连续时间LTI系统的时域分析.doc

湖南文理学院系统建模与设计报告专业班级：电信08104 学生姓名：湛 江 丰 学生学号：200811020405 指导教师：曹 斌 芳 设计时间：2010年12月16日 一、课程设计题目：基于 MATLAB的连续时间LTI系统的时域分析二、基本要求： 掌握连续时不变信号处理的基本概念、基本理论和基本方法； 学会 MATLAB 的使用，掌握 MATLAB 的程序设计方法； 学会用 MATLAB 对信号进行分析和处理； 编程实现卷积积分或卷积和，零输入响应，零状态响应； 撰写课程设计论文，用信号处理基本理论分析结果。三、设计方法与步骤：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: 求解系统的零输入响应; 求解系统的零状态响应; 求解系统的全响应; 分析系统的卷积；画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.1连续时间系统的零输入响应 描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为： 已知y及各阶导数的初始值为y(0),y(1)(0)， y(n-1)(0)， 求系统的零输入响应。 建模当LIT系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）其中p1,p2,pn是特征方程a1n+a2n-1+an+an=0的根，它们可以用root(a)语句求得。各系数 由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有写成矩阵形式为: P1n-1C1+ P2n-1C2+ Pnn-1Cn=Dn-1y0 即 VC=Y0 其解为：C=VY0 式中V为范德蒙矩阵，在matlab的特殊矩阵库中有vander。以下面式子为例：y(0_)=1,y(0_)=5；MATLAB程序：a=input(输入分母系数a=a1,a2,.=);n=length(a)-1;Y0=input(输入初始条件向量 Y0=y0,Dy0,D2y0,.=);p=roots(a);V=rot90(vander(p);c=VY0;dt=input(dt=);te=input(te=);t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t);for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);gridxlabel(t) ;ylabel(y);title(零输入响应);程序运行结果：用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=1,5,4 Y0=1,5 dt=0.01 te=6结果如下图：根据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值。随着时间的推移，最后零输入响应的值无限的趋近于0。2卷积的计算连续时间信号和的卷积运算可用信号的分段求和来实现，即：如果只求当t = nD（n为整数）时f (t)的值f (nD) ，则上式可得：式中的 实际上就是连续时间信号和经等时间间隔 均匀抽样的离散序列和的卷积和。当D足够小时，就是卷积积分的结果连续时间信号f (t)的较好数值近似。建模下面是利用MATLAB 实现连续信号卷积的通用程序conv()，该程序在计算出卷积积分的数值近似的同时，还绘制出f (t)的时域波形图。应注意，程序中是如何设定f (t)的时间长度。MATLAB程序：f1=input(输入函数f1=);f2=input(输入函数f2=);dt=input(dt=);y=conv(f1,f2);plot(dt*(1:length(y)-1),y);grid on;title(卷积);xlabel(t); ylabel(f1*f2)程序运行结果：输入以下数据：f1=sin(3*t) f2=cos(3*t+2) dt=0.01得出图形如下：3连续时间系统零状态响应的数值计算 我们知道，LTI连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述， 例如，对于以下方程: 可用输入函数，得出它的冲击响应h ，再根据LTI系统的零状态响应y（t）是激励u（t）与冲击响应h（t）的卷积积分。注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a或b中的对应元素应为零，不能省略不写，否则出错。求函数的零状态响应及初始状态。输入函数。建模 先求出系统的冲击响应，写出其特征方程 求出其特征根为p和p，及相应的留数r，r；则冲击响应为 输入y（t）可用输入u（t）与冲击响应h（t）的卷积求得。MATLAB程序：a=input(输入分母系数a=a1,a2,.=);b=input(输入输入信号系数b=b1,b2,.=);dt=input(dt=);te=input(te=);t=0:dt:te;u=input(输入函数u=);te=t(end);dt=te/(length(t)-1);r,p,k=residue(b,a);h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t);subplot(2,1,1),plot(t,h);gridtitle(冲击函数);y=conv(u,h)*dt;subplot(2,1,2),plot(t,y(1:length(t);gridtitle(零状态响应);程序运行结果 执行这个程序，取a=1,5,4 b=2,4 dt=0.01 te=6 得出图形如下： 由于初始状态为零，所以零状态的起始值也为零，即h(t)包含了连续系统的固有特性，与系统的输入无关。只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在不同输入时产生的输出。因此，求解系统的冲激响应h对进行连续时间系统的分析具有非常重要的意义4连续时间系统的全响应计算 上面通过对LTI系统函数的描述，我们可以得知：如果在系统的初始状态不为零，在激励f（t）的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应和零状态响应之和，即 故可先求出零输入响应和零状态响应，再把两者相加，得到全响应。但简单的相加可能由于零输入与零状态的矩阵不同而不能的出正确的结果，这就需要对矩阵进行截取，使它们的阶数相同。 例如，对于以下方程：初始值为：y(0_)=1,y(0_)=5；输入函数为：求它的全响应。建模 先根据零输入响应的求法，得出零输入响应y1（t）。再根据零状态响应的求法，得出零状态响应y2（t）。最后，全响应y等于零输入响应y1（t）加上零状态响应y2（t），得出全响应。MATLAB程序：a=input(输入分母系数a=a1,a2,.=);n=length(a)-1;Y0=input(输入初始条件向量 Y0=y0,Dy0,D2y0,.=);b=input(输入输入信号系数b=b1,b2,.=);u=input(输入函数u=);dt=input(dt=);te=input(te=);t=0:dt:te;p=roots(a);V=rot90(vander(p);c=VY0;y1=zeros(1,length(t);for k=1:n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t);endte=t(end);dt=te/(length(t)-1);r,p,k=residue(b,a);h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t);y2=conv(u,h)*dt;y=y1(1:length(t)+y2(1:length(t);figure(1);subplot(3,1,1),plot(t,y1),gridxlabel(t); ylabel(y1);title(零输入响应);subplot(3,1,2),plot(t,y2(1:length(t);gridxlabel(t);ylabel(y2);title(零状态响应);subplot(3,1,3),plot(t,y),gridxlabel(t); ylabel(y);title(全响应响应);程序运行结果 执行程序，取 a=1,5,4 Y0=1,5 b=1,2,4 u=sin(3*t)+cos(2*t) dt=0.01 te=6结果如下图：在零输入响应中任一时刻取值y1，在零状态响应的对应时刻取值y2，再在全响应的对应时刻取值y。可以得出：y=y1+y2。四、调试总结： 在matlab语言中，用subplot对图形进行分块，使几幅图同时显示在一个图像框里。 plot用来绘制连续的函数图形。cnov用来求卷积，再就是利用语句对不同阶的矩阵进行截取，使之相加，这点很重要，因为简单的零输入响应与零状态响应相加，可能由于阶数不同而无法得出结果，所以一定要使两者的阶数相同。五、设计总结：在老师的帮助下我顺利的完成了这个课程设计，通过这次连续时间系统的时域分析课程设计，让我了解了关于MATLAB软件在连续信号时域处理方面的应用，又一次学习了MATLAB软件的使用和程序的设计，MATLAB的仿真使我更加深入的了解了信号时域处理的过程 ，对我对数字信号处理的理解加深了一步。MATLAB拥有强大的数据仿真能力，在生产和研究中起着非常大的作用。在设计过程中，通过查阅大量的资料，我选择用矩阵计算的方法来求连续时间系统的零输入响应，卷积则是利用matlab中的conv语句求得，再根据LTI系统的零状态响应y（t）是激励u（t）与冲击响应h（t）的卷积积分，求得零状态响应，全响应则为零输入响应与零状态响应之和。MATLAB语言是一种广泛应用于工程计算及数值分析 领域的新型高级语言，Matlab功能强大、简单易学、编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。特