线性方程组直接解法实验.doc

实验一 线性方程组直接解法实验一、实验目的1.运用matlab软件完成线性方程组的直接实验；2.通过实验,了解Doolittle分解方法和列主元消去法解方程组的过程，并比较两种方法的优点。二、实验题目分别用Doolittle分解方法和列主元消去法解方程组.输出A，b；Doolittle分解方法的L和U；解向量x,detA;列主元方法的行交换次序，解向量x,detA；比较两种方法所得的结果。三、实验原理1) Doolittle分解方法的原理算法原理：应用高斯消去法解阶线性方程经过步消去后得出一个等价的上三角形方程组，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。这个过程也可通过矩阵分解来实现。将非奇异阵分解成一个下三角阵和上三角阵的乘积称为对矩阵的三角分解，又称分解。根据分解,将分解为形式,简化了求解问题。程序框图：变量说明：为系数矩阵元素，为常数矩阵系数，分别为下、上三角矩阵元素。2) 列主元消去法解方程组的原理算法原理：列选主元是当变换到第步时，从列的及以下的各元素中选取绝对值最大的元素，通过行交换将其交换到的位置上，然后再进行消元过程。交换系数矩阵中的两行（包括常数项），相当于两个方程的位置交换了。程序框图：变量说明：表示消元到第k步，为消元第步时主对角线元素3) 四、实验过程及结果1) Doolittle分解方法的输出结果-计算实习题-Page64 第1题 用Doolittle分解方法解方程组A = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 -3.0000 2.1000 6.0000 2.0000 5.0000 -1.0000 5.0000 -1.0000 2.0000 1.0000 0 2.0000b = 8.0000 5.9000 5.0000 1.0000L = 1.0e+006 * 0.0000 0 0 0 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 -2.5000 0.0000 0 0.0000 -2.4000 0.0000 0.0000U = 1.0e+007 * 0.0000 -0.0000 0 0.0000 0 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 1.5000 0.5750 0 0 0 0.0000X = -0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000det(A)值为-762.00009000-输出完毕-2) 列主元消去法输出结果-计算实习题-Page64 第1题列主元消去法解方程组A = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 -3.0000 2.1000 6.0000 2.0000 5.0000 -1.0000 5.0000 -1.0000 2.0000 1.0000 0 2.0000b = 8.0000 5.9000 5.0000 1.0000X = 0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000detA值为-762.00009000-输出完毕-五、实验分析1.运用LU分解法可以成批地解方程组,且速度快.若c先求LU=A3,再解(LU)x=b,则要重新计算,计算量增加;如果按照上述方法计算,能够减少运算次数,加快运算速度.3. 无论当n=10、n=100、n=1000时,x1与x2的值都相等,且随着n的增大,变化的只是解的中间部分数字,头、前后几位数都没有变化.高斯消去法应用于三对角方程组得到的就是所谓的“追赶法”.追赶法不需要对零元素计算，只有6n-5次乘除法计算量，求解速度快.且当系数矩阵对角占优时数值稳定，是解三对角方程组的优秀解法.用LU分解法解此方程组速度慢.顺序高斯消去法实际上就是将方程组的系数矩阵分解成单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积.顺序高斯消去法的消元过程相当于LU分解过程和Ly=b的求解,回代过程则相当于解线性方程组Ux=y,故其求解速度慢.六、附原程序1) Doolittle分解方法原程序fprintf(-计算实习题-n)fprintf(Page64 第1题 用Doolittle分解方法解方程组n) A=10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2;b=8;5.900001;5;1; n=length(A); U=zeros(n,n);L=eye(n,n);U(1,:)=A(1,:);L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);for i=2:n; U(i,i:n)=A(i,i:n)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,i:n); L(i+1:n,i)=(A(i+1:n,i)-L(i+1:n,1:i-1)*U(1:i-1,i)/U(i,i);endY=zeros(n);Y(1)=b(1);for i=2:n Y(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*Y(1:i-1,1);endX=zeros(n,1);if det(U)=0; X=0;else X(n)=Y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1 X(i)=(Y(i)-U(i,i+1:n)*X(i+1:n,1)/U(i,i);endend AbLUXfprintf(det(A)值为%9.8fn,det(A)fprintf(-输出完毕 -n)2) 列主元消去法原程序fprintf(-计算实习题-n)fprintf(Page64 第1题列主元消去法解方程组n)A=10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ;5 -1 5 -1 ; 2 1 0 2; b=8;5.900001;5;1; C=A b; n=length(A); D=zeros(n,n+1); l=zeros(n,1); for i=1:n D=C; k=min(find(C(i:n,i)=max(C(i:n,i); C(i,i:n+1)=D(k+i-1,i:n+1); C(k+i-1,i:n+1)=D(i,i:n+1); l(i+1:n,1)=C(i+1:n,i)/C(i,i); C(i+1:n,i:n+1)= C(i+1:n,i:n+1)- l(i+1:n,1)*C(i,i:n+1);endX=zeros(n,