32支路电流法.doc

第三章 电阻电路一般分析3.2支路电流法对于一个具有条支路和个节点的电路，当支路电压和支路电流为电路变量列写方程时，总计有个未知量。根据KCL可以列写个独立方程、根据KVL可以列写个独立方程，根据元件的VCR又可列出个方程。总计方程数为，与未知量数相等。为了减少求解的方程数，可以利用元件的VCR将各支路电压以支路电流表示，然后代入KVL方程，这样，就得到以个支路电流为未知量的KCL方程和KVL方程。方程数从减少至。这种方法称为支路电流法。现以图3-7（a）所示电路为例说明支路电流法。把电压源和电阻的串联组合作为一条支路；把电流源和电阻的并联组合作为一条支路，这样电路的图就如同图（b），其节点数，支路数为，各支路的方向和编号也示于图中。求解变量为、。先利用元件的VCR，将支路电压、以支路、表示。图3-7（c）（d）给出支路1和支路5的结构，有（a） （b） （c） （d）图3-7 支路电流源 （3-1） 对独立节点、列出KCL方程，有 （3-2） 选择网孔作为独立回路，按图3-7（b）所示回路绕行方向列出KVL方程 （3-3）将式（3-1）代入（3-3），得把上式中和项移到方程的右边，有 （3-4）式（3-2）和式（3-4）就是以支路电流、为未知量的支路电流法方程。式（3-4）可归纳为 （3-5）式中为回路中第个支路的电阻上的电压，求和遍及回路中的所有支路，且当参考方向与回路方向一致时，前面取“+”号；不一致时，取“-”号；右方为回路中第支路的电源电压，电源电压包括电压源，也包括电流源引起的电压。 列出支路电流法的电路方程的步骤如下：（1）选定各支路电流的参考方向；（2）根据KCL对个独立节点列出方程；（3）选取个独立回路，指定回路的绕行方向，按照式（3-5）列出KVL方程。支路电流法要求个支路电压均能以支路电流表示，即存在式（3-1）形式的关系。当一条支路仅含电流源而不存在与之并联的电阻时，就无法将支路电压以支路电流表示。这种无并联电阻的电流源称为无伴电流源。当电路中存在这类支路时，必须加以处理后才能应用支路电流法。如果将支路电流用支路电压表示，然后代入KCL方程，连同支路电压的KVL方程，可得列以支路电压为变量的个方程。这就是支路电压法。3.3 回路电流法以图3-8所示电路为例，如果选支路（4，5，6）为树（图中用实线画出），可以得到以支路（1，2，3）为单连支的3个基本回路，它们是独立回路。把连支电流、分别作为各自单连支回路中流动的假想回路电流、。支路4为回路1和2所共有，而其方向与回路1的绕行方向相反，与回路2的绕行方向也相反，所以有同理，可以得出支路5和支路6的电流和为从以上3个方程式可见，树支电流可以通过连支电流或回路电流表达，即全部支路电流可以通过回路电流表达。 （a） （b）图3-8 回路电流法示例用电路图在三个基本回路列出以回路电流、为变量的KVL方程分别为 （3-6）经过整理后，可得 （3-7）对于个支路、个节点的电路，回路电流数。KVL方程中，支路中各电阻上的电压都可表示为这些回路电流作用的结果。于是可写出回路电流的一般形式 （3-8）上式中、含意如下：（）是第个回路的自电阻，它等于第个回路所含各支路电阻之和，此电阻为正值；（；）是第个回路与第个回路所共有的电阻，即、均经其中的电阻，并且当、流经公共电阻参考方向相同时，取正值，相反时，取负值；若不流经回路，即回路、间没有公共的支路，则；（）是第个回路中各电源电压的代数和，凡电源电压参考方向与回路参考方向一致的电压源前取“-”号，否则取“+”号。式（3-8）是一个元线性代数方程组，它的解答可表示如下 （3-9）式中是方程式（3-8）的系数行列式，即（）是行列式中元素的代数余子式，即划去中的第行、第列后的子行列式再乘以。式（3-9）即为线性电阻电路中回路电流的一般形式。式中的的系数均只决定于电路的结构与参数，而与电压、电流无关。用观察法直接列写回路电流方程的步骤可以归纳如下：（1）根据给定的电路，通过选择一个树确定一组基本回路，并指定各回路电流（即连支电流）的参考方向。（2）按一般公式（3-8）列出回路电流，注意自阻总是正的，互阻的正、负由相关的两个回路电流通过共有电阻时，两者的参考方向是否相同而定。（3）当电路中有受控电源或无伴电流源时，需另行处理。（4）对于平面电路可以选取网孔作为回路，列写相应的方程。3.4 节点电压法 例如，对于图3-10（a）所示电路及其图，节点的编号和支路的编号及参考方向均示于图中。电路的节点数为4，支路数为6。节点为参考节点，并规定节点、的节点电压分别用、表示。 电压分别用、和来表示。根据KVL，不难求出，以及。 （a） （b）图3-10 节点电压法对节点、，应用KCL，有 （3-10）根据各支路的VCR及支路电压与节点电压的关系，式（3-10）成为 （3-11）经整理，就可得到以节点电压为独立变量的方程 （3-12）式（3-12）可改写为 （3-13）式中、为支路1、2、6的电导。列节点电压方程时，可以根据观察法根据KCL直接写出式（3-12）或式（3-13），不必按照前述步骤进行。为归纳出更一般的节点电压方程，可令，分别为节点、的自导，自导总是正的，它等于连于各节点支路导纳之和；令，分别为节点、，、和、这3对节点间的互导。互导总是负的，它们等于连接于两节点间支路电导的负值。方程右方写为、，分别表示节点、的注入电流。注入电流等于流向节点的电流源的代数和，流入节点者前面取“+”号，流出节点者前面取“-”号。注入电流源还应包括电压源和电阻串联组合经等效变换形式的电流源。在上例中，节点除了有流入外，还有电压源形成的等效电流源。3个独立节点的节点电压方程成为 （3-14）式（3-14）不难推广到具有个独立节点的电路，有 （3-15） 求得各节点电压后，可以根据VCR求出各支路电流。列节点电压方程时，不需要事先指定支路电流的参考方向。节点电压方程本身已包含了KVL，而以KCL的形式写出，故如要检验答案，应按支路电流用KCL进行。用观察法直接列写节点电压方程的步骤可以归纳如下：（1）指定参考节点，其余节点对参考节点之间的电压就是节点电压。通常以参考节点为各节点电压的负极性。（2）按一般公式（3-15）列出节点电压方程，注意自导总是正的，互导总是负的。并注意各节点注入电流前面的“+”