2012数列求和及数列的综合应用.ppt

数列求和及数列的综合应用1 等差 等比数列的求和公式 1 等差数列前n项和公式 Sn na1 d 2 等比数列前n项和公式 q 1时 Sn na1 q 1时 Sn 2 数列求和的方法技巧 1 转化法 有些数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将数列通项拆开或变形 可转化为几个等差 等比数列或常见的数列 即先分别求和 然后再合并 2 错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 3 倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法 也就是将一个数列倒过来排列 反序 当它与原数列相加时若有公式可提 并且剩余项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 4 裂项相消法 利用通项变形 将通项分裂成两项或n项的差 通过相加过程中的相互抵消 最后只剩下有限项的和 3 数列的应用题 1 应用问题一般文字叙述较长 反映的事物背景陌生 知识涉及面广 因此要解好应用题 首先应当提高阅读理解能力 将普通语言转化为数 学语言或数学符号 实际问题转化为数学问题 然后再用数学运算 数学推理予以解决 2 数列应用题一般是等比 等差数列问题 其中 等比数列涉及的范围比较广 如经济上涉及利润 成本 效益的增减 解决该类题的关键是建立一个数列模型 an 利用该数列的通项公式 递推公式或前n项和公式 一 错位相减法求数列的和 例1已知f x logax a 0且a 1 设f a1 f a2 f an n N 是首项为4 公差为2的等差数列 1 设a为常数 求证 an 成等比数列 2 若bn anf an bn 的前n项和是Sn 当a 时 求Sn 3 令cn anlgan问是否存在a 使得 cn 中每一项恒小于它后面的项 若存在 求出a的范围 若不存在 说明理由 思维启迪 1 用定义 q n 2 为常数 2 观察bn的通项 有两部分构成 一部分为等差 一部分为等比 可考虑错位相减 3 实质上讨论n N 时 cn cn 1恒成立 1 证明f an 4 n 1 2 2n 2 即logaan 2n 2 可得an a2n 2 当n 2时 为定值 an 为等比数列 2 解bn anf an a2n 2logaa2n 2 2n 2 a2n 2 当a 时 bn 2n 2 2n 2 n 1 2n 2 Sn 2 23 3 24 4 25 n 1 2n 2 2Sn 2 24 3 25 4 26 n 2n 2 n 1 2n 3 得 Sn 2 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 16 n 1 2n 3 16 2n 3 24 n 2n 3 2n 3 n 2n 3 Sn n 2n 3 3 解cn anlgan a2n 2lga2n 2 2n 2 a2n 2lga 要使cn 11时 即n n 1 a2 对一切n 2恒成立 当0 n 1 a2n 对一切n 2成立 只需2 01 探究提高第 1 题判定 an 是等比数列常利用等比数列的定义 第 2 题求Sn前必先求通项an 通过分析an的特点来选择求和方法 在第 3 问解不等式求a的取值范围时 实质上是恒成立问题 变式训练1 2009 潍坊模拟 已知等差数列 an 和正项等比数列 bn a1 b1 1 a3 a5 a7 9 a7是b3和b7的等比中项 1 求数列 an bn 的通项公式 2 若cn 2an 求数列 cn 的前n项和Tn 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由题设知a3 a5 a7 9 3a5 9 a5 3 则d an a1 n 1 d a7 4 又 b3 b7 16 b3 b7 16 又b5 0 b5 4 q4 4 又q 0 q bn b1 qn 1 2 cn 2an n 1 2n 1 Tn c1 c2 cn 2 3 2 4 22 n 1 2n 1 2Tn 2 2 3 22 n 2n 1 n 1 2n 得 Tn 2 2 22 2n 1 n 1 2n n 1 2n 1 n 2n Tn n 2n 二 裂项相消求数列的前n项和例2等差数列 an 各项均为正整数 a1 3 前n项和为Sn 等比数列 bn 中 b1 1 且b2S2 64 是公比为64的等比数列 1 求an与bn 2 证明 思维启迪 1 先设 an 的公差为d bn 的公比为q 用待定系数法即可求出d与q 从而求出an bn的通项 2 先求出Sn 然后用裂项相消求和法即可解决 1 解设 an 的公差为d bn 的公比为q 则d为正整数 an 3 n 1 d bn qn 1 依题意有 由q 6 d 64知q为正有理数 又由q 知 d为6的因子1 2 3 6之一 解 得d 2 q 8 故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 证明Sn 3 5 2n 1 n n 2 所以 探究提高 1 待定系数法是高中数学中的重要思想方法 在数列中常常用该法求未知量 2 对于Sn a1 a2 a3 an 其中an 其中p q为常数 的求和问题 往往用裂项相消法 变式训练2设a b是常数 且ab 0 函数f x 满足f 2 1 有且只有一个x值使f x x成立 1 求a b的值 2 若数列 xn 满足xn f xn 1 n 2 且x1 1 证明 数列为等差数列 3 令bn xn xn 1 n N 求数列 bn 的前n项和 1 解 f 2 1 2a b 2 又只有一个x值使f x x 即 x只有一个解 ax b x x 0只有唯一解 ax b 1 x 0只有唯一解x 0 b 1 a 2 证明由 1 得f x 据已知得xn 即xn xn 1 2xn 1 2xn 若xn 0 则有xn 1 0 由此推得x1 0 与已知x1 1矛盾 xn 0 n 2 n N 是以 1为首项 为公差的等差数列 3 解由 2 知 1 n 1 数列 xn 的通项公式为xn 三 数列与不等式的综合问题 例3已知数列 an 有a1 a a2 p 常数p 0 对任意的正整数n Sn a1 a2 an且Sn 1 求a的值 2 试确定数列 an 是否是等差数列 若是 求出其通项公式 若不是 说明理由 3 令pn 证明 2n p1 p2 pn 2n 3 思维启迪本题可以根据累商法求出通项公式an 判断数列的性质 然后根据p1 p2 pn的特点证明不等式 1 解S1 a1 0 a1 0 即a 0 2 解an Sn Sn 1 n 2 于是an an 1 a2 n 1 p 由a1 1 1 p 0 an 是一个以0为首项 p为公差的等差数列 3 证明 p1 p2 pn 2n p1 p2 pn 2n 3 综上可得 2n p1 p2 pn 2n 3 n 1 2 探究提高常见的证明不等式的方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 综合法 分析法 反证法 放缩法 变式训练3 2008 浙江理 22 已知数列 an an 0 a1 0 四 数列应用题 例4 2009 盐城模拟 下图是一个面积为1的等边三角形 现进行如下操作 第一次操作 分别连接这个三角形三边的中点 构成4个三角形 挖去中间一个三角形 如图 中阴影部分所示 并在挖去的三角形上贴上数字标签 1 第二次操作连接剩余的三个三角形三边的中点 再挖去各自中间的三角形 如图 中阴影部分所示 同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签 2 第三次操作 连接剩余的各三角形三边的中点 再挖去各自中间的三角形 同时在挖去的三角形上都贴上数字标签 3 如此下去 记第n次操作后剩余图形的总面积为an 1 求a1 a2 2 欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的 问至少经过多少次操作 3 求第n次操作后 挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Sn 思维启迪 1 根据平面几何知识 面积比等于相似比的平方 可求阴影部分的面积 作差可求a1 a2 2 根据题意可知an是一个等比数列 可写出an的通项公式 由an 可求n 3 由题意可知Sn 1 1 2 3 3 9 n 3n 1 利用错位相减法求Sn 解 1 根据题意 s1 s a1 1 同理图 中一个小三角形2的面积s2 a2 a1 a2 2 易知 an 是以为首项 以为公比的等比数列 an n 由 n40 32 41 33 42 34 43 35 44 当n 5时 n 所以至少经过5次操作 可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的 3 设第n次操作挖去bn个三角形 则 bn 是以1为首项 3为公比的等比数列 即bn 3n 1 所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Sn 1 1 2 3 n 3n 1 则3Sn 1 3 2 32 n 3n 两式相减 得 2Sn 1 3 32 3n 1 n 3n n 3n 故Sn 3n 探究提高数列的渗透力很强 它和函数 方程 三角 不等式 平面几何 解析几何等知识相互联系 优化组合 无形中加大了综合的力度 在现实生活中 产量的增加 成本的降低 存款利息的计算 分期付款问题等 都可以利用数列解决 变式训练4甲 乙两大超市同时开业 第一年的全年销售额均为a万元 由于经营方式不同 甲超市前n年的总销售额为 n2 n 2 万元 乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多 n 1a万元 1 求甲 乙两超市第n年销售额的表达式 2 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50 则该超市将被另一超市收购 判断哪一超市有可能被收购 如果有这种情况 将会出现在第几年 解 1 设甲 乙两超市第n年的销售额分别为an bn 又设甲超市前n年总销售额为Sn 则Sn n2 n 2 n 2 因n 1时 a1 a 则n 2时 an Sn Sn 1 n2 n 2 n 1 2 n 1 2 a n 1 a n 1 n 1 a n 2 又因b1 a n 2时 bn bn 1 n 1a 故bn b1 b2 b1 b3 b2 bn bn 1 a a 2a n 1a 1 2 n 1 a 故an 显然n 1也适合 故bn 3 2 n 1 a n N 2 当n 2时 a2 a b2 a 有a2 b2 n 3时 a3 2a b3 a 有a3 b3 当n 4时 an 3a 而bnbn 则 n 1 a 3 2 n 1 an 1 6 4 n 1 即n 7 4 n 1 又当n 7时 07 4 n 1 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半 乙超市将被甲超市收购 规律方法总结 1 数列求和的方法归纳 1 转化法 将数列的项进行分组重组 使之转化为n个等差数列或等比数列 然后应用公式求和 2 错位相减法 适用于 anbn 的前n项和 其中 an 是等差数列 bn 是等比数列 3 裂项法 求 an 的前n项和时 若能将an拆分为an bn bn 1 则a1 a2 an b1 bn 1 4 倒序相加法 一个数列倒过来与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项的和容易求出 那么这样的数列求和可采用此法 其主要用于求组合数数列的和 这里易忽视因式为零的情况 5 试值猜想法 通过对S1 S2 S3 的计算进行归纳分析 寻求规律 猜想出Sn 然后用数学归纳法给出证明 易错点 对于Sn不加证明 6 并项求和法 先将某些项放在一起先求和 然后再求Sn 例如对于数列 an a1 1 a2 3 a3 2 an 2 an 1 an 可证其满足an 6 an 在求和时 依次6项求和 再求Sn 2 复习时 要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式 注意函数与方程思想 整体思想 分类讨论思想 数形结合思想的运用 一 选择题 1 若等比数列 an 的前n项和Sn 且S10 18 S20 24 则S40等于 A B C D 解析根据分析易知 S10 18 S20 S10 6 S30 S20 2 S40 S30 S40 故选A A 2 2009 大连模拟 设Sn为数列 an 的前n项和 若不等式 对任何等差数列 an 及任何正整数n恒成立 则 的最大值为 A 0B C D 1 解析a1 0时 不等式恒成立 当a1 0时 将an a1 n 1 d Sn na1 代入上式 并化简得 2 max B 3 数列 an 的通项公式an 若 an 的前n项和为24 则n为 A 25B 576 C 624D 625 解析an 前n项和Sn 1 1 24 故n 624 选C C 4 2009 广东理 4 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则当n 1时 log2a1 log2a3 log2a2n 1 A n 2n 1 B n 1 2 C n2 D n 1 2 解析由题意知an 2n log2a2n 1 2n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 1 3 2n 1 n2 C 5 已知数列 an 满足a1 0 an 1 n N 则a20等于 A 0 B C D 解析 a1 0 an 1 a2 a3 a4 0 从而知3为最小正周期 从而a20 a3 6 2 a2 B 二 填空题 6 设数列 an 的前n项和为Sn Sn nN 且a4 54 则a1 解析由于Sn nN 则a4 S4 S3 27a1 且a4 54 则a1 2 2 7 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S4 10 S5 15 则a4的最大值为 解析设等差数列的首项为a1 公差为d 则S4 4a1 6d 10 即2a1 3d 5 S5 5a1 10d 15 即a1 2d 3 又a4 a1 3d 因此求a4的最值可转化为在线性约束条件2a1 3d 5 a1 2d 3 限制之下的线性目标函数的最值问题 作出可行域如下图