概率论与数理统计第4讲.ppt

概率论与数理统计第四讲 主讲教师 杨勇 佛山科学技术学院数学系 显然 有P A B P A 这就是说 事件B发生 并不影响事件A发生的概率 这时 称事件A与B相互独立 简称独立 1 4 1两事件的独立 A 第二次掷出6点 B 第一次掷出6点 先看一个例子 将一颗均匀骰子连掷两次 设 1 4事件的独立性 由乘法公式P AB P B P A B 知 当事件A与B独立时 即P A B P A 时 有P AB P A P B 用P AB P A P B 刻画独立性 比用P A B P A 或P B A P B 更好 不受P B 0或P A 0的制约 反映了事件A与B的对等性 定义1 若两事件A B满足P AB P A P B 则称A与B相互独立 或称A B独立 两事件独立的定义 例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记A 抽到K B 抽到黑色的牌 故 P AB P A P B 解 由于P A 4 52 1 13 这说明事件A B独立 问事件A B是否独立 P AB 2 52 1 26 P B 26 52 1 2 前面是根据两事件独立的定义得出A B独立的结论 我们也可以通过计算条件概率的办法得到A B独立的结论 续前例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记A 抽到K B 抽到黑色的牌 在实际应用中 往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立 由于P A 1 13 P A B 2 26 1 13 故 P A P A B 这也说明A B独立 如 一批产品共n件 从中抽取2件 设Ai 第i件是合格品 i 1 2 若抽取是有放回的 则A1与A2独立 其原因是 第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响 其原因是 第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响 若抽取是无放回的 则A1与A2不独立 请问 如图的两个事件是否独立 即 若A B互斥 且P A 0 P B 0 则A与B不独立 其逆否命题是 若A与B独立 且P A 0 P B 0 则A与B一定不互斥 而P A 0 P B 0 故A与B不独立 我们来计算 因P AB 0 请问 能否在样本空间 中找到两个事件 它们既相互独立又互斥 所以 与 独立且互斥 不难发现 或 与任何事件都独立 答 能 设A B为互斥事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 前面我们看到独立与互斥的区别和联系 请看下列两个练习 1 P B A 0 2 P A B P A 3 P A B 0 4 P AB P A P B 设A B为独立事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 1 P B A 0 2 P A B P A 3 P A B 0 4 P AB P A P B P A P AB P A P A AB A与B独立 概率的性质 P A P A P B 证明 仅证A与独立 P A 1 P B P A P 1 4 2多个事件的独立 先将两事件独立的定义推广到三个事件上 四个等式同时成立 则称事件A B C相互独立 推广到n个事件的独立性定义 可类似地给出 设A1 A2 An是n个事件 如果对任意k 任意 等式 等式总数为 成立 则称n个事件A1 A2 An相互独立 请注意多个事件两两独立与事件相互独立的区别与联系 两两独立 相互独立 对n n 2 个事件 多个相互独立事件具有如下性质 若事件A1 A2 An相互独立 则其中任意k个事件也相互独立 若事件A1 A2 An相互独立 则B1 B2 Bn也相互独立 其中Bi或为Ai 或为 i i 1 2 n 对独立事件 许多概率的计算可得到简化 例2 三人独立地去破译一份密码 已知每个人能译出的概率分别为1 5 1 3 1 4 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少 解 将三人分别编号为1 2 3 1 4 3独立性概念在计算概率中的应用 故 所求为P A1 A2 A3 记Ai 第i个人破译出密码 i 1 2 3 已知P A1 1 5 P A2 1 3 P A3 1 4 且 P A1 A2 A3 A1 A2 A3相互独立 计算n个独立事件并的概率公式 设事件相互独立 则 P A1 An 也就是说 n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积 例3 验收100件产品方案如下 从中任取3件进行独立测试 如果至少有一件被断定为次品 则拒绝接收此批产品 设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0 95 一件正品经测试后被断定为正品的概率为0 99 并知这100件产品恰有4件次品 求该批产品能被接收的概率 解 设A 该批产品被接收 Bi 取出3件产品中恰有i件是次品 i 0 1 2 3 则 记取出的三件产品分别标号为1 2 3 Ci 取出的i号产品经测试后断定为正品 因三次测试相互独立 故P A B0 P C1C2C3 P C1 P C2 P C3 0 993 P A B1 P C1C2C3 P C1 P C2 P C3 0 992 1 0 95 P A B2 P C1C2C3 P C1 P C2 P C3 0 99 1 0 95 2 P A B3 P C1C2C3 P C1 P C2 P C3 1 0 95 3 由全概率公式 得 例4 若干人独立地向一移动目标射击 每人击中目标的概率都是0 6 求至少需要多少人 才能以0 99以上的概率击中目标 解 设至少需要n个人才能以0 99以上的概率击中目标 令A 目标被击中 Ai 第i人击中目标 i 1 2 n