三个正数的均值不等式.doc

课题4.5.1 三个正数的算术几何平均不等式 授课时间2008.05.29授课班级高二（4)班课型新课授课人张美莲教学目标知识与技能1掌握三个正数的算术几何平均不等式及其推广2会利用三个正数的算术几何平均不等式求解最值过程与方法在学生已知的基础上，通过观察、猜想和师生共同探讨并证明三个正数的算术几何平均不等式，并掌握一些利用不等式求最值的应用情感态度与价值观培养学生分析转化的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。教材分析教学重点三个正数的算术几何平均不等式教学难点三个正数的算术几何平均不等式在求最值中的应用学法指导在学习中学生采用“自主探索-合作交流-问题解决”的小组方式进行学习。教学方法教学中采用“问题情境-引导思考-解释、应用”的模式进行教学。教具电脑,多媒体课件等三、教学设想设计意图师生活动一、 复习引入基本不等式：如果那么当且仅当时成立复习旧知识，让学生容易进入新课的学习。请学生作答。二、讲授新课思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。学生回顾，并回答。类比基本不等式的形式，我们猜想：对于个正数可能有：如果R+，那么有，当且仅当时，等号成立。知识储备：和的立方公式：立方和公式：证明： 所以 当且仅当时，等号成立。引导学生观察课件进行探究性学习，总结出两直线平行的判断对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到定理：如果R+，那么有，当且仅当时，等号成立。这个等式表述为：三个正数的算术几何平均不等式注：、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：即：n个正数的算术几何平均不等式： 。利 用练习强化对判断定理的认识。学生思考，教师引导。例题：例 求函数 的最小值下面解法是否正确？为什么？解法：由 知 ，则 当且仅当解法2：由 知 ，则引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。（正解） 解法3：由 知 ，则 小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：a) 正数条件各项均大于零b) 定值条件若求和式的最小值，其积必须为定值;若求积式的最大值，其和必须为定值c) 取等号条件各项能否相等引导学生观察课件进行探究性学习，总结出两直线垂直的判断 学生思考，教师引导。 变式训练： （ ）A、6B、C、9D、12 引导学生观察、猜想，并证明，提高学生的探究能力总结出：的前提条件为：“两直线斜率都存在”。 例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 图： 通过例题了解知识的简单运用。解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则当且仅当 即当 时，不等式取等号，此时取最大值 即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的 时，盒子的容积最大利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用 练习：A、0B、1C、D、A、4B、C、6D、非上述答案巩固本节课所学过的知识。学生独立完成，教师检查反馈。小结：这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。思考题：已知：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。五、布置作业巩固深化学生课后独立完成。六、板书设计4.5.1 三个正数的算术几何平均不等式定理：注意点：例1例2练习：教学