第6章几个典型的代数系统.doc

第六章 几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等我们先讨论最简单的半群6.1半群6.1.1半群的概念定义6.1.1 设是代数结构，若是可结合的二元运算，即： a，b，cS，(ab)c=a(bc)则称为半群;定义6.1.2 设是半群。若关于运算有单位元e，则称为含么半群，有单位元半群或独异点，记为。定义6.1.3 若半群的运算满足交换律，则称是可交换半群。例6.1.1(1)，都是含么半群；不是半群；(2)设A为任一集合，则，都是可交换的含么半群；(2)设是个字母表，是上的连接运算，则空串就是中关于连接运算的单位元且该运算满足结合律，故是一个独异点。612子半群定义6.1.4 半群的了代数叫子半群 ，即设是半群，T为S的非空子集。若T关于运算封闭，则称是的子半群。定义6.1.5 设是独异点，T为S的非空子集。若T关于运算封闭，且eT，则称是的子独异点。例6.1.2和都是的子半群；是的子独异点，但不是的子独异点,因为0不在N+中。定义6.1.6设V1=, V2=是两个半群，V1与V2的积代数V1V2=其中S=S1S2，也是半群，叫，V1与V2的积半群。613半群的同态定义6.1.6 设和是半群，函数f：S1S2。若a，bS1，有 f (ab)= f (a) h (b)，则称f是到的半群同态。若f是双射，则称f为半群同构。例6.1.2证明：是V上的自同态，但不是独异点的自同态。定义6.1.7 设和是群，函数f：S1S2时同态映射，f(S1)=f(x)|xS1叫f的同态像，Ker(f)=x| xS1且f(x)= 叫同态映射f的核。像6.2群6.2.1群的定义定义6.2.1 设是半群点。若G含有幺元且G中每一个元素都是可逆的，则称是群。注： 是群： (1) 满足结合律；(2) 存在么元；(3) G上每个元素有逆元;定义6.2.2 若群中的二元运算是可交换的，则称为可交换群或Abel群。例6.2.1(1)，是群;，不是群。是群。Klein四元群G=e,a,b,c。 eabceeabcaaecbbbceaccbaee是单位元；是可交换的；a,b,c任意两个的运算结果等于第三个.说明：（1）交换群（Abel群），有限群，无限群（2）设为群，aG，则a的整数次幂可定义如下：a0=e； an+1=ana，nN；a-n=(a-1)n，nN+。6.2.2群的性质和元素的阶定理6.2.1 设为群，则(1)aG，(a1)1=a；(2)a，bG，(ab)1=b-1a-1；(3)a，bG，方程axb，yab在G中都有惟一解；(4)G中消去律成立。即若ab=ac，则b=c;若ba=ca，则b=c.(5)对m，nN，aman=am+n，(am)n=amn。定义6.2.3 设是群，aG，则使an=e成立的最小正整数n称为a的阶(周期)，记为|a|，且称a的阶是有限的，否则称a的阶是无穷的。单位元是群中阶为1的惟一元素。例6.2.2(1)在群中，任一非零整数的阶是无限的；(2)在群中，01，156，23。定理6.2.2 设是有限群，Gn，则aG，an。6.2.3子群定义6.2.4 设是群，H是G的非空子集。若也是群，则称是的子群，记作HG。若H是G的非空真子集，则称是的真子群，记作HG。例6.2.3 。定理6.2.3(子群判别法1)设H是群的非空子集，则HG当且仅当(1)a，bH， abH；(2)aH，a1H。定理6.2.4(子群判别法2) 设H是群的非空子集，则HG当且仅当a，bH， ab1H。定理6.2.6 (子群判别法3)设H是群的非空有限子集。若H关于封闭，则HG。例6.2.4设是可交换群，H=aGkI，使ak=e，则HG。6.2.4循环群定义6.2.6设是群，aG，记(a)=ai |iZ。(a)称为由a生成的子群; 设是群。若aG，使得(a)=G，则称G是循环群，又并称G是由a生成的，a称为G的生成元。例6.2.5(1)1是m阶循环群的生成元；(2)是无限阶循环群，其生成元只有1和1。说明: 每个循环群是可交换群。定理6.2.8 设G(a)，(1)若|a|无限，则G；(2)若|a|为n，则G。推论6.2.1 设G(a)，(1)若G为无限群，则|a|无限，且G=,a-1,a-1,e,a,a2,；(2)若|G|nN，则|a|n，且G=e,a,a2,a n1 。推论6.2.2 设G为n阶循环群，aG，则G=(a)当且仅当|a|=n。6.2.5置换群定义6.2.7有限集合S到其自身的双射称为S上的置换，S称为置换的阶。定义6.2.8一个有n个元素的集合上的所有置换在函数的合成运算下构成的群称为n次对称群，记为Sn。Sn的子群称为n阶置换群。注：Snn！。设S1,2，n，则Sn可记为置换的轮换表示法：例6.2.8令S1,2，3，求S3。6.2.6群同态定义6.1.9设和是群，函数f：S1S2。若a，bS1，有 f (ab)= f (a) f (b)，则称f是到的群同态。若f是双射，则称f为群同构。定义6.1.7 设和是群，函数f：S1S2时同态映射，f(S1)=f(x)|xS1叫f的同态像，Ker(f)=x| xS1且f(x)= 叫同态映射f的核。推论6.2.3任一个有限群都与某个置换群同构。6.3 环和域这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数结构，环和域.6.3.1 环 下文中符号，表示一般二元运算，分别称为加、乘运算（未必是数加和数乘），并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定，例如,a，b的积表示为ab，n个a的和a+a表示为na, n个a的积表示为an 等 定义6.3.1 称代数结构为环（ring），如果 （1）是阿贝尔群（或加群） （2）是半群 （5）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,c R，a（bc） ab+ac , （bc）a = ba+ca例6.3.1 （1）(I为整数集，+,为数加与数乘运算)为一环 （2）为环，因为我们已知为加群，为半群，此外， a(bc)= a (b+c)mod k) =（a(b+c）（mod k）（mod k） =（a（b+c）（mod k） =（ab+ac）（mod k） = ab（mod k）ac（mod k） = (ab)(ac) （3）所有整数分量的n n方阵集合Mn与矩阵加运算（+）及矩阵乘运算（）构成一环，即， 为环（4）所有实系数多项式（以x为变元）的集合Rx与多项式加，乘运算构成环，即为环（5）(其中0为加法么元、乘法零元)为一环，称为零环。（其它环至少有两个元素）（6）(其中0为加法么元、乘法零元，e为乘法么元)为一环6.3.2环有下列基本性质定理6.3.1 设为环，0为加法么元,那么对任意a,b,cR （1）0a = a0 = 0 (加法么元必为乘法零元) （2）（-a）b = a（-b）= -ab（-a表示a的加法逆元,下同） （3）（-a）（-b）= ab （4）若用ab表示a+(-b),则 （a-b）cacbc , c（a-b）ca-cb定义6.3.2 (1)环中,运算满足交换律时，称 R为交换环，(2) 环中,当运算有么元时，称R为含么环 (3)设为环，若有非零元素 a，b满足 ab = 0，则称a,b为R的零因子，并称R为含零因子环，否则称R为无零因子环例6.3.2在环中, 0是零元,2,3为零因子，因为2 30在环中有零因子 和 因为 = 它是矩阵加的么元 (4) 环中,当运算满足交换律、有单位元、无零因子，则称R为整环 (5) 环中,当运算满足交换律、有单位元、R-0中每元有逆元，则称R为除环 6.3.2域定义6.3.4若既是整环，又是除环，则称它为域,例6.3.3 （1）为域，但不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元（2）为域，1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元.（3）但不是域，它甚至不是整环，同为它有零因子，例如2，3，它们没有乘法逆元域有以下基本性质定理6.3.2为域当且仅当 p为质数定理6.3.3 有限整环都是域 6.4格与布尔代数6.4.1格的定义和性质定义6.4.1设是偏序集，若L的任两个元素组成的集合均有上确界(最小上界)和下确界(最大下界)，则称为一个格 (偏序格)。通常记ab最大下界，ab最小上界。这是集合L上的两个二元运算。例6.4.1(1)设nI，定义Snx|x I且x|n，则是格。(2)有的偏序集不是格。见例6.8例6.4.2设A是任意集合，则是格。定理6.4.1设是格，a,b,cL，则(1)交换律：abba，abba；(2)结合律：a (bc)=(ab) c，(ab)c=a (bc)；(3)幂等律：aa=a, aa=a (4)吸收律：a (ab)=a ，a (ab)=a。说明：各有一条重要原理：对偶原理。6.4.2格的代数定义和子格定义6.4.2设代数系统中的两个二元运算和满足交换律、结合律和吸收律，则称是格(代数格)。说明：幂等律可由吸收率导出 aa=a(a(aa)=a定理6.4.2 偏序格必是代数格，代数格必是偏序格。定义6.4.3设是格，S是L的非空子集。若S关于和是封闭的，则称是的子格。例6.4.3设Aa,b,c，求的子格。6.4.3特殊格定义6.4.4设是格。如果满族分配律，即a,b,cL，都有a (bc)=(ab) (ac)，a (bc)=(ab) (ac)则称是分配格。定义6.4.5有最大元和最小元的格称为有界格，最小元和最大元分别记为0和1，并称它们为该有界格的界。有界格常记为。例6.4.4是有界格，和A是它的界。例6.4.5 令L=xR|-1x1，则是有界格，定义6.4.6 设是有界格，aL。若bL，使得ab0，ab1，则称b为a的补元，记为b a。 若L中任意元素都有补元，则称是有补格。例6.4.6是有补格，S(A)，S的补元为AS。 6.4.5布尔代数定义6.4.7有补分配格称为布尔代数。通常用表示布尔代数。例6.4.7设B=0，1，B上的运算、和定义如下：11=10=01=1，00=0，1=0；11=1