第一篇 以二次函数为基架探究点的存在性问题六、以面积为条件的存在问题.doc

第一篇 以二次函数为基架探究点的存在性问题六.以多边形面积为条件的存在问题24(2010宜宾市本题满分l2分)将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点A(0，6)，c=61分抛物线的图象又经过点(3，0)和(6，0)， 2分解之，得 3分 故此抛物线的解析式为：y= x2+x+64分 (2)设点P的坐标为(m，0)，则PC=6m，SABC = BCAO = 96=275分PEAB，CEPCAB6分 = ()2,即 = ( ) 2 SCEP = (6m)2.7分 SAPC = PCAO = (6m)6=3 (6m)SAPE = SAPCSCEP =3 (6m) (6m)2 = (m )2+.当m = 时，SAPE有最大面积为；此时，点P的坐标为(,0)8分(3)如图，过G作GHBC于点H，设点G的坐标为G(a，b)，9分连接AG、GC， S梯形AOHG = a (b+6), SCHG = (6 a)b S四边形AOCG = a (b+6) + (6 a)b=3(a+b)10分 SAGC = S四边形AOCG SAOC =3(a+b)1811分点G(a，b)在抛物线y= x2+x+6的图象上， b= a2+a+6. = 3(a a2+a+6)18 化简，得4a224a+27=0 解之，得a1= ，a2= 故点G的坐标为(,)或(，) 12分26.（2005宜宾市中考本小题满分12分）如图（16），已知抛物线的顶点为M（2，4），且过点A（1，5），连结AM交x轴于点B（1）求这条抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结PO，以P为顶角、PO为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR设PQR的面积为S。求S与x之间的函数关系式；(4)在上述动点P（x，y）中，是否存在使SPQR = 2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由26、解：（1）抛物线的顶点为M（2，-4）.可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-4 (1分)这条抛物线过点A（-1，5），5=（-1-2）2-4，解得a=1(2分)所求抛物线的解析式为y=(x-2)2-4,即y=x2-4x (3分)(2)设直线AM的解式为y=kx+b; A(-5,5)、M(2,-4).-k+b=52k+b=-4,解得k=-3,b=2直线AM的解析式为y=-3x+2.当y=0时，得x=，即AM与x轴的交点B(,0) (6分)（3）显然，抛物线y=x2-4x过原点O(0,0)当动点P(x,y)使POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q(2x,0).动点P在x轴下方、顶点M左方,0x2当点Q与B(,0)重合时，PQR不存在，x.动点(Px,y)应满足条件为0x2且x. (7分)QR与x轴垂直且与直线AM交于点R，R点的坐标应表为(2x,-3(2x)+2)，即R(2x,-6x+2).作PHQR于H，则PH|=|2x-x|=x,QR=|-6x+2|.而S=PQR的面积=QRPH=|-6x+2|x. （8分）下面分两种情形讨论：i)当点Q在点B左方时，即0x0.S=(-6x+2)x=-3x2+x (9分)ii)当点Q在点B右方时，即x2时，点R在x轴下方，-6x+20.S=-(-6x+2)x=-3x2-x (10分)即S与x之间的函数关系式可表示为S=-3x2+x (0x)3x2-x (x2)当S=2时，应有-3x2+x=2,即3x2-x=0，显然0，此方程无解.或有3x2-x=2，即3x2-x-2=0解得x1=1,x2= (11分) 当x=1时，y=x2-4x=-3，即抛物线上的点P(1,-3)可使S=2.当x=-0时，不合条件，应舍去.存在动点P，使S=2,此时P点坐标为(1,-3) (12分)23 (2010德州市本题满分11分) 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)xyOABCPQDEGMNF(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；xyOABCPQMN第23题图(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒。当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值解：(1)二次函数的图象经过点C(0，-3)，设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG点M为FG的中点 -8分S=，=由=S=-10分又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0t20 当t=20秒时，面积S有最小值3-11分c =-3将点A(3，0)，B(2，-3)代入得解得：a=1，b=-2-2分配方得：，所以对称轴为x=1-3分(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t点B，点C的纵坐标相等，BCOA过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB即QE=AD=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形CEDGAxyOBF25(2010绵阳市)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积解：（1）由题意，得 解得，b =1所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（1，）（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周长最小值为CD + DR + CH =设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3所以直线BD的解析式为y =x + 3由于BC = 2，CE = BC2 =，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直线EF的解析式为y =x +联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H（，）（3）设K（t，），xFtxE过K作x轴的垂线交EF于N则 KN = yKyN =（t +）=所 SEFK = SKFN + SKNE =KN（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t23t + 5 =（t +）2 +即当t =时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（，）28（2010江苏省宿迁市 本题满分12分）（第28题）已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点求证：四边形是等腰梯形；（3）问Q抛物线上是否存在点，使得OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解:（1）求出：，抛物线的对称轴为：x=2 3分(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BEOBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），BOE= OBD= OEBD四边形ODBE是