8.一类改进的广义矩估计方法.doc

一类改进的空间相关系数广义矩估计方法陈建先 陈建先（1982-），籍贯福建莆田，中国社会科学院研究生院在读博士，研究方向：数量经济学及其运用。Email: （中国社会科学院研究生院 北京 102488）摘要：在Kelejian和Prucha（1999）提出的空间误差模型空间相关系数GMM估计量的基础上，我们给出了新一类空间相关系数的GMM估计量。通过Monte Carlo模拟实验，证明了新的GMM估计量有限样本性质要优于Kelejian和Prucha的GMM估计量。关键字：GMM、空间相关系数、Monte Carlo模拟实验1. 引言对于空间计量经济学模型，传统的OLS估计方法存在缺陷（Anselin，1986）。为了解决这个问题，学者们提出了各种不同的估计方法。Anselin（1986,1988a）采用极大似然法（MLE）估计空间计量模型的未知参数，他给出了似然方程，极大似然估计量等，而且提出了基于MLE的空间相关性检验方法。Lee（2004）扩展了空间计量模型的MLE方法，放宽了误差项的独立正态同分布假设，提出了伪最大似然估计方法（Quasi Maximum Limited estimator，QMLE）。虽然ML估计量具有非常良好的统计学特性，且在有限样本条件下，ML估计量在所有的渐进正态估计量中是最有效的。然而在实际运算过程中， ML估计量的获取存在着非常大的困难，它需要计算出空间形式的Jacobian特征向量（Anselin,1988b）。在小样本情况下，Ord（1975）提出了特征值分解模型，有效地解决了这个问题。但当遇到大样本（1000）时，特征值分解方法却失效了，主要原因是特征值计算过程的极度不稳定性。为了解决大样本情况下的极大似然估计问题，一些学者给出了各种不同的解决方案（Pace，1997；Pace和Barry，1997a，1997b，1999；Pace和Zou，2000；Pace和Lesage，2003）。尽管学者对MLE方法进行了多次尝试，但ML估计量的获取仍是非常难的问题，计算过程也非常之繁琐。Kelejian和Prucha（1998，2002，2004）提出了空间计量经济学模型的2SLS估计量，并证明了它是渐进正态一致估计量。2SLS估计量虽然具有不受样本数量和误差分布假设限制的优势，但其有效性不如ML估计量。Kelejian和Prucha（1999）提出了空间计量经济学模型的GMM估计量。该方法改进了MLE估计量和2SLS估计量的缺点，不仅在大样本情况下计算过程简单，而且有效性优于2SLS估计量。然而，Kelejian和Prucha（1999）的GMM估计量缺点是其有效性不如ML估计量。Lee（2005，2007a，2007b）提出了另一类GMM估计量，并证明最优GMM估计量是一个渐进正态一致估计量，且有着与ML或QML估计量相同的极限分布。然而，Lee的GMM估计量需要引入一系列外生于模型且有着零对角线性质的矩阵作为工具变量，但这些工具变量非常难以确定，选取标准也不统一。综上所述，现有文献中的各种估计方法都存在着一定的缺陷。在许多实证研究中，学者往往要在估计量的有效性和便易性之间进行权衡。为此，本文提出了另一类空间计量经济学模型的GMM估计量，该估计量是在Kelejian和Prucha（1999）的GMM基础上，对其进行了改进和完善。我们证明了新一类的GMM估计量也是一致的，且通过Moto Carlo实验方法发现，新的GMM估计量比Kelejian和Prucha（1999）的GMM有着更优的有限样本性质。2. 模型设定和假设条件2.1 模型设定我们考虑空间误差模型，模型的表达式如下： （1）其中，是被解释变量，由维观测值组成；是维矩阵，由个外生解释变量的次观测值组成；是维未知参数；是维误差项，是空间自相关系数，是方阵，表示空间权重矩阵，是维的干扰项。模型（1）可转化为标量形式模型，表达式如下： （2）2.2 假设条件为了更好的估计未知参数，我们需要设定如下假设条件：假设1：空间权重矩阵的假设：（a）主对角线元素全为零。换句话说，任何空间单元不与自己为邻；（b）权重矩阵是经过标准化处理，即各行之和为1，对于任意的；（c）权重矩阵的各个元素绝对一致有界。假设2：外生变量矩阵的假设条件：（a）当足够大时，是个满秩矩阵，即；（b）各个元素绝对一致有界；（c）矩阵非奇异且有限；假设3：误差项的假设条件：（a）的各个元素服从均值为0，方差为的正态分布，即；（b）各元素之间相互独立，:；（c）具有四阶原点矩，即，对于任意的。假设4：空间相关系数是绝对有界的，且小于1，即。假设5：矩阵是非奇异的，即存在，且其各个元素是绝对有界的。基于以上假设条件，误差项转变为：。此时，的方差协方差矩阵可求，形式如下： （3）为了估计模型的未知参数，我们需要求出，为模型的最小二乘残差，表达式为：其中为参数的最小二乘估计量，令，则可得，。3. Kelejian和Prucha（1999）的GMM估计量基于以上的模型设定和假设条件，Kelejian和Prucha（1999）提出了参数和的GMM估计量，该估计量是基于如下三个的矩条件：， （4）由于，那么总体矩可以写成如下形式： （5），。由方程（3）我们可得，总体矩相对应的样本矩方程为： （6）其中，。那么，参数和的GMM估计量和可以由下面方程得出：（7）其中，。Kelejian和Prucha（1999）证明了和是参数和的一致估计量。4.新的GMM估计方法新的GMM估计量的思路如下：在进行GMM估计时，我们需要用干扰项的最小二乘估计量来代替。同样地，在构建矩条件过程中，我们也需要用来替代。我们用替代来构建新的总体矩，得到三个总体矩条件为：（8） 又，代入到（8），总体矩也可以变为以下形式： （9）用样本矩代替总体矩，由于，且，那么样本矩可以写成以下矩阵形式：其中，。那么，参数和另一类GMM估计量和可以由下面方程得出： （10）其中，。在如前假设的情况下，、和、是渐进等价的，都是参数和的一致估计量。下面给出证明。证明：在以上假设条件下，当时，证：基于假设2， 各个元素绝对一致有界，矩阵非奇异且有限，那么矩阵的各个元素也是绝对有界的，因此：， 。可得，当时，。又因为，所以，又因为和都是参数的连续函数，因此可推出：参数的两个最小化方程（7）和（10）是渐进等价的。证明完毕！Kelejian和Prucha（1999）证明了是参数的一致估计量。由于和是渐进等价的，因此，也是的一致估计量，并且，由得出的参数的广义最小二乘估计量也是一致估计量。5. Monte Carlo模拟实验Monte Carlo模拟实验的目的是比较和两个估计量的有限样本性质。实验的设计和步骤如下：（1）设定样本观测值数，为了更好地对两个估计量进行比较，我们给出了三个不同样本观测数，；（2）设定空间相关系数，同样的，我们设定三个不同的系数值，；（3）设定空间权重矩阵，选择Rook相邻空间权重矩阵 所谓Rook相邻型，是相对于Queen相邻型而言的一种称谓，它们是空间计量经济学中两种主要的空间权重矩阵类型。前者定义相邻仅指每一个空间单元与与其成直角关系的空间单元的连接，居中的单元具有四个相邻空间，边界的单元具有三个相邻空间，角落的单元则仅具有两个相邻空间;后者定义相邻则将连接从成直角关系扩展到斜角，即从最多的四个相邻空间扩展到最多八个相邻空间，边界和角落的单元的相邻空间依此推理（lesage,1999）。，各元素随机生产，且经过归一化处理，空间权重矩阵的各行元素之和为1；（4）变量矩阵由三个外生变量组成，其中一个变量为常数项，另外两个变量设定为二进制变量形式。矩阵可表示为如下形式：（5）干扰项由正态分布随机生产，显然，被设定为1。基于以上的设定条件，我们运用Matlab软件，对每个和的组合进行了1000次的模拟实验。实验结果如下表所示：表1 两个估计量的偏差、均方误差以及拒绝原假设概率（）BiasMSEBiasMSE20-0.5-0.6071.039-0.2760.1590.0480.0890.04220-0.5-0.1510.547-0.0940.1370.0340.0580.051200-0.6831.107-0.2730.1540.0840.1440.042200-0.1810.588-0.1000.1290.0530.0840.054200.5-0.6500.917-0.2240.1380.1960.2320.041200.5-0.1470.507-0.0690.1290.1110.1180.053100-0.5-0.1010.063-0.0600.0240.0540.0740.05100-0.5-0.0300.052-0.0190.0220.0490.060.0521000-0.0950.049-0.0490.0210.0650.0760.051000-0.0300.038-0.0170.020.0540.0610.0511000.5-0.0730.025-0.0320.0210.0860.0990.0521000.5-0.0260.019-0.0090.0210.0650.0750.053400-0.5-0.0230.012-0.0160.0050.0510.0550.054400-0.5-0.0060.012-0.0050.0050.050.0520.0544000-0.0220.009-0.0120.0050.0570.0550.0484000-0.0070.008-0.0050.0050.0540.050.0484000.5-0.0140.004-0.0090.0050.0570.0560.0484000.5-0.0040.004-0.0030.0050.0520.0520.048从表1中，我们可以得出以下结论：（1）表1左列给出了和的模拟偏差和均方误差水平。从表可知，对于所有的值，在偏差和均方误差水平上都优于。在偏差方面，的偏差比减少了6580%。在均方误差方面，当时，的均方误差减低了45%，当时，这个数为20%，当时，的均方误差减低了5%。（2）从和对比来看，我们可以得出与和比较时相同的结论，即在偏差和均方误差方面均小于，说明能比更准确估计。（3）表1右列给出了三个外生变量系数显著性检验时原假设被拒绝概率水平。我们把和分别代入式（3），可得和。由于、的偏差均小于、，因此，比更为准确，用值来进行系数的显著性检验，结论的扭曲程度将有50%的改善。综上所述，用的矩条件来代替的矩条件，和的GMM量有非常大的改善，估计偏差平均降低75%，均方误差平均下降了35%，回归系数显著性检验的准确率提高了近50%。由此可见，在空间误差模型中，新一类的GMM估计方法优于Kelejian和Prucha的GMM估计方法。参考文献：1Anselin, L. 1986. 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