶体不可能是铁电的，但可以是铁磁的。4.7 分子的振动谱及简正模（简化）一个分子，对称性群记为G .例如：H2O (C2V), NH3 (C3V)分子的振动自由度有3N-6个（或3N-5个）。4.7.1 分子振动的一般理论振动方程的建立分子的势能简谐近似具有分子对称群G的对称性。定义约化位移，（）力矩阵或称动力矩阵分子的哈密顿（4.7-5）得到运动方程 （4.7-7）设解的形式为是单位本征向量的分量，。代入运动方程，得到这是力矩阵的本征值方程。3N个解称为力矩阵的本征值，对应的本征矢记为。有非零解的条件称为晶格振动的动力学方程。简正坐标目的：哈密顿量解耦, 写为简正模之和。定义简正坐标（集体坐标） （4.7-13）代入哈密顿（4.7-5），得到哈密顿量写为 （4.7-15）利用拉格朗日方程或正则方程，得到第j个振子的运动方程解为 称为分子振动的一个简正模（）。4.7.2 力矩阵的块状对角化确定简正模频率，需要求解晶格振动力矩阵的动力学方程方法：力矩阵块状对角化。分子的对称性群为G，群元R使分子中同类原子的平衡位矢相互变换 （4.7-29）第k个原子的位移及其约化位移对称变换， 分量形式（），矩阵形式，例如：水分子，点群C2V=E, c2z, , ， ， 即，即，即，即将位移u写为3N1的矢量，上式写成位移表示上面水分子的99矩阵，就是位移表示的例子（群元c2z的位移表示）。一般地：将位移u和约化位移W写为3N1的矢量，上式可写成， 即定义一个NN的置换矩阵则 例如：水分子，点群C2V=E, c2z, , 置换矩阵 ，即位移表示矩阵可写作位移表示的特征标 例如：水分子，点群C2V=E, c2z, , 的群元c2z：，有，所以下面利用位移表示及其约化的结果，定性分析晶格振动谱和振动简正模的振动图象。（1）位移表示中的分子振动特征标在群元R的位移表示特征标中：平移的贡献为分子整体转动的贡献为则在修正中，应减去对于正当转动 对于非正当转动 得到修正之后的分子振动特征标（2）分子振动的约化H2O分子对称群C2V=E、c2z、特征标系为3，1，3，1约化为H2O分子振动的简正模包含有两个1维不可约表示： A1（出现2次）、B1；得到晶格振动的本征值有3个、其中2个简正模和，按D1（A1）基函数变换，1个简正模， 按D3（B1）基函数变换。（3）H2O分子简正模的振动图象3个简正模的简正坐标分别记作，下面用投影算符分别分析上述三个简正坐标在直角坐标系中的分量。特征标投影算符则 首先分析不可约表示A1基函数：（1）有没有x方向的运动H2O分子中各原子，没有x方向的运动。（2）有没有y方向的运动H2O分子中两个H原子，在y方向相向运动，位移大小相同、方向相反；H2O分子中O原子，没有y方向的运动。（3）有没有z方向的运动H2O分子中两个H原子， 在z方向同向运动、且位移大小相等；H2O分子中O原子，在z方向也有运动；为了保持分子质心不动，H与O原子应相向运动，且位移的相对大小满足，即得到两个按照不可约表示A1变换的简正模的简正坐标为同理可以分析按照不可约表示B1变换的简正模的运动图象：H2O分子中O原子，在x方向没有运动，在y方向有运动， ，在z方向没有运动，；H2O分子中两个