例谈运用构造法证明不等式 - 新课程数学 - 新课程数学新课程.doc

例谈运用构造法证明不等式在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明。一、构造向量证明不等式例1：证明，并指出等号成立的条件。简析与证明：不等式左边可看成与 x 和与两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(,)与b=( x, )的数量积，又ab |a|b| ，所以 当且仅当b=a (0)时等号成立，故由得：x=,=1，即 x =时，等号成立。 例2：求证：简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a =(1y , x+y3 , 2x+y6)模的平方，又 |a|b|ab ,为使 ab为常数，根据待定系数法又可构造 b= (1 , 2 ，-1) 于是|a|b|=ab所以即二、构造复数证明不等式例3、求证：简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1=x+y i , Z2 = x +（1 y）i ，Z3 = 1 x + y i ，Z4 = 1 x +（1 y）i 模的和，又注意到Z1Z2Z3Z422 i ，于是由 可得此题也可构造向量来证明。三、构造几何图形证明不等式例4：已知：a0、b0、c0 ,求证：当且仅当时取等号。简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形：作OAa，OBb，OCc，AOB=BOC=60 如图（1）则AOC120，AB=，BC=,AC= 由几何知识可知：ABBCAC+图（1）当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有，即ab+bc=ac故当且仅当时取等号。四、构造椭圆证明不等式例5：求证：简析与证明：的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。图（2）于是令 ，则其图象是椭圆的上半部分，设y-2x=m，于是只需证, 因 m为直线y=2xm在y轴上的截距，由图（2）可知：当直线 y = 2 xm 过点（，0）时，m有最小值为m=；当直线y =2xm与椭圆上半部分相切时，m有最大值。由 得：13x2 + 4mx + m2 4 = 0令= 4（529m2）=0 得：或（舍）即m的最大值为，故，即五、构造方程证明不等式例6：设 a1、a2、an 为任意正数，证明对任意正整数n不等式(a1 + a2 + + an)2 n ( a12 + a22 + + an2 )均成立简析与证明：原不等式即为 4 (a1 + a2 + + an)24n ( a12 + a22 + + an2 ) 0由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：( a12 + a22 + + an2 ) x 2 + 2 (a1 + a2 + + an ) x + n=0（）因方程左边 (a1 x + 1)2 + (a2 x + 1)2 + (an x + 1)2 0当a1、a2、an不全相等时，a1 x+1、a2 x+1、an x+1至少有一个不为0，方程（）左边恒为正数，方程（）显然无解。当a1a2an 时，方程（）有唯一解 x故4 ( a1 + a2 + + an )2 4n ( a12 + a22 + + an2 ) 0即(a1 + a2 + +an )2 n ( a12 + a22 + + an2 ) 对任意正整数n均成立六、构造数列证明不等式例7：求证：Cn1+Cn2+Cnn 简析与证明：不等式左边即为 2n 1=从而联想到等比数列的求和公式，于是左边=1+2+22+ 2 n1=(1+2n-1) + (2+2n-2) + (2n-1+1)n=例8：设任意实数a、b均满足| a | 1，| b | 1求证：简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | 1）各项和公式S，则：=（1 + a2 + a4 + ）+（1 + b2 + b4 + ）=2+（a2 + b2）+ ( a4 + b4) + 2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + = 七、构造函数证明不等式例9：已知| a | 1，| b | 1，| c | 0将a看作自变量，于是问题转化为只须证：当1a1时，（bc）abc1恒为正数。因而可构造函数 f ( a ) = ( b + c ) a + bc +1 (1a1)若b + c = 0原不等式显然成立。若b + c 0，则f ( a ) 是a的一次函数，f ( a ) 在（1,1）上为单调函数而 f ( -1 ) = b c + bc +1（1b）（1c）0 f ( 1 )bcbc1（1b）（1c）0f ( a ) 0即abbcca1此题还可由题设构造不等式（1a）（1b）（1c）0（1a）（1b）（1c）0两式相加得：22（abbcca）0即abbcca1八、构造对偶式证明不等式例10：对任意自然数n，求证：(1+1)(1+)(1+) 简析与证明：设an = (1+1)(1+)(1+) = 构造对偶式：bn = ，cn = ，即an bn，an cn an bn cnan ，即：(1+1)(1+)(1+) 小结：从以上几例还可以看出：（1）构造法不仅是证明不等式的重要思想方法，也是解不等式，