2016考研数学线性代数基础讲义.pdf

课程铸就品质 服务感动学员 1 2016考研数学线性代数基础班 第一章第一章 行列式行列式 1 排列与逆序 定义 由 n 个自然数1 2 3 n 组成的无重复有序实数组 12 n i ii 称为一个 n 级排列 定义 在一个 n 级排列中 如果一个较大数排在一个较小数前面 我 们就称这两个数构成一个逆序 对于逆序 我们感兴趣的是一个 n 级排列 12 n i ii 中逆序的总数 称为 n 级 排列的逆序数 记作 12 n i ii 例 1 1 22 1 1 2 1 2 n n n nnnn 25341 2 行列式的定义 2 n个数 ij a 1 2 i jn 排成的行列的方形表称为一个n阶行列式 它表示所 有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和 例 11 22 nn a a a 1122nn a aa 11 22 nn a a a 11 22 nn a a a 11 2 1 2 1 11 1 2 1 1 nn nn nn n n n aa aa aa a a a 课程铸就品质 服务感动学员 2 3 行列式的性质 1 转置不改变行列式的值 2 行列式某行 列 元素的公因子可以提到行列式之外 3 行列式两行 列 元素成比例 则行列式值为0 例 012 103 230 D 3 012 103 230 T DD 1 4 互换行列式的某两行 列 行列式的值改变符号 5 行列式的分行 列 可加性 6 行列式某行 列 的倍数加到另外一行 列 行列式 值不变 例 423 1423 423 aduaadu bevbbev cfwccfw 设 则 4 行列式的余子式 代数余子式 划去元素 ij a所在的行 列 剩下的元素按照原来的顺序排成的n 1阶行列式称为 ij a的余子式 记为 ij M 称 1 i j ijij AM 为 ij a的代数余子式 例 123 456 789 D 12 M 12 A 5 行列式的展开 1 展开定理 1122iiiiinin Da Aa Aa A 1 2 in 1122jjjjnjnj a Aa Aa A 1 2 jn 2 行列式某一行 列 每个元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积的和等于0 1122 0 kikiknin a Aa Aa A ki 1122 0 kikinkni a Aa Aa A ki 例 11 12 13 3 3 31 32 33 120 619 ij Daaaa MMxMx 设有行列式 满足 余子式 则 6 行列式的计算 行列式基本方法 利用性质及展开 课程铸就品质 服务感动学员 3 具体方法 方法一 化三角法 利用性质将行列式化为三角型行列式 例 4124 1202 3320 0112 D 0 1 1 11 1 0 1 ni n a a Da a 思考 abbb babb Dbbab bbba 方法二 降阶法 利用展开降阶 例 求方程 324 220 423 的根 例 2100 1210 0120 0012 n D 方法三 范德蒙行列式 123 2222 123 1 1111 123 1111 n n nij jin nnnn n xxxx xxxxDxx xxxx 例 111 235 4925 222 abc Dabc bccaab 课程铸就品质 服务感动学员 4 第二章第二章 矩阵矩阵 第一节 矩阵及其运算 1 矩阵概念 1 定义 11121 21222 12 n n ij m n mmmn aaa aaa Aa aaa 2 特殊矩阵 1 零矩阵 2 n阶方阵 3 行矩阵 向量 列矩阵 向量 4 对角矩阵 单位矩阵 2 矩阵的运算 1 加法与数乘 ijijm n ijm n ABab Aka 加法 数乘 k 2 乘法 1 乘法法则 m nm ss n CAB 2 运算律 ABBA A BCABAC BC ABA CA 例 15 321 24 112 31 例 n阶矩阵满足 2 AA 2 BB 2 ABAB 证明 0ABBA 3 转置 ijm n Aa T jin m Aa TT AA T T kAkA T TT ABAB T TT ABB A 注 对称矩阵与反对称矩阵 ij n n ij n n Aa Aa 对称 反对称 4 方阵的运算 1 方阵的幂及其运算律 m AAAA mnmmm AAABA B 课程铸就品质 服务感动学员 5 例 Tn nAA 设为 维列向量 求 2 方阵的行列式 n kAkA A BB AAB 3 伴随矩阵 ijn n Aa 11211 12222 12 n n jin n nnnn n n AAA AAA AA AAA 性质 A AAAA E 11 1 n n AA AAA kAkAABB A 3 矩阵的逆 定义 基本求逆公式 可逆的充要条件 性质 1111 111111 1 0 AAkAAk k ABB AABAB 例 2 320nAAAE 阶矩阵 满足 1 AEAE 证明可逆 并求 例 1 1 3 10 2 AAAA 三阶矩阵 满足 求 4 矩阵分块 将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵 每个小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的 矩阵称为分块矩阵 12 34 2 2 4 4 0002 1000 0100 0010 AA A AA 例 课程铸就品质 服务感动学员 6 10000 01000 12100 11010 01001 A 1000 1000 0131 0214 0121 B AB 例 列分块 11121 21222 12 1 12 n n ijn n m n mmmn aaa aaa x Aa aaa 行分块 1 2 1 m n m m A 分块对角形矩阵 1 1 1 00 00 AA BB 1 1 1 00 00 AB BA 1 1 2 2 n n n AA AA 第二节 矩阵的初等变换与秩 1 初等变换定义 初等行变换 0 ijiij rrrk krkr 初等列变换 0 ijiij ccck kckc 2 初等矩阵 1 定义 由单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵 2 类型 1 01 10 1 E i j 1 1 E i kk 1 1 1 1 E i j k k 3 性质 初等矩阵都是可逆的 其逆仍是初等矩阵 且 1 Ei jE i j 1 1 k Ei kE i 1 Ei j kE i jk 3 初等变换的本质 1 ABPAB 一次行变换 1 ABA QB 一次列变换 课程铸就品质 服务感动学员 7 例 设A是3阶方阵 将A的第2行加到第1行得B 再将B的第1列的 1倍加到第2列得C 记 110 010 001 P 则 A 1 CP AP B 1 CPAP C T CP AP D T CP A P 4 矩阵等价 1 定义 ABAB 有限次初等变换 2 性质 0 00 r E A 例 求逆 223 110 121 A 223100110010 112010121001 121001223100 110010100143 011011010153 001164001164 A E 5 矩阵的秩 1 定义 r Ar A至少有一个r阶子式不为零0 r D 所有r 1阶子式 1 0 r D 都为零 如 1234 0125 2468 A 2 特点 初等变换不改变矩阵的秩 例 求秩 1111 0111 2314 3517 A 11111111 01120112 23240010 35170000 A 6 秩的性质 1 0r A 课程铸就品质 服务感动学员 8 2 ijm n Aa mi n 0 T r Ar Ar k Am nk 3 P Q可逆 则 r PAr AQr PAQr A 例 4 3 A 2r A 102 020 103 B r AB 4 r ABr Ar B 5 若 m n A n s B 0AB 则 r Ar Bn 例 122 43 311 0 3 AtB ABt 设 为三阶非零矩阵 且 则 第三章第三章 向量向量 第一节 向量组线性相关性 1 向量及其运算 1 定义 一个n维数组称为一个n维向量 1 T 1 n n a aa a 2 运算 加法 数乘 2 线性表示 线性组合 定义 11mm xx 3 向量间的关系的描述 线性相关 线性无关 定义 若存在一组不全为0的数 12 n x xx 使得 1122 0 nn xxx 则称向量组 12 n 线性相关 否则称为线性无关 注 12 n 线性无关 例 123 121323 设 线性无关 证明 线性无关 4 性质与结论 课程铸就品质 服务感动学员 9 1 线性相关 无关 2 含有零向量的向量组一定线性相关 3 向量组的一个部分组线性相关 则向量组一定线性相关 向量组本身线性无关 则其任何一个部分组线性无关 4 12 n 线性无关 12 n 线性相关 则 可由 12 n 线性表示 5 相关判定 1 线性表示判定 12 12 n n 可由线性表示 不能由线性表示 2 线性相 无 关判定 12 12 n n 线性相关 线性无关 例 向量组 123 1 0 2 1 1 3 1 1 2 1 2 3 TTTT aa 1 a取何值时 不能由 123 线性表示 2 a 取何值时 能由 123 线性表示 例 向量组 123 1 3 6 2 2 1 2 1 1 1 2 TTT a 线性相关 则 a 123 121121 311054 620106 212000 aa 第二节 向量组的极大无关组与秩 1 极大线性无关组与秩 定义 1212 12 1212 1212 12 nr r nr rn n rrr 为一个向量组 为其一个部分组 满足 1 线性无关 2 中任何一个向量都可以由线性表示 则称为向量组的一个极大线性无关组 称为向量组的秩 记为 2 向量组等价 1212 rs III IIIIII IIIIII 两个向量组 若 中任一向量可以由向量组 线性表示 则称向量组 可由向量组 线性表示 若 与 可以互相线性表示 则称 与 等价 课程铸就品质 服务感动学员 10 注 等价向量组有相同的秩 二 常用结论 1 矩阵的秩与向量组秩的关系 矩阵的秩矩阵行向量组的秩矩阵列向量组的秩 三秩相等 11121 21222 12 1 12 n n ijn n m n mmmn aaa aaa Aa aaa 2 初等变换意义下的等价与秩 向量组 矩阵 AB 行变换 1 A B的行向量组等价 列向量组未必等价 2 A B的列向量组有相同的线性相关性 例 设向量组 1 1 2 3 1 T 2 3 1 5 3 T 3 5 0 7 5 T 4 2 1 2 2 T 求 1 向量组的秩及一个极大无关组 2 把其余向量用该极大无关组表示出来 第四章第四章 线性方程组线性方程组 第一节 齐次线性方程组 1 齐次线性方程组的定义 11 11221 1 122 0 0 nn mmmnn a xa xa x a xaxa x 注 矩阵形式 0Ax 1 11 21 2 12 22 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 1 2 n x x x x 向量形式 1122 0 nn xxx 12 n A 2 方程组的解 1 解的形式 零解 非零解 2 解的线性性质 1 2 3 解的判定 1 0Ax r An r An 仅有零解 唯一解 有非零解 无穷多解 课程铸就品质 服务感动学员 11 2 nm 时 0Ax 0 0 A A 只有零解 有非零解 4 解的结构 1 基础解系的定义 12 12 12 12 0 0 0 t t t t Ax Ax Ax 为齐次线性方程组的解 满足 1 线性无关 2 的任意一个解都可以由 线性表示 则称 为的一个基础解系 注 基础解系的本质 2 基础解系特点及求法 对于方程组 0 m n Ax 若 r Arn 则其一定有基础解系 且基础解系中一定含有 n r 个向量 故0 m n Ax 的通解为 1 122n rn r xkkk 注 任何 n r 个线性无关解都是基础解系 找解系的指导思想 例 求 1234 1234 1234 0 30 230 xxxx xxxx xxxx 的基础解系 例 1212 010 101 0 AttAx t Ax 设 且方程组的基础解系中 仅含有两个线性无关的解向量 求的通解 第二节 非齐次线性方程组 1 非齐次线性方程组的定义 11 111 1 1 nn mmnnm a xa xb a xa xb 注 矩阵形式 A xb 1 11 21 2 12 22 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 1 2 n x x x x 向量形式 1122nn xxxb 12 n A 2 方程组的解 1 解的形式 无解 仅有一个解 无穷多个解 课程铸就品质 服务感动学员 12 2 解的线性性质 1 2 3 解的判定 1 n n r Ar A Axbr Ar A r Ar A 无解 有唯一解 有无穷多个解 2 mn 时 1 1 0 n D D D D AAA 且xbxb 4 解的结构 m n Axb r Ar An 1 1n rn r kk x 例 求非齐次方程组的通解 1234 1234 1234 221 245 224 xxxx xxxx xxxx 例 12312 23 3 3 1 1 0 2 1 0 1 3 T T Axbr A Axb 设四元非齐次方程组 已知是 个解向量 且 求的通解 第五章第五章 矩阵的特征值与特征矩阵的特征值与特征向量向量 第一节 方阵的特征值与特征向量 1 内积 向量之间的一种运算 定义 11 TTn nn aabb 1 12 2 TT n n aba ba b 2 正交组的概念 1 向量正交的定义 2 正交组 正交组与线性无关组的关系 正交组 两两正交的非0向量组 性质 正交组一定线性无关 反之不真 但线性无关组可通 Schmidt方法化为正交组 3 Schmidt方法 12 r 正交化 11 21 221 11 课程铸就品质 服务感动学员 13 11 11 1111 rrr rrr rr 单位化 1 1 1 2 2 2 4 正交矩阵 1 定义 T AAE 2 性质 1 1 1 T T AAA AA AAAA AA 的列 行 向量 正交 正交 正交正交 正组是单位正交交向量组 5 特征值与特征向量 1 定义 A 0 2 求法 1 0 0 n ii EA EA x 得特征值 第二步 得属 第一步 解 分别解方于程组的特征向量 例 324 202 423 A 3 特征值与特征向量的性质 1 1 121122 12 ijn nn nnn n nAan aaatr A A 阶矩阵有 个特征值 且 例 200 0 1 2 5 03 AabAa b b 的特征值为 求的值 2 10 m m A f Aa Aa Aa Ef f A 是 的特征值 是 的一个特征向量 则 一定有特征值 也是的特征向量 3 特征向量的线性无关性 属于不同特征值的特征向量一定线性无关 r r r 课程铸就品质 服务感动学员 14 特别地 实对称矩阵的特征值全为实数 且实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的 第二节 相似矩阵与矩阵对角化 1 相似矩阵 1 定义 2 相似的性质 ABAB 有相同的特征多项式 特征值 行列式 秩 反之不真 例 ABABE 若四阶矩阵 与 相似 的特征值为1 2 3 4则 2 矩阵对角化 1 定义 A与对角矩阵相似 即 1 n A 则称A可相似对角化 2 对角化的条件 1 充要条件 n nn n AAn 可对角化有 个线性无关的特征向量 2 充分条件 n nn n AnA 有 个不同的特征值 则可以对角化 3 实对称矩阵一定可以对角化 且存在正交矩阵Q使得 1 1T n Q AQQ AQ 例 133 353 664 A 是否可以对角化 若可