10-11数值计算辅导.ppt

1 总复习提要及例题 2 一 误差 1 误差限的定义及求法 绝对误差限或误差限 3 例 解 一般地 凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值 其绝对误差限等于该近似值末位数字的半个单位 4 二 插值法 一 Lagrange插值 5 Lagrange线性插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 1 线形插值 6 其中 2 一般插值 7 例 解 8 且 9 作线性插值 解 Lagrange插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 10 二 Newton插值 1 差商表 11 规定函数值为零阶差商 差商表 12 13 例给定数据表f x lnx数据表xi2 202 402 602 803 00f xi 0 788460 875470 955511 029621 098611 构造差商表2 用二次Newton差商插值多项式 近似计算f 2 65 的值3 写出四次Newton差商插值多项式N4 x 解 差商表 14 N4 x 0 78846 0 43505 x 2 20 0 087375 x 2 20 x 2 40 0 0225 x 2 20 x 2 40 x 2 60 0 00755 x 2 20 x 2 40 x 2 60 x 2 80 15 只须解矩阵方程 由 因此求最小二乘解转化为 三 曲线拟合 16 一种简单常用的情况 基函数之间的内积为 17 已知一组实验数据如下 求它的拟合曲线 例题 18 解 从图中看到各点在一条直线附近 故可选择线性函数作拟合曲线 将所给数据在坐标纸上标出 见图3 4 图3 4 19 令 这里 故 20 四 数值积分 一 Newton Cotes求积公式及余项 Newton Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式 至少具有n次代数精度并且n为偶数时至少具有n 1次代数精度 一般地 Newton Cotes公式的截断误差为 21 记为 余项为 1 梯形公式及其余项 具有1次代数精度 22 记为 Simpson公式的余项为 Simpson公式具有3次代数精度 2 Simpson公式及其余项 23 记为 Cotes公式的余项为 Cotes公式具有5次代数精度 3 Cotes公式及其余项 24 例用梯形公式 Simpson公式和Cotes公式求积分 的近似值 解 I T 1 2 4 2 3 I S 1 6 4 12 8 2 3 13333 I C 1 90 28 14 3 14212 25 二 复化求积公式及余项 一 复合求积公式 各节点为 26 复合梯形公式 则有误差估计 要使 I Tn 只要 如果记M2 27 复合Simpson公式 如果记M4 则有误差估计 要使 I Sn 只要 28 的数据表 已知函数 分别用复化梯形公式 复化Simpson公式计算积分 解 例 的近似值 29 30 于是有 对复化梯形公式 若使 I Tn 10 6 只要 实际上 S3 0 9460838 故应取n 167 对复化Simpson公式 若使 I Sn 10 6 只要 故只需取n 3 31 五 解线性方程组的直接法 1 LU分解 32 其中 U的第一行 L的第一列 U的第r行 L的第r列 33 对于线性方程组 系数矩阵非奇异 经过LU分解后 线性方程组可化为下面两个三角形方程组 34 35 2 矩阵的范数和条件数 36 4 根据算子范数的不同也有不同的条件数 37 令 六 解线性方程组的迭代法 38 1 Jacobi迭代法 39 上式称为Gauss Seidel迭代法 简称G S法 2 Gauss Seidel迭代法 40 定理1 迭代格式 10 收敛的充要条件为 又因为矩阵的谱半径不超过其任一种算子范数 即 于是又可得到 4 迭代法的收敛性 设解线性方程组的迭代格式 10 41 另外 给出系数矩阵对角占优线性方程组的一个结论 定理3 定理2 且 42 Newton迭代法 非线性方程 七 非线性方程求根 43 例 用Newton迭代法求方程的根 解 由Newton迭代法 x0 0 5 x1 0 3333333333x2 0 3472222222x3 0 3472963532x4 0 3472963553 迭代四次 精度达10 8 44 15 这种方法称为Newton下山法 Newton下山法 45 例 解 1 先用Newton迭代法 x4 9 70724x5 6 54091x6 4 46497x7 3 13384x8 2 32607x9 1 90230 x10 1 75248x11 1 73240 x12 1 73205x13 1 73205 迭代13次才达到精度要求 46 2 用Newton下山法 结果如下 47 故有 且 如用Newton迭代法 求次重根 则只是线性收敛 Newton迭代法求重根的三种格式比较 格式1 48 格式