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例析“设而不求”在高中数学中应用 江苏省淮安市车桥中学 黄翠芬“设而不求”是高中数学中的一种重要思想方法，它与函数、数列、不等式、方程等相关问题的紧密联系所谓“设而不求”，顾名思义就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体的去直接解出变量的值，而是利用某种关系去表示变量间的联系。如果能灵活进行运用对于提高解题速度会起着很好的效果，但是学生往往对于这个方法很刺手，本文通过几个例题进行阐述，希望能加强学生对块知识的理解。题型一、求函数的解析式例：已知，若为奇函数，当,求函数的解析式。分析：当时，即，满足条件给的解析式，再利用奇函数性质可求。拓展：定义在上的函数满足，求函数的解析式。 提示：将中的用替换，则得到。然后用2即可得所求的解析式。 题型二、数列 例：已知等差数列，前项和为，若，求。 分析：等差数列依次等距离和仍构成等差数列，即仍构成等差数列。很易求出，所以。 题型三、不等式 例：求证：。 分析：本题可以看成点、两个线段、长度之和大于等于线段的长度，只有当三点共线时才取等号。 拓展：已知圆，相互垂直的两条直线、都过点，求、被圆所截得弦长之和的最大值。 提示：过圆心作两直线垂线垂足分别为、，再根据圆的弦心定理可得：取最大值，由题意可得四边形为矩形，且，再利用不等式可求最大值，当且仅当时，取“”。题型四、求直线方程例：已知两点，这两点到点距离相等，求点的轨迹方程。提示：由题意知的轨迹是线段的垂直平分线，设，线段的中点，则，即。因，所以可得。变形1：已知两点，直线经过且已知两点到直线距离相等，求直线方程。提示：本题有两种可能：平行或过线段的中点，在所求直线上设任意一点（不与点重合）坐标为，仿照上面例子用向量共线可解决。变形2：已知直线，求直线关于对称的直线方程。分析：设所求直线上任意一点，则它关于的对称点为应落在已知直线上，故点的坐标满足直线的方程，即，再将、换成、即可。题型五、求圆锥曲线方程例：已知椭圆，求以为中点的弦所在直线的方程。提示：设弦的两端点分别为，则，又、两点均在椭圆上，故有，。两式相减得=4，故，得所求方程为。变形1：（苏教版P66、10）已知双曲线，过点能否作一条直线交双曲线于，使为线段的中点？提示：设存在直线满足题意且、，则。两式相减可得（）。由为线段的中点可得，。由双曲线的对称性可知，直线不可能垂直轴。这样（）化简可得。故直线方程可求出，即存在满足题意的直线。拓展1：（苏教版P66、16）若椭圆与直线交于点，点为的中点，直线（为原点）的斜率为，又，求的值。提示：因，在已知直线上，故设，因点为的中点，所以得，由直线（为原点）的斜率为可得（1），因，在椭圆上，则，两式相减可得：（2）。联立（1）、（2）可得（3），由椭圆与直线交于点，可知为方程的两个根，则利用根与系数的关系可得：（4），再利用，可得，即，将（4）代入化解可得（5），联立（3）、（5）可解得的值。拓展2：、是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：、两点纵坐标之积为定值且直
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