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个人所得税分配方案 李翔 杨洁 【摘要】本方案是解决个人年纳税额最小且年收入分配（月工资与年终奖的分配）最优问题。其关键是在年收入一定的情况下，如何分配每月工资与年终一次性奖金，从而达到纳税总额最小的目的。根据问题给出的每月工资应纳税计算方案以及一次性奖金纳税计算方案，得到了一个年纳税金最小的优化模型。结合此数学模型，运用matlab编程，得出最优解（见表1、表2），从而建立年纳税额最小且年收入分配最优方案。再结合此方案以及还贷的差分数学模型，得到一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。运用C +编程得到最终结果 . 【关键词】年纳税额最小 收入分配最优 合理的贷款 差分方程 月还款上限1 问题重述 个人所得税是调整征税机关与自然人(居民、非居民人)之间在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会关系的法律规范的总称。凡在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满一年的个人，从中国境内和境外取得所得的，以及在中国境内无住所又不居住或者无住所而在境内居住不满一年的个人，从中国境内取得所得的，均为个人所得税的纳税人。2005年10月27日，第十届全国人大常委会第十八次会议再次审议个人所得税法修正案草案，会议表决通过全国人大常委会关于修改个人所得税法的决定，起征点1600元于2006年1月1日起施行。 2007年6月29日，第十届全国人民代表大会常务委员会第二十八次会议通过了关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定，对个人所得税法进行了第四次修正。2007年12月29日，十届全国人大常委会第三十一次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定。个人所得税起征点自2008年3月1日起由1600元提高到2000元。 即工资、薪金所得，以每个月收入额（已按规定扣除“四金”）减除费用2000元后的余额，为应纳税所得额。（“四金”是指：养老保险金、医疗保险金、失业保险金、住房公积金）其具体征税方案如下：一、每月工资应纳税计算方案： 月应纳税所得额=月工薪收入（已按规定扣除“四金”）-费用扣除标准（2000）超额累进税率级数月应纳税所得额税率（）速算扣除数1不超过500元部分5 02超过500元至2000元的部分10 253超过2000元至5000元的部分15 1254超过5000元至20000元的部分20 3755超过20000元至40000元的部分25 13756超过40000元至60000元的部30 33757超过60000元至80000元的部分35 63758超过80000元至100000元的部分40 103759超过100000元的部分45 15375 例如： 如某人月工薪收入为3900元，则月应纳税所得额=3900-2000=1900元,当月应交个人所得税额=5005%+（1900-500）10%=165元；或当月应交个人所得税额=应纳税所得额适用税率-速算扣除数= 190010%-25=165元。 二、年终一次性奖金纳税计算方案：1先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定适用税率和速算扣除数。2.将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金，按本条第1项确定的适用税率和速算扣除数计算征税。例如：某月份向其员工发放工资2400元，年终一次性奖金6000元，应缴个税为：(2400-2000)5%20元，由于 2400元已超过费用扣除额2000元，则计算年终奖税款时无需再减除差额，则年终奖部分的个税应税所得额为6000元，除以12后为500元，使用税率 5%，速算扣除数为0，年终奖部分的应纳税额=60005%300元，该员工当月应交纳个税=20+300=320元。如果该员工当月工资薪金所得为1600元，低于税法规定的费用扣除额，应将全年一次性奖金减除差额后的余额，年终奖应纳税所得额=6000-400=5600元，除以12后为466.7元，适用税率5%，速算扣除数为0，即56005%=280元。 问题1、 请根据以上纳税方案，为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）。2、 请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以1000元为间隔到15万元。3、 现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元，及如果买住房住房公积金可以年支配1.5万元，并打算贷款购买住房，住房公积金贷款利率与银行贷款利率如下表，其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。如果新房的售价为100万元，首付款必须30%。请你替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。 个人住房公积金贷款年利率表贷款期限 5年以下（含）5年以上利率(%) 4.024.59 个人住房银行抵押贷款年利率表贷款期限 1年1至3年（含）3至5年（含）5年以上利率(%) 5.31 5.405.76 5.94 2 符号说明及模型假设2.1 符号说明A 年总收入；x 每月工资；y 年终一次性奖金；f(x) 一年工资应纳税额；f(y) 年终一次性奖金应纳税额；F(x) 一年应纳税总额；A1 住房公积金贷款额；A2 个人住房银行抵押贷款额；B1 住房公积金贷款月均还款额；B2 个人住房银行抵押贷款月均还款额；R1i 公积金贷款年利率；r1i 公积金贷款月利率；R2j 个人住房银行抵押贷款年利率；r2j 个人住房银行抵押贷款月利率；m 住房公积金贷款还款年限；n 个人住房银行抵押贷款还款年限；X 每月还款上限. (下标i=1,2. R1i分别代表住房公积金贷款5年以下和5年以上时年税率,r1i为对应的月税率; j=1,2,3,4 . R 2j分别代表银行贷款1年,1-3年,3-5年,5年以上的年税率,r2j为对应的月税率) 2.2 模型假设（1） 公司允许自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额；（2） 每月工资一定；（3） 贷款期限内利率不变；（4） 贷款期限以年为单位；（5） 利率转化函数合理性及实用性已经实践检验；（6） 每月等额还款;（7） 问题3中夫妇可自行决定月收入和年终一次性奖金的分配数额（8） 住房公积金均摊到每月发放.3 问题分析与模型建立3.1 年纳税金最小的优化模型的分析与建立 根据每月工资应纳税计算方案，对于问题1、2，我们建立一个以每月工资x为自变量，一年工资总税额为因变量的分段函数f(x). 同理，根据一次性奖金纳税计算方案，建立一次性年终奖税额对年终奖y的分段函数f(y). 要使得年纳税总额最小，即f(x)+f(y)最小，又需满足12x+y=A. 所以可建立模型（1）： minf(x)+f(y); s.t. 12x+y=A , x0 ,y0. 3.1 式(1)为年纳税金最小优化模型。 3.2 合理还贷模型的分析与建立 一个合理的贷款方案，当然是在贷款相同数额的情况下,贷款时间越短最终所付利息越少，越好；但必需考虑贷款人的还款能力，月还款额不能超出其可支配金额，贷款年限稍长一点，可以降低月还款额，所以需要找一个平衡点即满意解.在这里我们考虑用差分法建立一还贷的离散模型，并采用月等额还本息的方式.利用差分法容易得到月均还款额 r0为月利率，A0(元)为贷款金额，n0 (月)为贷款期限.由此，并根据贷款由公积金贷款和个人住房银行抵押贷款构成,对于问题3，可建立模型(2)： min12mB1+12nB2; s.t. B2+B2X ，X0. 3.2.a 4 模型求解与方案的确定 4.1 模型(1)的求解要求式3.1的最优值可利用模拟仿真的方法。若A为常数，每确定一个x值，则有唯一的y值与之对应来满足条件.由于数据量庞大，难以求解，不妨取， ；据工资应纳税计算方案和年终一次性奖金纳税计算方案有： 4.1.a 4.1.b再由12x+y=A,式4.1.a和4.1.b可以得到：当时， 4.1.c 当时， 4.1.d 对于式4.1.c及4.1.d，我们可用matlab编程求解，对于4.1c程序如下：for A=30000:1000:150000; /A从30000每隔1000到150000循环 x=0:0.1:2000; /x的范围 y1=zeros(size(x); y2=zeros(size(x); y3=zeros(size(x); y4=zeros(size(x); N=length(x); for k=1:N if x(k)=(A-152000)/11&x(k)=(A-62000)/11&x(k)=(A-26000)/11&x(k)=(A-8000)/11&x(k)=A/11 y4(k)=-0.55*x(k)+0.05*A-100; end end y=y1+y2+y3+y4; /y表示F(x) Ymin,t=min(y); /求F(x)的最小值Ymin，t表示其位置 Ymin x(t) /每月工资最优分配额end对于4.1.d程序如下：for A=30000:1000:150000; /A从30000每隔1000到150000循环x=2000:0.1:A/12; /x的范围y1=zeros(size(x);y2=zeros(size(x);y3=zeros(size(x); y4=zeros(size(x);y5=zeros(size(x);y6=zeros(size(x); y7=zeros(size(x);y8=zeros(size(x);N=length(x); for k=1:N if x(k)=2000 y1(k)=0.6*x(k)-1200; elseif x(k)2500 y2(k)=1.2*x(k)-2700; elseif x(k)4000 y3(k)=1.8*x(k)-4100; elseif x(k)7000 y4(k)=2.4*x(k)-8500; endendhold on;for k=1:N if x(k)A/12-12500 y5(k)=-2.4*x(k)+0.2*A-375; elseif x(k)=A/12-5000 y6(k)=-1.8*x(k)+0.15*A-125; elseif x(k)=A/12-2000 y7(k)=-1.2*x(k)+0.1*A-25; elseif x(k)=A/12-500 y8(k)=-0.6*x(k)+0.05*A; end endy=y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8; /y表示F(x)plot(x,y,g) /画出F(x)关于x的图像Ymin,t=min(y); /求F(x)的最小值Ymin，t表示其位置Yminx(t) /每月工资最优分配额end 求得结果经Excel处理后如下表： 最优分配 最优分配年收入（元）最小税额（元）月工资（元）年终奖（元）最小税额（元）月工资（元）年终奖（元）300003002000600030020006000310003502083.45999.267520007000320004002166.75999.677520008000330004502250600087520009000340005002333.45999.2975200010000350005502416.75999.6107520001100036000600250060001175200012000370007002583.45999.21275200013000380008002666.75999.61375200014000390009002750600014752000150004000010002833.45999.215752000160004100011002916.75999.616752000170004200012003000600017752000180004300013003083.45999.218752000190004400014003166.75999.619752000200004500015003250600020752000210004600016003333.45999.221752000220004700017003416.75999.622752000230004800018003500600023752000240004900019003583.45999.236252000250005000020003666.75999.637752000260005100021003750600039252000270005200022003833.45999.240752000280005300023003916.75999.642252000290005400024004000600043752000300005500027752583.423999.245252000310005600028752666.723999.6467520003200057000297527502400048252000330005800030752833.423999.249752000340005900031752916.723999.6512520003500060000327530002400052752000360006100033753083.423999.254252000370006200034753166.723999.6557520003800063000357532502400057252000390006400036753333.423999.258752000400006500037753416.723999.6602520004100066000387535002400061752000420006700039753583.423999.263252000430006800040753666.723999.6647520004400069000417537502400066252000450007000042753833.423999.267752000460007100043753916.723999.6692520004700072000447540002400070752000480007300056254083.423999.2722520004900074000577542502300073752000500007500059254166.724999.675252000510007600060754333.423999.2767520005200077000622544167-453004782520005300078000637545002400079752000540007900065254583.423999.281252000550008000066754666.723999.6827520005600081000682547502400084252000570008200069754833.423999.285752000580008300071254916.723999.6872520005900084000727550002400088752000600008500074255083.423999.2118252000610008600075755166.723999.612025200062000870007725525024000122252000630008800078755333.423999.2124252000640008900080255416.723999.612625200065000900008175550024000128252000660009100083255583.423999.2130252000670009200084755666.723999.613225200068000930008625575024000134252000690009400087755833.423999.2136252000700009500089255916.723999.613825200071000960009075600024000140252000720009700092256083.423999.2142252000730009800093756166.723999.6144252000740009900095256250240001462520007500010000096756333.423999.21482520007600010100098256416.723999.615025200077000102000997565002400015225200078000103000101256583.423999.215425200079000104000102756666.723999.615625200080000105000103757000.120998.815825200081000106000104757000.121998.816025200082000107000105757000.122998.816225200083000108000106757000.123998.816425200084000109000108757083.423999.216625200085000110000110757166.723999.6168252000860001110001127572502400017025200087000112000114757333.423999.217225200088000113000116757416.723999.6174252000890001140001187575002400017625200090000115000120757583.423999.217825200091000116000122757666.723999.6180252000920001170001247577502400018225200093000118000126757833.423999.218425200094000119000128757916.723999.6186252000950001200001307580002400018825200096000121000132758083.423999.219025200097000122000134758166.723999.6192252000980001230001367582502400019425200099000124000138758333.423999.2196252000100000125000140758416.723999.619825200010100012600014275850024000200252000102000127000144758583.423999.2202252000103000128000146758666.723999.62042520001040001290001487587502400020625200010500013000015075700046000208252000106000131000152257000.146998.8210252000107000132000153757000.147998.8212252000108000133000155257000.148998.8214252000109000134000156757000.149998.8216252000110000135000158257000.150998.8218252000111000136000159757000.151998.8220252000112000137000161257000.152998.8222252000113000138000162757000.153998.8224252000114000139000164257000.154998.8226252000115000140000165757000.155998.8228252000116000141000167257000.156998.823025200011700014200016875700058000232252000118000143000170257000.158998.8234252000119000144000171757000.159998.8236252000120000145000173757083.459999.2238252000121000146000175757166.759999.624025200012200014700017775725060000242252000123000148000179757333.459999.2244252000124000149000181757416.759999.624625200012500015000018375750060000248252000126000 表1 表2 从两表对比下，可以很直观地看出当年收入一定时，工资和年终奖的最优分配.对于问题1,当年收入A=100000元时，月工资x=6333.4元，年终奖y=23999.2元，此时年纳税额最小为9675元. 显然，当我们可以自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额时，表1才最佳选择，因为当A一定时，表1中对应的纳税额比表1中对应的纳额金小，有时很明显. 所以对于问题2，表1是年收入从3万元以1000元为间隔到15万元时的收入最优分配方案表.4.2 模型(2)的求解 在问题3中，夫妇年收入A=125000元，住房公积金均摊到每月为15000/12=1250元，如果该夫妇可自行决定月收入和年终一次性奖金的分配数额，对照表1，月工资x=8416.7元是其最优决策. 此时每月还款上限 . 由于购房需100万，首付30%后，剩余70万必须贷款。对照个人住房公积金贷款年利率表和个人住房银行抵押贷款年利率表，选择住房公积金贷款必然是最佳选择，因为税率较低，但其贷款有上限50万，所以剩余20万选择个人住房银行抵押贷款。据经验与实践，月等额还本息的方式较本金还款方式为方便且贷款相同时间，到期后所还款总数前者要比后者少一些.最关键的是X确定，在这里我们把问题简化，假定该夫妇用月收入的一半用于还贷. 综上所述最合理贷款方案为： A1=500000元 ； A2=200000元；采用月等额还本息的方式；每月还款总额(x+1250)/2 =4833.35元，这里不妨取X=4800元 . 对于模型(2),把B1、B2具体化可得： 4.2.a其中 A1=500000，A2=200000，X=4800 ，r1i=R1i /12, r2j=R2j /12 . R1i , R2j可见问题3. 在具体求解过程中，考虑到问题3的实际情况，即贷款额较高，夫妇俩不可能在一年甚至几年之内还清. 为了求解方便，在用C+编程时没有考虑住房公积金贷款与个人住房银行抵押贷款在一年内还清，但这对求解是没有影响的.C+程序代码如下：#define M 26#define N 29#include#includeusing namespace std;int main()double aMN,bMN;double x1,x2,Xm=4800,r=0.0459/12,r1=0.054/12,r2=0.0576/12,r3=0.0594/12;int A=500000,B=200000,m=0,n=0,i,j,t=2000000; for(i=0;iM;i+) for(j=0;jN;j+)aij=0; bij=0; for(i=0;iM;i+)f