凸函数的一个性质的再探索.doc

凸函数的一个性质的再探索陆秀良 01211101(徐州师范大学 数学系 徐州 221116)摘要 本文通过对凸函数的一个性质的进一步探讨，在不同区间上给出了几个结论， 并利用其证明一些简不等式.关键词 凸函数；不等式；性质.1 引言 凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在不等式研究中，凸函数的性质发挥着很大的作用，本文类比文1凸函数在上的一个性质，给出了以及上的情形，利用其处理不等式.从文中可以看出凸函数在不等式中的作用.定义 设函数在上有定义，对任意，若其图象上任两点、之间的弧段总位于线段的上方，即对任意，下面（*）式成立， （*）则称函数在上是上凸函数，若弧段总位于线段的下方，即（*）式不等号反向成立，则称函数在上是下凸函数.引理1 如果是上的上（下）凸函数，那么关于的函数 在上是减（增）函数.引理2 如果是上的上（下）凸函数，那么关于的函数 在上是减（增）函数. 由引理2我们可以类似得出如下推论.推论1 如果是上的上（下）凸函数，那么关于的函数 在上是减（增）函数. 证明 如果是上的上凸函数.任取，且，在（*）式中令，取，可得，整理得，取，亦可得，即,故函数在上是减函数.同理可证括号内的情形.引理3如果是上的上（下）凸函数，那么对于正数，有.2 判定定理定理1如果是上的上（下）凸函数，那么对于负数，有.证明 如果是上的上凸函数，因，由引理1和推论1分别可得,即，也就是，故，即.同理可证括号内的情形.引理3和定理1是全为正或全为负数时的情形，由此我们可以得出以下结论定理2 如果是上的上（下）凸函数，那么对于若干个非零实数，（不防设,）,有.证明 若是上的上凸函数，由定理1和引理3分别可得，两式相加即.同理可证括号内的情形.分析：下面我们就为一般情况时来讨论(不防设，这里我们不讨论有等号情形)有如下定理定理3 如果是上的上（下）凸函数，那么对于任意实数，有 ， （*），其中.证明 令，则由上凸函数定义可知，因为，故，从而，即，即. 原不等式成立.同理可证括号内的情形.当时，即皆为正数时，所得结论和引理3是一致的. 3 应用例1 已知负数满足，则.证明 取，可知为上的上凸函数，由定理1可得结论.例2 已知正数满足，则.证明 我们可设函数，则可知在上为下凸函数，令，由定理2可得即原不等式成立.综观全文，定理1-定理3根据引理3在不同区间有着类似结论的特点，给出了一些结论，在实际应用中可能我们也会想到，在此以定理的形式给出结论.参考文献1 金楚华.凸函数的一个性质J.中学数学，2000，5：4243.2 王良成.函数的平均变化率与其图象间关系J.数学通讯，1999，8.3 华东师范大学.数学分析M.北京:高等教育出版社,1991.Further Inquiry about Property of Convex FunctionLu Xiuliang 01211101(Dept. of Math.,Xuzhou Normal University,Xuzhou 221116)Abstract In this paper, we give some conclusions on different intervals ,and demonstrate several simple inequalities by them through further inquiry about pro