理论力学 03平面任意力系.ppt

第3章平面任意力系 返回总目录 力的平移定理平面任意力系向已知点的简化平面任意力系的简化结果平面任意力系的平衡条件和平衡方程物体系统的平衡静定和静不定问题平面静定桁架的内力计算习题与思考题 本章内容 如图3 1 a 所示 在刚体的A点作用着一个力F B点为刚体上的任一指定点 现在讨论如何将作用于A点的力F平行移动到B点 而不改变其原来的作用效果 我们可在B点加上大小相等 方向相反且与力F平行的两个力和 并使F 如图3 1 b 所示 显然和F组成一力偶 称为附加力偶 其力偶臂为d 于是作用于A点的力F可以用由作用于B点的力及附加力偶M 来替代 如图3 1 c 所示 其中附加力偶矩为 由此可知 作用于刚体上的力均可以从原来的作用位置平行移至刚体内任一指定点 欲不改变该力对于刚体的作用效应 则必须在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶 其力偶矩等于原力对于指定点之矩 这就是力的平移定理 3 1力的平移定理 图3 1平行移动作用于刚体的力 另外 我们也可以利用上述定理的逆步骤 将作用于刚体上的力偶矩为M的力偶 与作用于同一平面内的B点的力合成为一个作用于A点的力F 即该定理的逆过程也成立 力的平移定理既是力系向一点简化的理论基础 同时也可直接用来分析和解决工程实际中的力学问题 例如图3 2 a 中厂房柱子受偏心载荷F的作用 为观察F的作用效应 可将力F平移至柱的轴线上成为与矩为M的力偶 如图3 2 b 所示 轴向力使柱子压缩 而矩为M的力偶将使柱弯曲 又如图3 3中 用丝锥攻丝时 若仅用一只手加力 如图3 3 a 所示 即只在B点有作用一力F 虽然扳手也能转动 但却容易使丝锥折断 这是因为 根据力的平移定理 将作用于扳手B点的力F平行移动到丝锥中心O点时 需附加一个力偶矩 3 1力的平移定理 为M Fd的力偶 如图3 3 b 所示 这个力偶可使丝锥转动 而这个力却是使丝锥折断的主要原因 可以考虑 为什么用两手握扳手 而且用力相等时 就不会出现折断的现象 图3 2柱子受力示意 图3 3丝锥攻丝示意图 如图3 4 a 所示 设刚体上受一平面任意力系F1 F2 Fn的作用 各力的作用点分别为A1 A2 An 在力系所在的平面内任选一点O 称为简化中心 求该力系向O点简化的结果 应用力的平移定理 将各力平移至简化中心O点 同时加入相应的附加力偶 这样原力系就等效变换成为作用在O点的平面汇交力系 和作用于汇交力系所在平面内的力偶矩为M1 M2 Mn的附加平面力偶系 如图3 4 b 所示 这样 平面任意力系被分解成了两个力系 平面汇交力系和平面力偶系 然后再分别合成这两个力系 3 2平面任意力系向已知点的简化 图3 4将力系向O点简化 一 主矢 3 2平面任意力系向已知点的简化 图3 4 c 中 平面汇交力系 可合成为一作用于简化中心O的力 其大小和方向等于汇交力系的矢量和 即 而平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同 即 所以 我们将平面任意力系中各力的矢量和称为该力系的主矢 以表示 由于原力系中各力的大小和方向是一定的 所以它们的矢量和也是一定的 因而当简化中心不同时 原力系的矢量和不会改变 即力系的主矢与简化中心的位置无关 图3 4 c 中 平面附加力偶系可合成为一力偶 其力偶矩等于各附加力偶的力偶矩的代数和 用表示 即 而各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点的矩 即 3 2平面任意力系向已知点的简化 二 主矩 所以 我们将原力系中各力对简化中心的矩的代数和称为该力系对简化中心O的主矩 以表示 当简化中心的位置改变时 原力系中各力对简化中心的矩是不同的 对不同的简化中心的矩的代数和一般也不相等 所以力系对简化中心的主矩一般与简化中心的位置有关 所以 说到主矩时一般必须指出是力系对哪一点的主矩 综上所述 平面任意力系向作用面内任意一点简化的结果一般可以得到一个力和一个力偶 该力作用于简化中心 它的矢量等于原力系中各力的矢量和 即等于原力系的主矢 该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和 即等于原力系对简化中心的主矩 3 2平面任意力系向已知点的简化 三 主矢和主矩的解析表达式为了用解析法计算力系主矢的大小和方向 可以通过O点选取直角坐标系Oxy 如图3 4 c 所示 则有 上式中和以及 和 分别为主矢以及原力系中各力F1 F2 Fn在X轴和Y轴上的投影 所以 主矢的大小和方向可分别由以下两式确定 3 2平面任意力系向已知点的简化 式中 为主矢与x轴间的夹角 在平面力系的情况下 力系对简化中心的主矩是代数量 可直接由式 3 2 计算 我们知道 在工程实际当中常见的支座一般有三种 可动铰支座 固定铰支座和固定端支座 关于前两种支座的特点 我们在第1章中已做了介绍 现应用平面任意力系向作用面内任一点简化的结论 来分析固定端支座的特性 如图3 5 a 所示 杆件的一端牢固地嵌入墙内而使杆件固定不动 墙对杆件的这种约束称为固定端或插入端约束 或固定支座 在工程结构中 像一端深埋于地下的电线杆 牢固地浇筑在基础上的柱子 还有夹 紧在刀架上的车刀等 都可简化为固定端约束 图3 5 b 为杆件所受的约束力简图 当杆件所受的荷载是平面力系时 固定端所产生的约束反力也为一平面任意力系 若取一简化中心A 则可将约束反力系简化为作用在A点的一个力和一个力偶 或可将力沿直角坐标轴分解为两个分力 则一般情况下 平面固定支座所产生的约束反力有三个 水平反力 铅垂反力和反力偶 如图3 5 c 所示 可见这种约束既能阻碍物体在平面内沿任何方向移动 又能阻碍物体在平面内转动 3 2平面任意力系向已知点的简化 图3 5固定端的约束反力 一 简化结果分析由上节可知 平面任意力系向一点简化后 一般来说可以得到一个力和一个力偶 但这并不是平面任意力系简化的最后结果 所以还有必要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的几种情况作进一步的分析讨论 1 当主矢 0 主矩 0时 如上节所述 此时原力系简化为作用线通过简化中心O的一力和一力偶 如图3 6 a 所示 由力的平移定理的逆过程可知 原力系最后可以简化为一个合力 为求此合力 可将力偶矩为的力偶用一对力 表示 并令 如图3 6 b 所示 再根据加减平衡力系公理 即可将一力和一力偶最终合成为一个力 如图3 6 c 所示 该力就是原力系的合力 合力的大小和方向与原力系的主矢相同 合力作用线到点O的距离d 可由下式计算 3 3平面任意力系的简化结果 而合力的作用线在简化中心O的哪一侧 需由主矢和主矩的方向确定 或可按如下方法判断 若为正值 即为逆时针转向 则从简化中心O沿主矢的箭头指向看过去 合力应在主矢的右侧 如图3 6所示 若为负值 则合力应在主矢的左侧 3 3平面任意力系的简化结果 图3 6平面任意力系的进一步简化 2 当主矢 0 主矩 0时 此时原力系与一力等效 这个力就是原力系的合力 该合力的大小和方向与原力系的主矢相同 作用线通过简化中心O 3 当主矢 0 主矩 0时 此时原力系只与一个力偶等效 这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩 即等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和 只有在这种情况下 主矩才与简化中心的位置无关 因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩 而与矩心的位置无关 也就是说 原力系无论向哪一点简化都是一个力偶矩保持不变的力偶 4 当主矢 0 主矩 0时 则原力系为一平衡力系 这种情形将在下节中讨论 由上可知 平面任意力系简化的最后结果有三种可能性 即 可能为一个力 可能为一个力偶 或者可能平衡 综上所述 求解平面任意力系合成的步骤可总结为 任选一简化中心 计算力系的主矢和对简化中心的主矩 对简化结果进行分析而得到最终的合成结果 3 3平面任意力系的简化结果 二 合力矩定理当平面任意力系合成为一个合力时 如图3 6所示 合力对点O的矩为 由力系对O点的主矩的定义 所以 3 3平面任意力系的简化结果 上式表明 若平面任意力系可简化为一个合力时 则其合力对该力系作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和 这就是平面任意力系的合力矩定理 该定理无论在理论推导方面 还是在实际应用方面都具有非常重要的意义 3 3平面任意力系的简化结果 例3 1 重力坝受力情况如图3 7所示 设W1 450kN W2 200kN F1 300kN F2 70kN 求力系的合力FR的大小和方向 以及合力与基线OA的交点到点O的距离x 图3 7重力坝受力情况 解 该重力坝受到一平面任意力系的作用 可先将力系向一已知点简化 然后再定出合力作用线的位置 选取O为简化中心 计算力系的主矢和主矩 因为所以主矢x y轴上的投影为 由式 3 5 可知主矢的方向 因为FR 为正 FR 为负 所以可以判断主矢应在第四象限 且 即主矢与轴的夹角为 70 83度由式 3 2 可求得对简化中心O的主矩为其向O点的简化结果如图3 7 b 所示 2 求合力FR与基线OA的交点到点O的距离x 如图3 7 b 所示 由合力矩定理 因为所以解得 3 3平面任意力系的简化结果 例3 2 如图3 8所示 边长为a 1m的正方形板 受一平面力系作用 其中P1 50N P2 100N M 50Nm 若P3 200N 要使得力系的合力作用线通过D点 角应为多大 3 3平面任意力系的简化结果 图3 8正方形板受力图 解 要使得合力过D点 则将力系向D点简化后 其主矩应为零 即所以代入数据可得故即当P铅垂向上或水平向左时 可满足题意要求 一 平面任意力系平衡的充要条件 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 由上节对平面任意力系简化结果的分析可知 当平面任意力系向一已知点O简化所得的主矢和主矩不同时为零时 原力系将同一力或一力偶等效 则刚体在此力系作用下是不可能保持平衡的 只有在刚体所受到的平面任意力系为一平衡力系时 刚体才可以处于平衡状态 而要保证平面任意力系平衡 必须使其主矢和对任意点的主矩同时为零 即 所以 平面任意力系平衡的必要和充分条件是 其主矢和对简化中心的主矩同时为零 二 平面任意力系的平衡方程 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 由平面任意力系的主矢和主矩的解析计算式可知 由上式可知 上式即为平面任意力系的平衡方程 它有两个投影方程和一个力矩方程 且其相互独立 我们称其为平面任意力系的平衡方程 它是平衡方程的基本形式 根据这三个方程可求解三个未知量 3 10 3 9 我们在建立上述方程时 所选的二个投影轴是互相垂直的 大家可以考虑这是否是必须的 事实上 选取相互垂直的坐标轴只是为了计算上的方便 同平面汇交力系的问题一样 在应用时可任意选取两个相交的投影轴 且矩心也是可以任选的 在应用上式求解相关问题时 往往需要联立方程求解 特别是当分析包含较多研究对象的物体系统的平衡问题时 会由于需联立方程数目较多而使计算过程很烦琐 所以 为了简化运算 我们可以利用力系以及力对点的矩的特性来选择适当的平衡方程的形式 实际上 平面任意力系的平衡方程除了上述的基本形式外 还有更便于我们应用的另外两种形式 1 二力矩式 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 其中包含两个力矩方程和一个投影方程 但其限制条件是 两矩心A B的连线不能垂直于投影轴x 3 11 这是因为若A B连线与投影轴垂直 则即使力系满足上述三个方程 也不能保证该力系为平衡力系 如图3 9所示 若力系简化结果为一通过A B矩心的力F 很明显上述二力矩式方程均可满足 但事实上该力系不平衡 另外 如果已知一平面任意力系为一平衡力系 是不是就可以不受上述条件的限制呢 我们说在这种情况下 方程中的两个力矩方程就不是相互独立的 实际上是一个方程 所以 只有在A B连线不垂直于投影轴时 满足上述三个方程才是平面任意力系平衡的充要条件 2 三力矩式 以上三个方程均为力矩形式 其限制条件为 A B C三个矩心的连线不共线 原因可参考关于对二力矩式方程限制条件的解释自行思考 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图3 9力系简化结果 3 12 利用上述式 3 10 式 3 11 式 3 12 三种形式的平衡方程均可解决平面任意力系的平衡问题 在使用时可根据具体问题的条件来选择 同时 选择适当的投影轴和矩心位置等 亦可使解题过程得以简化 例如 应尽可能让投影轴与未知力的方向垂直 将较多未知力的交点选为矩心等 这样 所列出的平衡方程中的未知量就会较少 从而可简化对联立方程的求解 对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题 只能写出三个独立的平衡方程来求解三个未知量 对于任何形式的第四个方程都不是独立的 而是前三个方程的线性组合 但可利用这个方程对计算结果的正确性进行校核 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例3 3 图3 10所示AB梁自重不计 已知其所受外力 P 80N m 50Nm q 20N m 且l 1m 30 试求支座A B的约束反力 解 选梁AB为研究对象 它所受的主动力有 均布载荷q 重力P和矩为m的力偶 约束反力有 固定铰支座A的约束反力应通过点A 但方向不定 故可用两个分力和表示 可动铰支座B处的约束反力方向铅直向上 取图示坐标系 应用平面力系平衡方程 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图3 10AB梁受力图 1 2 3 联立求解方程可得 由上例可知 选取适当的坐标轴和矩心可减少方程中未知量的数目 在上例中若用方程来取代方程 即用二力矩式方程求解上述问题 可自行思考力矩式方程同投影式方程相比有何优越性 例3 4 如图3 11所示为一不计自重的电线杆 A端埋入地下 B端作用有导线的最大拉力F1 15kN 5 在C点处用钢丝绳拉紧 其拉力F2 18kN 45 试求A端的约束反力 图3 11电线杆受力分析 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解 取电杆为研究对象 其受力图如图3 11 b 所示 应用平面任意力系平衡方程 1 2 3 由方程求解得 最后结果为正表示与该力假设方向相同 负号表示与假设方向相反 当平面力系的所有力的作用线均相互平行时 称为平面平行力系 显然 平面平行力系是平面任意力系的一种特殊形式 所以 平面平行力系的平衡方程可由平面任意力系的平衡方程导出 如图3 12所示 选取图示坐标轴 使刚体所受的平面平行力系与轴垂直 则不论该力系是否平衡 各力在轴上的投影恒等于零 即 所以 平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个 即 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 三 平面平行力系的平衡方程 图3 12平面平行力系 同平面任意力系一样 平面平行力系的平衡方程亦可表示为二力矩形式 其限制条件为 A B矩心连线不与各力作用线平行 否则 两个力矩方程不相互独立 可见 对单个刚体而言 平面平行力系只有两个独立的平衡方程 只能求解两个未知量 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例3 5 塔式起重机如图3 13所示 机架重P 700kN 作用线通过塔架的中心 最大起重量W 200kN 最大悬臂长为12m 轨道AB的间距为4m 平衡块重G 到机身中心线距离为6m 试问 1 保证起重机在满载和空载时都不致翻倒 求平衡块的重量G应为多少 2 当平衡块重G 180kN时 求满载时轨道A B给起重机轮子的反力 解 1 以起重机整体为研究对象 其受到一平行力系作用 其中有主动力P G及W 被动力有轨道的约束反力FA FB 当满载时 应保证机身不会绕B轮翻转 在临界状态下 FA 0 此时G值应有所允许的最小值Gmin 所以由 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 当空载时 应保证机身不绕A轮翻转 在临界状态下 FB 0 此时G值应有所允许的最大值Gmax 所以由解得 解得 起重机在工作时是不允许处于极限状态的 所以 为保证其在工作时不致翻倒 平衡块的重量G应在所允许的Gmin和Gmax之间 即 2 当已知平衡块重G 180kN时 同样可以整体机身为研究对象 由平面平行力系平衡方程 由 式解得由 式解得可以利用平衡方程来验证以上的计算结果是否正确 说明计算结果正确 3 4平面任意力系的平衡条件和平衡方程 在工程实际中 绝大多数结构 设备都是由若干个物体通过约束所组成的 我们将其统称为物体系统 简称物系 如图3 14所示三铰拱结构是由两个曲杆AC BC通过铰链C连接组合而成 在研究其平衡问题时 不仅要求出结构所受的A B处的约束反力 同时还要求出它们在中间C点处相互作用的内力 而其内力和外力是根据选取研究对象的范围相对而言的 内力 组成研究对象的各刚体间相互作用的力 外力 研究对象以外的物体作用于研究对象的力 另外 即使只需求出整体结构所受的约束反力 对如图3 14所示的结构而言 在平面任意力系的作用下也只有三个独立的平衡方程 而固定铰支座A B处的未知量却有四个 所以 若只取整体结构为研究对象也不可能将所有约束反力求出 这时 就需要把某些刚体 如AC或BC曲杆 从结构中分开来单独研究 才能求出所有未知量 一般而言 当物体系统平衡时 组成该系统的每一个物体亦都处于平衡状态 即 整体平衡 其局部亦平衡 而对每一个受平面任意力系作用的物体 均可写出三个独立的平衡方程 若物系由n个物体组成 则可有3n个独立的平衡方程 若系统中未知量的数目与平衡方程的数目相等 则可由平衡方程求解出所有未知量 这样的问题称为静定问题 但是在工程实际当中 为了减小结构的过大变形 提高其承载能力或增加其稳定性 往往要给结构增加支撑 使其产生了多于维持基本平衡的约束 称为多余约束 这样 未知量的数目将多于平衡方程的数目 从而仅由力系的平衡方程就不能将所有的未知量求出 这样的问题称为静不定问题 或称超静定问题 图3 14所示的三铰拱及如图3 15所示的结构的平衡问题均为静定问题 图3 16所示的结构的平衡问题都是静不定问题 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 在静不定问题中将总未知量数与平衡方程数之差 称为超静定次数 例如图3 16 a b c 中未知量数分别为4 7 4个 而独立平衡方程数分别为3 6 3个 所以均为一次超静定问题 对于解决超静定问题 仅用静力学平衡方程是不够的 还需要考虑作用于物体上的外力和物体的变形的关系 列出相应于静不定次数的补充方程数并联立平衡方程才能解决 由于理论力学的研究对象是刚体 并不考虑物体的变形 所以 静不定问题已超出了本教材的研究范围 而对其问题的解决将在后续课程材料力学 结构力学等学科中研究 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 图3 14三铰拱结构 图3 15静定结构 下面着重讨论静定的物体系统的平衡问题 在求解物系的平衡问题时 可以选物系中某个刚体 也可取几个刚体的组合为研究对象 或者可取整个物系为分离体 而要如何选取需考虑问题的具体情况来决定 总的原则是 要使每一个方程中的未知量数尽量减少 最好只含有一个未知量 以避免求解联立方程 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 图3 16静不定结构 例3 6 组合梁ABCD 受集中力P 力偶矩为M的力偶及均布载荷q的作用 其中 如图3 17所示 试求A B的约束反力 解 1 取CBD梁为研究对象 受力图如图3 17 b 所示 列平衡方程 可得 2 取整体为研究对象 受力图如图3 17 a 所示 列平衡方程 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 图3 17组合梁受力图 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 由 3 式得由 4 式得所以 例3 7 如图3 18 a 所示的三铰拱 受铅垂主动力P及2P作用 几何尺寸如图所示 且构件自重不计 试求铰链A B C处的约束反力 解 三铰拱由AC和BC两构件构成 而在A B C处的未知力数目共有6个 所以 可分别取AC BC构件为研究对象 列平衡方程联立求解即可 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 1 以AC为研究对象 列平衡方程 图3 18三铰拱受力分析 2 以BC为研究对象 列平衡方程 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 联立上述六个方程 且 解得 在分析物系的平衡问题时 对同一问题可采用不同的方法来解决 如上例也可利用整体和局部相结合的方法来求解 首先 以整体为研究对象 受力图如图3 18 a 所示 列平衡方程 由上述方程可解得 但要求出C点的约束反力及A B处的水平反力还需要取其一部分为研究对象 如可取AC构件为研究对象 列平衡方程 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 联立求解可得对上述两种解法可自已进行分析 并总结出其各自的特点 例3 8 图3 19 a 所示构架是由折杆ABC及直杆CE和BD组成 杆件自重不计 受力如图示 试求其支座的约束反力和BD杆的内力 解 结构只受到一铅垂方向的均布荷载的作用 故其所受到的所有的力应为一平行力系 所以支座产生的约束反力有FD和FE 如图所示 以整体为研究对象 列平衡方程 解得 图3 19构架 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 2 欲求BD杆的内力FBD 须取部分构件为研究对象 且已知BD杆为二力杆 如可取折杆ABC为研究对象 列平衡方程 3 5物体系统的平衡静定和静不定问题 解得另外 若取CE杆为研究对象 亦可求出FBD 可自行分析 在工程结构中 诸如屋架 桥梁 起重机架 输电铁塔等等各类大型结构物都是由许多杆件在其两端通过焊接 铆接或螺栓连接等某种方式结合而成 在对这类构架进行结构分析时 可将杆件在其两端所受的约束简化为铰链连接 我们将这类由杆件铰结而成且受力后几何形状不变的杆系结构称为桁架结构 其杆件间的铰接点称为节点 若构成桁架的杆件轴线在同一平面内 称为平面桁架 否则称为空间桁架 在对桁架结构进行受力分析时 为简化计算 通常可作如下假设 1 轴线均为直线 2 节点均为光滑铰链连接 3 所有外力 包括主动力和约束反力 均集中作用于节点 即杆件身体部分无任何外力 4 对于平面桁架 各力的作用线都在桁架的平面内 5 杆件自重忽略不计 或将其自重可平均分配到杆件的两端节点上 通过以上假设可知 桁架中的杆件同链杆约束具有相同的特点 即均为二力杆 所以 桁架具有如下优点 其中各杆均只承受拉力和压力 可使材料力学性能得以较充分发挥 可减轻结构自身重量 使用材料比较经济合理 3 6平面静定桁架的内力计算 符合上述假定条件的桁架称为理想桁架 在此基础之上的设计计算结果一般可以满足工程实际的要求 按照桁架的几何组成方式可将其分为简单桁架 联合桁架和复杂桁架 其中简单桁架是在一相互铰接的三角形的基础上 每增加一个节点需增加两个杆件 如此延伸而形成一个几何形状不变的整体 如图3 20所示 联合桁架是由简单桁架组合而成的 除了上述两类桁架以外的其他形式的桁架 称为复杂桁架 若仅由静力学平衡方程即可将桁架的约束反力和各杆的内力全部求出 则称为静定桁架 反之称为静不定桁架 关于各类桁架的受力分析 计算方法等将在结构力学学科中详细讨论 而本课程主要利用平面力系的平衡方程对平面静定桁架的内力计算作一个初步的介绍 下面举例说明计算桁架内力的两种基本方法 节点法和截面法 3 6平面静定桁架的内力计算 一 节点法 例3 9 图3 21所示为一平面桁架 几何尺寸如图所示 在节点D处受一集中力P的作用 试求桁架中各杆件所受的内力 解 欲求出各杆的内力 首先应求出桁架的约束反力 然后再对各节点进行受力分析 即可依次求出各杆内力 1 求支座反力 以整体为研究对象 列平衡方程解得约束反力 2 求各杆内力 在求杆件的内力时 须假设将杆件截断 再以节点为研究对象 列平衡方程即可 桁架的每个节点都是在外力 主动力和约束反力 和杆件的内力共同作用下 3 6平面静定桁架的内力计算 而平衡的 且构成了一个平面汇交力系 所以 对每一个节点均可列出两个独立的平衡方程 故其未知量不能超出两个 一般可先假设各杆都受拉力 本题中可依次以节点A C D为研究对象 其受力图如3 21 b 所示 对节点A 列平衡方程 3 6平面静定桁架的内力计算 图3 21平面桁架受力分析 将代入 解得 压 拉 对节点C 列平衡方程 3 6平面静定桁架的内力计算 将代入 解得 压 拉 对节点D 只有一个未知量F4 可列平衡方程解得 拉 由计算结果可知 内力F1 F3 F4为正值 表示杆件受拉 F2 F5为负值 表示与假设方向相反 杆件受压 通过以上举例 可对利用节点法求桁架内力的要点和步骤总结如下 1 一般先应用静力平衡方程求解桁架的约束反力 2 依次取各节点为研究对象 节点上的已知力按实际方向画出 杆件的未知内力均假设为拉力 即力的方向远离节点 所选节点所含未知量不能超过2个 否则不能全部求出 3 6平面静定桁架的内力计算 二 截面法 当只需求解桁架内某个或几个杆件的内力时 可以适当地选取一截面将桁架截开 并取其一部分为研究对象 由平衡方程求出被截断的杆件的内力 这种方法称为截面法 例3 10 用截面法求图3 22所示的桁架中指定杆件1 2的内力 载荷及几何尺寸如图所示 解 1 取整体为研究对象 受力图如图3 22 a 所示 列平衡方程 可解得约束反力为 3 6平面静定桁架的内力计算 图3 22桁架杆件受力分析 2 作截面m m 取左边部分为研究对象 受力图如图3 22 b 所示 列平衡方程解得 3 作截面n n 取右边部分为研究对象 受力图如图3 22 c 所示 列平衡方程 3 6平面静定桁架的内力计算 代入 解得 在应用截面法求解桁架的内力时 应注意 在选取截面时每次最多只能截断三根杆件 因为在应用平面任意力系列平衡方程时只有三个独立的方程 在选取平衡方程时要适当选择力矩方程或投影方程 应以计算简便为原则 所有未知内力 均假定为受拉力 若结果为负值 则说明杆件受压 在对平面桁架结构进行内力分析时 不管用节点法还是截面法 都可先根据桁架的结构特性及受力特点 勿需计算即可判断出某些杆件内力为零 从而使计算过程大为简化 在桁架中内力为零的杆称为零杆 对零杆的判断有以下四种情况 1 无外力作用的节点连接两根不共线的杆件 则这两根均为零杆 如图3 23 a 中1 2杆均为零杆 2 连接两不共线的杆件的节点 且有一外力与其中一杆件共线 则另一根杆件为零杆 如图3 23 b 中1杆为零杆 3 无外力作用的节点连接三根杆件 若其中两根杆件共线 则另一根杆件为零杆 如图3 23 c 中1杆为零杆 4 无外力作用的节点连接四根杆件 且两两共线 则共线的两杆内力相同 如图3 23 d 中所示 3 6平面静定桁架的内力计算 图3 23零杆的四种情况 试用力的平移定理说明如图3 24中所示力F与力偶 F F 对轮的作用有何不同 在轴承A B处的约束反力有何不同 已知F F 0 5F 2 重W的人立于小船中央时 小船下沉距离 如图3 25 a 所示 如人立于船舷时 小船将倾斜一角度如图3 25 b 所示 试问这时小船中央下沉了多少 3 设平面任意力系向平面内某一点简化得一合力 如果选择另外的点为简化中心 此力系能否简化为一力偶 4 不平衡的平面力系 已知该力系对x轴投影的代数和为零 且对平面内A点之矩的代数和为零 问此力系简化的结果如何 5 平面任意力系向其作用面内不同的两点A B简化 假设主矢和主矩均不等于零 有没有可能所得的主矢相等 主矩也相等 3 7习题及思考题 图3 24F F F 对轮的作用 图3 25小船受力分析 一 思考题 6 平面任意力系向其平面内的任一点简化 如主矩恒为零 则该力系为何力系 7 平面任意力系平衡方程的二力矩式为什么必须加 二矩心连线不与投影轴垂直 这一限制条件 三力矩式方程的限制条件又是什么 8 平面任意力系的平衡方程能否表示为三个投影方程 9 平面力偶系的平衡方程能否表示为一个投影方程 10 静定与静不定问题应如何判断 如图3 26中所示 哪些为静定问题 哪些为静不定问题 11 如图3 27所示 试直接判断图示的桁架中 哪些是零力杆 3 7习题及思考题 图3 26静定与静不定问题 图3 27判断桁架结构中的零力杆 1 求如图3 28所示平面力系的合成结果 2 将如图3 29所示平面任意力系向坐标原点O简化 并求力系合力的大小及其与原点O的距离d 已知P1 150N P2 200N P3 300N F1 F1 200N且二力平行 3 如图3 30所示 胶带运输机传动滚筒的半径R 0 325m 由驱动装置传来的力偶矩M 4 65kN m 紧边皮带张力T1 19kN 松边皮带张力T2 4 7kN 皮带包角为210 试将力系向点O简化 4 如图3 31所示 堤坝高h 宽b 堤前的水深为h 水和堤的单位体积重量分别为y与q 堤身绕A点翻倒的安全系数为2 求堤坝的宽度b和高度h的比值 3 7习题及思考题 二 习题 图3 28求平面力系的合成结果 图3 29平面力系的简化合成 3 7习题及思考题 图3 30传动滚筒 图3 31堤坝受力示意图 5 如图3 32所示一支架ABC 该支架所受力F 4 5kN 试求支架中梁AB和杆BC所受的力 6 如图3 33所示一起重设备简图 已知杆AB重W 1 8kN 且C点为AB杆的中点 提升的设备重量为G 20kN 试求系在起重摆杆A端的绳AD的拉力以及B处的约束反力 7 活动梯子放在光滑的水平地面上 梯子由BC及AC两部分组成 每部分各重150N 彼此用铰链C及绳子EF连接 今有一人 重为G 600N 站在D点处 尺寸如图示 试求绳子EF的拉力及A B两处的约束反力 3 7习题及思考题 图3 32支架受力分析 图3 33起重设备简图 图3 34阳台受力分析 8 阳台一端砌入墙内 其自重为集度为q的均布载荷 受力如图3 34所示 q F l均为已知 试求阳台固定端的约束力 9 厂房立柱受力