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第三章导数应用1 1导数与函数的单调性 复习引入 问题1 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性 1 一般地 对于给定区间上的函数f x 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 1 若f x1 f x2 那么f x 在这个区间上是增函数 即x1 x2与f x1 f x2 同号 即 2 若f x1 f x2 那么f x 在这个区间上是减函数 此时x1 x2与f x1 f x2 异号 即 2 作差f x1 f x2 并变形 2 由定义证明函数的单调性的一般步骤 1 设x1 x2是给定区间的任意两个值 且x1 x2 3 判断差的符号 与 比较 从而得函数的单调性 例1 讨论函数y x2 4x 3的单调性 解 取x1f x2 那么y f x 单调递减 当20 f x1 f x2 那么y f x 单调递增 综上y f x 单调递增区间为 2 y f x 单调递减区间为 2 函数y x2 4x 3的图象 2 单增区间 单减区间 那么如何求出下列函数的单调性呢 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 例如y x3 2x2 x 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过函数的y x2 4x 3图象来考察单调性与导数有什么关系 这表明 导数的正 负与函数的单调性密切相关 2 再观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 结论 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 则函数在该区间如果f x 0 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如果f x 0 则f x 为增函数 则f x 为减函数 例2 求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 解 函数的定义域为R f x 6x2 12x 令6x2 12x 0 解得x2 则f x 的单增区间为 0 和 2 再令6x2 12x 0 解得0 x 2 则f x 的单减区间 0 2 注 当x 0或2时 f x 0 即函数在该点单调性发生改变 例3 判定函数y ex x 1的单调区间 解 f x ex 1当ex 1 0时 解得x 0 则函数的单增区间为 0 当ex 1 0时 解得x 0 即函数的单减区间为 0 总结 根据导数确定函数的单调性 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 变1 求函数的单调区间 知识应用 一 应用导数求函数的单调区间 变2 求函数的单调区间 已知导函数的下列信息 试画出函数图象的大致形状 二 应用导数信息确定函数大致图象 知识应用 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可能的是 A B C D C 1 函数f x x3 3x 1的减区间为 1 1 B 1 2
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