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第六章二次型 在平面解析几何中 为看清二次曲线 的形状 可以采用坐标变换 化二次曲线为标准形 由此二次曲线的几何性质便一目了然 定义6 1二次齐次多项式 记 以下我们只讨论实二次型 其中 为对称阵 二次型 与对称阵 确立了1 1对应关系 称二次型 唯一确定的对称阵 为二次型 的矩阵 的秩为二次型 的秩 的矩阵 的秩为3 称对称阵 例如 而对称阵 确定的二次型为 其中 称为线性变换的矩阵 若 线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换 可逆 则称 一 正交变换法 正交变换有比一般可逆线性变换更好的性质 证明 正交变换 把 中的标准正交基 变为 中的标准正交基 例6 1用正交变换 化二次型 为标准形 并给出正交变换矩阵 解 的矩阵为 由 可得 它的一个基础解系为 得特征值 正交化得 它的基础解系为 满足 再将 单位化得 例6 2用正交变换 化下列二次型为标准形 并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵 解 的矩阵为 由 它的一个基础解系为 得特征值 它的一个基础解系为 它的基础解系为 满足 再将 单位化得 第三节惯性定理一 惯性定理实二次型的标准形一般不唯一 但若一个实二次型 经任意一个可逆线性变换 经不同可逆线性变换化为不同标准形后 标准形中所含的平方项个数都等于 称为实二次型 或 的 称为实二次型 的负惯性指数 可以写成以下形式的标准形 个数 负平方项的个数 正惯性指数 或 其中 进一步令 则 可以化为 形如上式标准形称为实二次型的规范形 第四节正定二次型定义6 2 正定性 若对任意 都有 元实二次型 0 或 0 则称 为正定 或负定 二次型 并称 的矩阵 为正定 或负定 矩阵 例如 是正定二次型 是负定二次型 是半正定二次型 既不是正定 由定义易得如下性质 经任意可逆线性变换 后所得的二次型 证明1 显然2 则对任意可逆阵 即 也正定 也正定 定理6 5设 为阶实对称阵 则以下几个命题等价 正定 或 是正定二次型 的特征值全大于零 的正惯性性指数为 4 存在可逆阵 使得 1 2 3 证明1 2 设 经正交线性变换 化为标准形 则 可经适当可逆线性变换 因为 故 的正惯性性指数为 即 定理6 6实对称阵 是它的各阶顺序主子式全大于零 即 正定的充要条件 称为的阶顺序主子式 推论实对称阵 负定的充要
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