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文档简介

第5章 随机变量的数字特征和极限定理 一 随机变量的数学期望 二 随机变量函数的数学期望 四 小结 5 1数学期望 三 数学期望的基本性质 1 离散型随机变量的数学期望 问 1 为什么要绝对收敛 2 若不绝对收敛会有什么结果 定义5 1 1 一 随机变量的数学期望 关于定义的几点说明 1 是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变量取可能值的真正平均值 也称均值 2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量取可能值的平均值 它不应随可能值的排列次序而改变 3 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同 例1两点分布 0 1分布 设随机变量的分布律为 则有 例2二项分布 设随机变量服从参数为n p二项分布 其分布律为 则有 np 例3泊松分布 则有 试问哪个射手技术较好 练习谁的技术比较好 解 故甲射手的技术比较好 2 连续型随机变量的数学期望 定义5 1 2 例4均匀分布 则有 结论均匀分布的数学期望位于区间的中点 例5指数分布 则有 结论指数分布的数学期望是参数的倒数 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间 以分钟计 服从指数分布 其概率密度为 试求顾客等待服务的平均时间 解 因此 顾客平均等待5分钟就可得到服务 练习顾客平均等待多长时间 例6正态分布 则有 设随机变量X服从柯西分布 其密度函数为 则由于 例7柯西分布 因此柯西分布的数学期望不存在 1 一维随机变量函数的数学期望 二 随机变量函数的数学期望 定理5 1 1 例8 解 解 2 二维随机变量函数的数学期望 定理5 1 2 则 1 三 数学期望的性质 说明 数学期望满足线性性质 四 小结 数学期望是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值 2 数学期望的性质 3 常见离散型随机变量的数学期望 4 常见连续型随机变量的数学期望 根据生命表知 某年龄段保险者里 一年中每个人死亡的概率为0 002 现有10000个这类人参加人寿保险 若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金 问每人一年须交保险费多少元 例1你知道自己该交多少保险费吗 备份题 解 设1年中死亡人数为X 被保险人所得赔偿金的期望值应为 若设每人一年须交保险费为a元 由被保险人交的 纯保险费 与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知 故每人1年应向保险公司交保险费4元 解 例3 解 解 例
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