数学与科技进步（2012.11.13).ppt - .ppt

数学与科技进步沈灏2012 09 10haoshen 参考文献 部分 1 M 克莱因 古今数学思想 全四册 上海科技出版社 2 张顺燕 数学的源与流 高等教育出版社 3 邓东皋等 数学与文化 北京大学出版社 4 G 哈代 一个数学家的辩白 5 沈灏 数学在科学中的地位与作用 超星视频 第一章 数学在科学中的地位 1 1 何谓科学 何谓技术 科学 Science 是对客观规律的认识 揭示和描述的系统知识 技术 Technoledge 则是人们为了各种特定的目的在科学理论指导下从事的种种发明与创造等等 科学 一词源于拉丁文scientia 原为 知识 与 学问 之意 1 2 梁启超关于 学 与 术 的定义学也者 观察事物而发明真理者也 术也者 取所发现之真理致之用者也 譬如以石投水则沉 投以木则浮 观察此事实以证明水之右浮力 此物理也 应用此真理以驾驶船舶 则航海术也 研究人体之组织 辨别各器官之机能 此生理学也 应用此真理以疗治疾病 则医术也 学与术之区分及其相关系 凡百皆准此 梁启超 学与术 1911 1 3 中译名 科学 之由来明清时期 与science意义最相近的中文词语为 格致 即 格物致知 之意 徐光启称之为 格物穷理之学 明治维新时期 日本学者西周将science译为 科学 其意为 分科之学 在古代中国 分科之学 与 分科取士 的科举考试相关 因此 虽然 科学 一词在中国古已有之 然而它只和科举有关 而和science无关 十九世纪九十年代 康有为首次将 科学 作为science的译名从日本引入中国 自此至1905年 科学 与 格致 并用 1905年 清政府废科举 兴新学 自此以后 科学 逐步取代 格致 专以指代science 1 4 自然科学与自然哲学 科学 一词 原来主要是指自然科学 Naturalscience 也称自然哲学 NaturalPhilosophy 例如 Newton的名著叫作 自然哲学的数学原理 广义的 科学 不但包括自然科学 还包括社会科学 人文科学等大类 1 5 科学与技术之间的关系学为术之体 术为学之用上述说法不无道理 但失诸片面 技术固然要接受科学理论的指导 必须符合科学规律才有可能有所发明 有所创造 反之 技术的进步也会为科学研究提供更多更好的方法和手段 促进科学的发展 1 6 有 闲 最难从事科学研究的三个基本条件 一曰有 才 二曰有 财 三曰有 闲 有 闲 最难 科学是不讲功利的 而技术是一定要讲功利的 从个人来说 研究科学的动机是什么 是人的与生俱来的好奇心 是人们探究未知世界奥秘的无穷无尽的乐趣 1 7 从事科学研究 做学问 的三个境界 昨夜西风凋碧树 独上层楼 望断天涯路 为伊消得人憔悴 衣带渐宽终不悔 众里寻她千百度 蓦然回首 那人恰在灯火阑珊处 王国维 人间词话 1 8 科学的一种分类法 自然科学 物理 之学 社会科学 事理 之学 人文科学 情理 之学 哲学 数学 1 9 六门基础科学数 理 化 天 地 生 1 10 科学精神最简洁的表达可概括为两个字 求是 1 11 数学之用数学的计算功能 数学是描述科学理论的合适语言 数学是发现科学规律的锐利武器 数学是培养学生思维能力的理想载体 数学的哲学意义 数学的美学价值 第二章 代数结构与序结构2 1 集合与一一对应定义2 1 设X与Y为两个非空集合 f为从集合X到集合Y的一个对应规则 使得对X中的任意一个元素x 都有Y中惟一的一个元素y与之对应 则称f为从X到Y的一个映射 mapping 而将y叫作元素x在映射f作用之下的象 记作y f x 定义2 2 设f为从集合X到Y的一个映射 i 若对Y中任一元素y 都存在X中某个元素x 使得y f x 则称f为从X到Y上的一个满射 surjection 或称f是映上的 surjective ii 若对X中任意两个不同元素s t 只要s t 都有f s f t 则称f为从X到Y的一个单射 injection iii 若f既是单射又是满射 则称f为从X到Y上的一个双射 bijection 或一一对应 onetoonecorrespondance 2 2 集合的基数定义2 3 设X与Y为两个集合 若存在从X到Y上的一个一一对应 则称X与Y的基数 cardinal 或称X与Y等势 记作 X Y 这里 X 表示集合X的基数 若X是包含m格元素的有限集 则定义X的基数为m 即 X m 空集的基数为零 即 定义2 4 设X与Y为两个集合 若X存在某个子集U使得 U Y 则称X的基数不小于Y的基数 记作 X Y 若 X Y 但对Y的任一子集V 都不存在从V到X上的一一对应 则称X的基数大于Y的基数 记作 X Y 命题2 1 若 X Y 与 Y X 同时成立 则必 X Y 2 3 可数集定义2 5 令N表示由全体正整数组成的集合 设X为任一集合 若 X N 则称X为可数集 countableset 否则称X为不可数集 例2 1 i 全体偶数的集合是可数集 ii 全体3的倍数组成的集合是可数集 iii 令S 7t 5 t为任意正整数 则S为可数集 思考题 1 令Q表示由全体有理数组成的集合 证明 Q是可数集 思考题 1 令Q表示由全体有理数组成的集合 证明 Q是可数集 2 证明 有限集不可能与其真子集基数相同 无限集必与它的某个真子集基数相同 扩展阅读 全体实数组成的集合记作R 证明 R是不可数集 实数集R的基数叫作连续统势 思考题3 证明 全体实数的集合R与全体复数组成的集合C的基数相同 即 C R 2 4 偏序关系与偏序集定义2 6 令S为一个非空集合 在S上给定一个关系 记作 若 具有下述性质 i 自反性 对S中任意元素想x 都有x x ii 反对称性 由x y与y x都成立必有x y iii 传递性 由x y与y z同时成立必有x z 则称 为集合S上的一个偏序关 partialordering 而把序对 S 叫作一个偏序集 partiallyorderedset 例2 2 设n为给定之正整数 S为由n的全体正因数组成的集合 则S关于整数的整除关系构成一个偏序集 例2 3 设A为给定之有限集 S为由A的全体子集 包括S本身与空集 组成的集合 则S关于集合的包含关系构成一个偏序集 2 5 全序集若x y但x y 则记作x y 定义2 7 设 S 为一个偏序集 若对S中任意两个不同元素x与y 在x y与y x两式之中必有且只有一式成立 则称 S 为一个全序集 totallyorderedset 例2 4 全体实数的集合R关于实数的小于等于关系是一个全序集 R 全体正整数集合N关于此 也构成一个全序集 思考题4 举出一些你在专业学习或生活中用到的偏序关系和偏序集以及全序集之例 2 6 复数域的公理化通常用C表示全体附属的集合 在C上定义有两个基本的代数运算 加法和乘法 复数关于这两种运算具有下述基本性质 1 加法交换律 对任意元素a b都有a b b a 2 加法结合律 对任意元素a b c 都有 a b c a b c 3 零元存在 对任意元素a 都有0 a a 4 负元存在 对任意元素a 都存在某个元素x使得a x 0 x叫做a的负元 记作 a 5 乘法交换律 对任意元素a b都有a b b a 6 乘法结合律 对任意元素a b c 都有 a b c a b c 7 单位元存在 对任意元素a 都有1 a a 8 逆元存在 对任意非零元素a 都存在某个元素x使得a x 1 x叫做a的逆元 记作1 a 9 乘法对于加法的分配律 对任意元素a b c 都有a b c a b a c 定义2 8 复数集C关于复数加法和乘法这两种基本运算构成的代数系统 C 叫作复数域 有时为了方便 也常常简单地用C表示复数域 2 7 数域问题 是否只有全体复数的集合C关于复数的加法与乘法构成的代数系统才具有2 6中的全部九条性质 定义2 9 设K为复数集C的至少包含两个元素的子集 若K关于加法与乘法这两种代数运算封闭并且具有2 6中的9条性质 则称代数系统 K 为一个数域 或简单地称K为一个数域 numberfield 例2 5 令R表示全体实数的集合 则 R 是一个数域 叫做实数域 thefieldofrealnumbers 例2 6 令Q表示全体有理数的集合 则 Q 也是一个数域 叫做有理数域 thefieldofrationalnumbers 例2 6 令Q i a bi a b为有理数 则Q i 也是一个数域 叫做Gauss数域 关于数域的判别法则 定理2 1 设K为复数集C的至少包含两个元素的子集 若K关于四则运算封闭 则K是一个数域 思考题5 设n为整数 令Q n a b n a b为有理数 则Q n 为数域 思考题6 证明 有理数域是最小的数域 即任意一个数域都包含有理数域 2 8 域定义2 10 设F为至少包含两个元素的集合 在F上定义两个二元运算 叫做加法和乘法 分别记作 与 若F关于这两个代数运算封闭 并且满足以下八条公理 1 加法交换律 对F中任意元素a b都有a b b a 2 加法结合律 对F中任意元素a b c 都有 a b c a b c 3 零元存在 对F中任意元素a 都有0 a a 4 负元存在 对F中任意元素a 都存在某个元素x使得a x 0 x叫做a的负元 记作 a 5 乘法交换律 对F中任意元素a b都有a b b a 6 乘法结合律 对F中任意元素a b c 都有 a b c a b c 7 单位元存在 对任意元素a 都有1 a a 8 逆元存在 对任意非零元素a 都存在某个元素x使得a x 1 x叫做a的逆元 记作1 a 9 乘法对于加法的分配律 对任意元素a b c 都有a b c a b a c 则称代数系统 F 为一个域 或简单地称F为一个域 field 显然 每一个数域都是域 下面我们构造一个只有两个元素的域 令F 0 1 规定加法如下 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 再规定乘法如下 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 不难验证 F 关于这两种代数运算封闭 并且满足全部八条公理 因此这是一个域 思考题7 设p为任意素数 证明 都存在一个正好具有p个元素的域 包含有限多个元素的域叫有限域 有限域理论在计算机科学 信息科学和通信工程中有极其重要的应用 2 9 整数环定义2 11 令Z表示全体整数组成的集合 则Z关于复数的加法和乘法运算具有除去性质8 之外的其余八条性质 因此 Z 不是一个数域 但它还是具有相当好性质的一个代数系统 叫做整数环 带余除法定理2 2 任给整数a和正整数b 存在唯一一对整数q与r 使得a q b r 0 r b 1 2 10 多项式环定义2 设R为实数域 令R x 表示不定元x的全体实系数多项式所组成的集合 考虑R x 关于多项式加法 与乘 R x 法 所组成的代数系统 R x 不难证明 R x 满足除去8 以外的全部八条公理 R x 叫做实数域上的一元多项式环 思考题8 证明 R x 满足除去8 以外的全部八条公理 思考题9 设f x 与g x 为R x 中的两个多项式且g x 0 证明 存在多项式q x 与r x 使得f x q x g x r x 其中r x 0或者r x 的次数小于g x d的次数 第三章 数学的计算功能 3 1 数学为计算提供方法和工具数学是一门艺术 是一门通过发展概念和技巧以使人们较为轻快地前进 从而避免靠蛮力计算的艺术 3 2 从变中找不变例3 1 求前n个自然数的和 S n 1 2 3 n解 1 2 3 n 1 nn n 1 n 2 2 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 因此得 S n n n 1 2 3 3 待定系数法之应用例3 2 求前n个自然数的平方之和 例3 3 设k为正整数 求前n个自然数的k次方之和 直觉用于发明 逻辑用于证明 3 5 级数求和之例 例3 4 计算 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 1 56 1 72 1 90 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 7 1 7 1 8 1 8 1 9 1 9 1 10 1 1 10 9 10 3 6 斐波那契数列1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 90 145 3 9 朱载堉 明朝 1536 1611 为了研究乐律学 发明十二平均律 用珠算求2的12次方根的近似值 精确到25位有效数字 2的12次方根 1 059463094359295264561825 3 10 牛顿 1642 1727 和莱布尼茨 1646 1716 发明微积分 微分可用来求变化率 切线的斜率 速度和加速度 积分可用来求不规则图形的面积和体积 运动物体所走的路程 3 11 计算数学与计算机十九世纪中叶以前的数学大家一般都是计算能手 L Euler 1707 1783 与K Gauss 1777 1855 都在其一生中把很大精力花在数值计算以及计算方法的改进上 自电子计算机问世以后 即能以过去计算专家所无法比拟的速度与规模进行数值计算 的数值计算曾长期作为判断计算技术水平的一个标准 十九世纪中叶 的近似值算到400位 英国计算家W Shanks 1812 1882 花了二十多年时光 把 算到707位 传为美谈 不过到1946年通过计算机发现第528位是错误的 1949年由计算机求 的近似值 一下子精确到小数点后2000多位 十年后推进到十万位 二十年后天推进到一百万位 第四章 数学是描述科学规律的合适语言大自然是一部书 这部书使用数学的语言写成的 意大利 伽利略没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性 保罗 卡洛斯 如果物理定律在数学形式上不美 那就是一种理论还不够成熟的标志 说明理论有缺陷 需要改进 我没有试图直接解决某一物理问题 而只是试图寻找某种优美的数学 英 狄拉克 数学之所以有高的声誉 还有一个理由 那就是数学给予精确自然科学以某种可靠性 没有数学 这些科学是达不到这种可靠性的 理论科学家在他探索理论时 就不得不愈来愈从纯粹数学的形式考虑 因为实验家的物理实验不能把他提高到最抽象的领域中去 我们这个世界的图景可以由音乐的音符组成 也可由数学的公式组成 美 爱因斯坦 4 1 天文学天文学的研究对象是最纯洁 最美好 最有意义的问题 无论是研究宇宙的旋转 天体的运行 还是研究天体的大小 相互之间的距离变化 都可以使人得到一种美的享受 天文学的研究目的就是为了寻求宇宙是如何遵循数和数的关系和谐的运行 即宇宙可以用数学关系来描述 却无法用别的方法所替代 波兰 哥白尼 天体运行论 4 2 圆锥曲线理论 古希腊 与天体力学开普勒是世界上第一个用数学公式描述天体运动的人 他使天文学从古希腊的静态几何学转化为动力学 开普勒三定律证明了毕达哥拉斯主义核心的数学原理 现象的数学结构提供了理解现象的钥匙 开普勒行星运动三定律 a 行星在椭圆轨道上绕太阳运动 太阳位于此椭圆的一个焦点上 b 从太阳到星星的向径在相等的时间内扫过相同的面积 c 行星绕太阳公转的周期的平方与椭圆轨道的半长轴的立方成正比 4 3 伽利略与力学科学的建立除了牛顿之外 伽利略要算是近代科学最伟大的奠基者了 与亚里士多德不同 伽利略认为 科学必须寻求数学描述 而不是物理解释 这个方法开创了科学的新纪元和物理科学数学化的进程 伽利略建立了力学科学 设计和树立了近代科学的思维模式 1650年前后 在科学家头脑中占据最主要地位的问题是 能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系 他们确信 上帝数学化地设计了世界 4 4 万有引力定律牛顿在伽利略和开普勒工作的基础上 发现了万有引力定律 给出了万有引力公式 F G Mm r2这是一个伟大的发现 世界上从来没有运用方程式到到过如此程度的单一化和统一化 牛顿的功绩在于 他为宇宙奠定了新秩序 以最确凿的证据证明了自然界是按数学设计的 1679年 牛顿证明 1 行星以一个焦点为力的中心的圆锥曲线轨道上运动 开普勒定律 由此可推出平方反比律 2 反过来 如果假定在给定初始条件下解得唯一性 则由平方反比律也可推出 行星 做圆锥曲线轨道运动 3 从1684年到1687年的写书过程中 牛顿发现 引力与物体质量成正比 引力与质量有恒定联系由此得出引力的 万有性 牛顿的万有引力的思想从1666年开始酝酿到1687年巨著出版 整整经历了二十年 在这期间许多人都有引力概念 并知道平方反比律 胡克甚至说他能根据平方反比律对行星运动做出完善的解释 但这需要真正过硬的数学功夫 胡克等人是不具备的 在当时只有牛顿才能完成这项伟业 其结果就是 原理 一书的诞生 第三章 数学是描述科学规律的合适语言 4 5 自然哲学的数学原理近代科学诞生的标志是1687年牛顿 自然哲学的数学原理 一书的出版 牛顿真正给近代科学确定了前所未有的特征 1 给出一般的 普遍的概念 理论和体系 特别是万有引力 2 建立数学模型 给出数学解法 导出定量的规律 3 根据数学模型可以通过观察和实验检验的预言 4 提出新问题 为未来学科发展指明方向 牛顿不仅为物理学和力学奠定基础 而且通过数学化使之成为精密科学 这就使物理学或力学不再停留在一方面是哲学思辨 另一方面是唯象的经验 两方面脱节的前科学阶段 而在由前科学上升为科学 由哲学进化为科学 由定性精密化为定量的过程中 数学起了关键作用 4 6 拉格朗日与他的 分析力学 18世纪的数学家和科学家继承牛顿的思想继续前进 拉格朗日的 分析力学 是牛顿数学方法的典范 对力学作了完全数学化的处理 这种方法也用到了流体力学 弹性力学和电磁学 定量的数学化方法构成了科学的本质 真理大多存在于数学中 数学支配一切 自然法则就是数学法则 18世纪最伟大的智者对此深信不疑 4 7 无用与有用之间方程X 2 1 0的求根 复数与复数的几何表示 复数理论与复变函数论 流体力学 空气动力学 麦克斯韦的电磁理论 4 8 方程的根式解问题一元三次方程 卡当公式 一元四次方程 费拉里公式 一元五次方程的求根公式是否存在 4 9 群论 关于对称性的理论 与量子力学阿贝尔 1802 1829 证明 一般的5次或5次以上的代数方程不存在根式解 伽罗华 1811 1832 进一步给出一种方法 利用这种方法 可以判断给定的一个任意次数的代数方程是否可以根式解 由此诞生了纯粹数学的一个极其重要的分支 群论 这一高度抽象的数学理论后来成了研究量子力学的最合适的数学语言和工具 4 10非欧几何 罗巴切夫斯基 1793 1856 黎曼 1826 1866 与爱因斯坦的相对论 4 11 数学与生物学孟德尔 1822 1884 于1865年发现遗传定律 但知道1900年前后才被重新发现 这是生物学上一大突破 做数学上也刺激了数量遗传学的发展 于是 生物学与数学正式结合在一起 1939年 数学生物学成为一门正式学科而今 分子生物学 DNA测序 种群遗传 生物分类等等 数学在生物科学上的应用方兴未艾 前程无限 4 12 数学与经济学作为一门科学 首先需要搞清基本概念 描述可观的经济现象 阐述经济是如何发展的 然后仿照自然科学的方法建立经济模型 研究其中规律 特别是变量之间的函数关系以及各种量如何演化的微分方程 若由此再沿着数学化道路发展 即得抽象的数理经济学 若沿着联系实际的道路往前 就会得出符合实际的经济学结论 这首先需要对函数或方程的系数按实际情况进行估算 这时还需要运用统计工具及其他数学方法来确定 确定之后还需解方程以得出结论 诺贝尔经济学奖获得者大多是数学家或数学功底深厚的经济学家 一个典型的例子 美丽心灵 中的纳什 第五章 数学是探索未知世界的锐利武器无用之用 众用之基 明朝 徐光启数学是科学的大门和钥匙 忽视数学必将伤害所有的知识 因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的 英 R 培根 没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性 保罗 卡洛斯数学的发展和国家的繁荣昌盛密切相关 法 拿破仑 音乐能激发或抚慰情怀 绘画能使人赏心悦目 诗歌能动人心弦 哲学能使人获得智慧 科技可以改善物质生活 而数学则能提供以上的一切 美 克莱因 5 1 海王星的发现天王星於1781年3月13日被威廉 赫歇尔发现 但是到1830年 对天王星的观察与理论之间有了不能容忍的误差 已经达到20 1850年更达到2 从表面上看 似乎万有引力定律的正确性已值得怀疑 两位青年数学家 剑桥大学23大学生亚当斯 1819 1892 和法国青年数学家勒威亚 1811 1877 认为 偏差是由某个未知行星的扰动所引起 亚当斯经过近两年的思考和计算 证明天王星运行上的偏差是由一未知行星的摄动引起 他将结果通知英国有关机构 但未受到重视 法国勒威耶于同年 1945年 研究同一问题 完成了两个报告 发表于1946年6月1日与8月31日 1836年9月18日 勒威耶致信柏林天文台天文学家加耳 告诉他未知行星的坐标 加耳在9月23日收到来信的当天晚上 将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点 看到一颗星不在星图上面 这正是那颗未知行星 9月25日 加耳给勒威耶去信说 先生 你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的 这颗星就是海王星 海王星 由数学家计算出来的行星 加耳在9月23日收到来信的当天晚上 将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点 看到一颗星不在星图上面 这正是那颗未知行星 9月25日 加耳给勒威耶去信说 先生 你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的 这颗星就是海王星 海王星 由数学家计算出来的行星 5 2 Radon变换与CT扫描技术A M 卡马克试图寻找一个不经手术而能准确确定一个体内物体的位置和密度的方法 在那时 只有X 射线 x 光透视 可以利用 但它只给出2维图像 在平面上有一密度不均匀的物体 我们不能看见里面的阴影部分 但是通过射现穿过它 来看一下从另一边出来多少 我们能测量出沿一条直线的物质总量 问题是如何从该信息重现物体内部的密度 在平面上有一密度不均匀的物体 我们不能看见里面的阴影部分 但是通过射现穿过它 来看一下从另一边出来多少 我们能测量出沿一条直线的物质总量 问题是如何从该信息重现物体内部的密度 这个问题的数学解在第一次世界大战时期即已得到 这就是著名的Radon变换 由于Radon的解答 卡马克明白了用X 射线从许多不同角度照射 就能决定体内目标的位置和形态 由此导致了CAT扫描技术的产生 即人体器官的3维成像技术 如今 这一原理已扩张为磁共振图像扫描技术它的分辨率更高 在这两个技术中 本质上只是大量测量1维和2维的度量 然后应用Radon变换重造3维图像 卡马克对Radon变换的应用远不限于医学 如今 这一原理已扩张为磁共振图像扫描技术它的分辨率更高 在这两个技术中 本质上只是大量测量1维和2维的度量 然后应用Radon变换重造3维图像 卡马克对Radon变换的应用远不限于医学 在古人类学中 它已被用于某个生活在大约290万年前的Pless夫人的检测 对Pless夫人耳室的CAT扫描确定了用其它方法认为是正确的结论 我们的曾曾曾直至第N代曾祖母是直立行走的 Radon变换用于海洋学 可以测定海洋的度 1958年 天文学家用它来描绘过一张月球亮度分布图 卡马克因此获得1979年度诺贝尔生物与医学奖 5 3 近世代数与纠错码理论A 美国70年代初发射 旅行者 号宇宙飞船 成功地应用了纠错码技术 使宇宙飞船在30亿公里之外向地面传回了天王星 海王星等星体的天文图象天王星的九个卫星的光环以及海王星的6个卫星的光环等极其宝贵的资料 纠错码技术在通信与数字技术中广泛使用 包括 图像记录技术 CD DVD等 数字音频技术 CD CompactDisk小型唱片 计算机技术 存储技术 包括半导体 存储设备 磁带设备 磁盘设备 光盘设备等 广播技术 卫星广播 地面广播 电缆 卫星通信 移动通信技术 5 5 数论和代数在密码学中的应用 1 信息安全 信息保密 信息的完整性 防攻击与身份认证 2 公钥密码学 密码学一次伟大的革命 Diffie和Hellman1976 数论在公钥密码学的应用基于大整数的素因子分解 著名的例子是RSA体制 Rivest Shamir和Adleman1977 如果已知素数p和q 求乘积n pq 是十分简单的 但若n是一个非常大的正整数 要给出n的素因子分解 计算量是十分大的 密码体制的可靠性 主要决定于计算的复杂性 数论和代数在密码学中的应用 1 信息安全 信息保密 信息的完整性 防攻击与身份认证 2 公钥密码学 这是密码学一次伟大的革命 Diffie和Hellman1976 4 数学的教育作用 数学是培养和训练学生思维能力的理想载体计算能力 几何直观能力 逻辑思维能力 精确 严密 简洁的表达能力 在表面上无关的事物间发现本质联系的能力 比萨斜塔实验 马尔萨斯人口理论 达尔文进化论 门捷列夫元素周期律 5 数学的哲学意义 6 数学的美学价值春秋时的管仲和古希腊P一thagoras发现 5度音程的弦长之比为2 3音乐不外是发出声音的代数 法国 M Mersenne乐也者 声音之学也 律也者 数度之学也 朱载堉 朱载堉 1536 1611 与十二平均律C CD DEF FG GA AB C 总结数学的作用1 数学提供计算的工具和方法 2 数学是描述科学理论的合适语言 3 数学是发现科学规律的锐利武器 4 数学是训练科学思维的有效载体 5 数学的哲学意义 6 数学的美学价值 主要参考书 课程管理与考核 2 测验115 3 测验215 4 期末考试50 绪言 5 课程小论文10 1 平时作业10 第一章基本概念和基本规律 1 1电路模型和基本变量 基本要求 建立电路模型的概念 建立分布参数与集中参数的概念 了解电路集中化判据的概念 掌握支路电流 电压的参考方向与其真实方向的关系 了解器件建模的概念 1 1电路模型和基本变量 1 电路模型 工程上实际电气装置品种繁多 千差万别 实际元件 电气器件 电气装置 进行科学抽象的概括 用数学模型表示电气器件外部功能 模型元件 电路元件 电路模型 模型元件是实际器件的理想化 反映实际电气器件的主要电磁性能 模型元件按一定规则组合 使之具有实际装置的主要电磁性能 这种组合就是电路模型 根据电路模型得出的数学关系又能反映实际器件和装置的基本物理规律 电器装置用电路模型近似表示是有条件的 条件变了 电路模型也要作相应的改变 课程将仅对电路模型进行分析和计算 1 1电路模型和基本变量 2 电路参数 称电阻 电容 电感为电路参数 1 分布参数 在电路中三种参数是连续分布的 即在电路的任何部分都既有电阻 又有电容 又有电感 如两根并行导线 1 1电路模型和基本变量 R0单位长度的电阻 G0单位长度的电导 L0单位长度的电感 C0单位长度的电容 x分得愈小 就愈接近实际情况 称这种连续分布的电路参数为分布参数 这样的电路为分布参数电路 1 1电路模型和基本变量 如果电源频率f很高 波长 很短 当 与电路的尺寸l可以相比拟 甚至更小时 电源中电流或电荷的分布发生的变化 就不能及时影响到整个电路 电路中不同部分的电磁场 以及电流 电荷的变化将按距离的远近而不同 各处的电压也不同 分布参数电路 除了有时间变化以外 还有空间变化 电路中的电流和电压既是时间的函数 又是距离的函数 即i i x t u u x t 分布参数电路中的电流和电压关系必须用偏微分方程来描述 1 1电路模型和基本变量 2 集中参数 若电源的频率f不高 电路元件及电路的各向最大尺寸l远小于电源最高频率f的波长 时 电磁场的变化传布整个电路所需的时间 l c远小于一个周期T 在此短暂的时间里 电流 电荷和电磁场的分布都未来得及发生显著变化 电路参数的分布性对电路性能的影响并不明显 分布参数的影响可以集中起来表示 电阻 电容 电感都集中到一点 能量损耗 电场储能 磁场储能过程也分别集中在电阻 电容 电感元件中进行 1 1电路模型和基本变量 称这些电阻 电容 电感元件为集中参数元件 由集中参数元件组成的电路为集中参数电路 电路的这种近似处理的方法和物理力学中将物体看成质点是相仿的 集中化判据 10l 集中参数电路中的电压 电流为时间的函数u u t i i t 电路可用常微分方程来描述 课程将只讨论集中参数电路 1 1电路模型和基本变量 音频信号 f 20Hz 25kHz 3 108 25 103 12000m 对实验室仪器而言 可不必考虑分布参数 实验室电子仪器的尺寸l 3 30cm 允许信号波长 30 300cm 则f c 3 1011 f 108Hz 109Hz 100兆 1000兆 在实验室 一般情况下500兆频率的信号 可作集中参数电路来处理 1 1电路模型和基本变量 信号频率继续升高 分布参数将上升到主导地位 信号频率到微波波段 称超高频或射频 f 1010Hz 1mm 10cm 在这种情况下 电路概念完全被破坏 只能用电磁场理论分析各种现象 如天线 它的下端有电流 顶端电流为零 1 1电路模型和基本变量 设联接于电视接收天线与电视机间的平行双导线 称传输线 没有损耗 并延伸至无限长 这样可不涉及反射波 若天线端口A点感生了频率为100MHz 即 2 108rad s的电压uA Umsin t 在距A点1 5m处B点的电压uB相对于A点的电压uA将延迟 相当于相位落后 t0 2 108 5 10 9 rad 于是B点的电压uB Umsin t Umsin t uA 与A点的线间电压反相 这信号的波长 A到B这段传输线能不能看作集中参数电路 1 1电路模型和基本变量 若C点距A点较近为0 015m 从A点到C点的传输时间是5 10 11s相位落后2 108 5 10 11 10 2 rad 1 8 在任意时刻t均可认为uC uA 即可以将该段传输线看作是集中参数电路 这是AC间的距离远小于信号波长的缘故 1 1电路模型和基本变量 电流 单位时间内通过导体横截面的电量 电压 单位正电荷由一点转移到另一点获得或失去的能量 3 基本变量 电路变量 网络变量 电荷q和磁通 也可作为一对基本变量 1 1电路模型和基本变量 一般选用电流i和电压u作为基本变量 4 参考方向 电压的参考极性也任意选定 经计算 电压值为正 说明参考极性与真实极性一致 否则相反 电流的参考方向可任意给定 并在电路图上用箭头表示 电流的参考方向一经选定 就不再改变 经过