第八章作业参考答案(P191) 2. 如果 分别是下述两个定解问题 的解则.doc

第八章作业参考答案(P191)2. 如果分别是下述两个定解问题的解，则是定解问题的解，试证之。证明：因为，所以有：。（1）又因为是对应定解问题的解，所以有：。代入（1）中，有，又因为，从而既满足泛定方程，又满足边界条件，是原问题的解。4. 求解混合问题其中b为已知常数，为已知函数。解：不妨设，则有原定解问题可得关于V的定解问题：易得此问题的解为：从而原定解问题的解为：另解：根据边界条件，可设原定解问题具有Fourier解, 代入方程可求的T满足的微分方程，求解满足边界条件的T即可得到原定解问题的Fourier解。8. 求解初值问题：。解：可利用冲量原理方法。首先求解如下定解问题：，易得其解为从而原定解问题的解为：解法二：原方程的解可以表示为Fourier积分形式如下：将其代入到泛定方程中，交换和求导次序可得的Fourier变换满足的微分方程，求解之后再作一次逆变换即可。这种解法和利用Fourier变换方法求解是等价的。第九章 Lapalce方程在圆内的Dirichlet问题 （P205）3. 求解Dirichlet问题其中A为已知常数。解：这个方程的解可以用Poisson积分表示如下：计算上述积分（可利用残数定理计算）即可得到该问题的解。另解：因为0r1, 因此可以将未知函数展开成关于的Fourier级数，然后再求该问题的Fourier解。4. 求解定解问题：解法一:Fourier解法根据边界条件，可设定解问题的Fourier解为：，将其代入到泛定方程中可得：，整理可得到Rn满足的常微分方程：，这是一个Euler型方程，容易解得：.考虑到应为有限值，故有 考虑边界条件可得：，所以有：。从而原定解问题的解应为：解法二：设，代入泛定方程分离变量可得：，从而可得如下常微分方程：考虑到边界条件，可得如下本征值问题：讨论易得当时，该问题有非平凡解此后求解关于R的方程以及利用最后一个边界条件确定待定系数方法同解法一。7. 在以原点为圆心，a为半径的圆内，求解Poisson方程：的解，使其满足边界条件解：根据题意，原问题可以转化为在极坐标系下求解如下定解问题：。设存在分离变量的解：，代入方程可得：从而可得到两个常微分方程：由边界条件可得，且有自然边界条件。通过讨论关于的本征值问题可知，当问题有非零解 此时关于R的方程经过一次变量替换，可转换为m阶Bessel方程相应地，边界条件变为。该方程可以用幂级数解法求解，其通解为柱函数。补充题：证明。证明：设是定以在实轴上的任意函数，则有从而有。第十章 波动方程的DAlembert解 (P224)4. 试求出方程的通解为，其中为充分光滑的任意函数。提示：作变换。解：设，则有 从而有：将以上结果代入原方程中可得：11. 求解初值问题：。解：原问题的解可以表示为：，其中分别是如下两定解问题的解： ，第一个问题是一个纯受迫振动问题，可以利用冲量原理法或者Fourier积分方法求解，第二个问题是自由振动问题，其解忧DAlembert公式给出。此外本问题可以利用Fourier变换方法求解。15. 利用三维Poisson公式求解定解问题。（略）第十三章 Fourier变换 （P301）1. 计算下列函数的Fourier变换。 解：4. 求解定解问题解：对定解问题施用Fourier变换，并设可得：其解为：，从而原定解问题的解为：第十四章 Laplace变换（P326）1. 求下列函数的