第1章 函数与极限(1).ppt

1 微积分是有史以来人类精神的最高胜利 2 高等数学 3 大学与中学区别 1 课程多 上课内容多 进度快 理解难度大 2 自由度大 约束少 靠自觉 自修时间要保证 广泛涉猎参考书 扩大知识面 3 压力大 竞争激烈 考试难 及格难 为考研早做准备 4 所学知识专业性强 应用性强 要培养专业精神 关注本专业的最新动态 4 要求 1 课前预习 2 上课积极思维 做好笔记 3 及时 独立完成课后作业 4 平时多交流 多讨论 参考书 其它 5 前言 现代的自然科学和社会科学融合了大量的高等数学知识 掌握其主体内容成为一个大学生的必备技能 本课程主要介绍三块内容 微积分学 级数理论和常微分方程 其中微积分学分为一元微积分学和多元微积分学 上册主要介绍一元微积分学 其余在下册介绍 通过高等数学的学习 不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识 而且还使学生在数学的抽象性 逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶 使他们具有理解和运用逻辑关系 研究和领会抽象事物 认识和利用数形规律的初步能力 因此 高等数学的学习不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量 而且还关系到学生的思维品质 思辨能力 创造潜能等科学和文化素养 高等数学教学既是科学的基础教育 又是文化基础教育 是素质教育的一个重要的方面 6 微积分 Calculus 是一门以变量为研究对象 以极限方法作为研究工具的数学学科 应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题 就产生了微分学 应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题 就产生了积分学 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发明了微积分 微积分研究的主要对象就是函数 7 牛顿 是英国伟大的数学家 物理学家 天文学家和自然哲学家 1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村 1727年3月20日在伦敦病逝 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院 1665年获文学士学位 随后两年在家乡躲避瘟疫 这两年里 他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图 1667年回剑桥后当选为三一学院院委 次年获硕士学位 1669年任卢卡斯教授直到1701年 1696年任皇家造币厂监督 并移居伦敦 1703年任英国皇家学会会长 1706年受女王安娜封爵 他晚年潜心于自然哲学与神学 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建 8 莱布尼茨 德国数学家 哲学家 和牛顿同为微积分的创始人 1646年7月1日生于莱比锡 1716年11月14日卒于德国的汉诺威 他父亲是莱比锡大学伦理学教授 家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣 1661年入莱比锡大学学习法律 又曾到耶拿大学学习几何 1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位 他当时写的论文 论组合的技巧 已含有数理逻辑的早期思想 后来的工作使他成为数理逻辑的创始人 1667年他投身外交界 曾到欧洲各国游历 1676年到汉诺威 任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长 并常居汉诺威 直到去世 莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比 他的著作包括数学 历史 语言 生物 地质 机械 物理 法律 外交等各个方面 9 一 微积分的实际背景 1 瞬时速度 2 曲线的切线斜率 3 曲边图形的面积 二 微积分学的思想方法 运动 变化 发展乃至质变 是微积分的根本思想方法 但运动 变化的定量刻画却表现在它的反面 即相对静止之中 也就是说 用定量的方法来刻画变量的变化 10 三 微积分学的基本结构 比如做家具 原料 函数 工具 极限 产品一 导数 产品二 积分 11 第一章函数与极限 12 MappingandFunction 第一节映射与函数 一 集合 Set 1 集合概念 集合是现代数学的一个基本概念之一 无法用数学语言精确定义 只能用描述的方法来说明 所谓集合 是把一些确定的 彼此不同的研究对象视为一个整体 组成集合的每个个体 称为这个集合的元素 元素与集合有以下两种关系 两者必居其一 且只居其一 13 集合的表示方法主要有列举法和描述法 常用数集 N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 数集间的关系 不含任何元素的集合称为空集 规定 空集为任何集合的子集 列举法 描述法 14 2 集合的运算 集合的运算规律 定义 设集合A B为集合 规定下列运算 其中I是全集 15 3 区间和邻域 开区间 闭区间 左闭右开区间 左开右闭区间 16 无穷区间 17 邻域 记作 18 1 映射概念 二 映射 Mapping 19 对应法则f 1 映射的三要素 定义域 对应法则和值域的范围 说明 20 21 满射 单射和双射 如上例中 例1既不是单射 也不是满射 例2是满射 不是单射 例3是双射 22 注意 只有单射才存在逆映射 3 逆映射与复合映射 23 如 24 因变量 自变量 数集D称为这个函数的定义域 1 函数概念 三 函数 Function 25 1 函数的两要素 定义域和对应法则 定义域的确定 1 根据实际问题 2 自然定义域 使算式有意义的一切实数值 例1判断下列各对函数是否相同 解 1 4 相同 26 如何求函数的自然定义域 例2求下列函数的 自然 定义域 27 如果自变量在定义域内任取一个数值时 对应的函数值总是只有一个 这种函数称为单值函数 否则称为多值函数 3 函数的表示方法 1 表格法 2 图形法 3 解析法 公式法 2 单值函数与多值函数 多值函数 28 29 1 符号函数 分段函数 Piecewise definedFunctions 30 2 取整函数y x x 表示不超过的最大整数 31 3 狄利克雷函数 Dirichlet 32 33 2 函数的几种特性 有界 无界 1 有界性 Boundedness 34 例如 因为存在M 1 使对任意x 有 sinx 1 所以y sinx是 内的有界函数 35 2 单调性 Monotonicity 36 37 3 奇偶性 OddandEven 偶函数 偶函数的图形关于y轴对称 38 奇函数 奇函数的图形关于原点对称 39 例判断下列函数的奇偶性 偶函数 非奇非偶 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 40 4 周期性 Periodicity 通常周期函数的周期是指其最小正周期 41 3 反函数与复合函数 直接函数与反函数的图形关于直线对称 反函数 InverseFunctions 42 如 可看作由 复合而成 注 不是任何函数都可以复合成一个函数 设y f u arcsinu u g x 2 x2 不能复合 复合函数 CompositeFunctions 43 注意复合次序 关键是要掌握把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合或四则运算 44 4 基本初等函数 BasicElementaryFunctions 1 幂函数 PowerFunction 45 2 指数函数 ExponentialFunction 46 3 对数函数 LogarithmicFunction 47 4 三角函数 TrigonometricFunction 正弦函数 余弦函数 48 正切函数 余切函数 49 正割函数 余割函数 50 5 反三角函数 Anti TrigonometricFunction 51 52 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为初等函数 本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数 5 初等函数 ElementaryFunctions 53 双曲