概率论与数理统计第9讲.ppt

概率论与数理统计第九讲 主讲教师 杨勇 佛山科学技术学院数学系 3 5 3连续型随机变量的条件概率密度 设 X Y 是二维连续型随机向量 由于对任意x y P X x 0 P Y y 0 所以不能直接用条件概率公式得到条件分布 这时要使用极限的方法得到条件概率密度 给定y 对于任意固定的正数 若概率P y 0 于是 对于任意x 是在条件y Y y 之下 X的条件分布函数 定义2 设X和Y是随机变量 给定y 若对任意固定正数 P y 0 且对任意实数x 极限 存在 则称此极限为在条件Y y下X的条件分布函数 记成FX Y x y 若存在fX Y x y 使得 则称fX Y x y 为在条件Y y下X的条件概率密度函数 简称条件概率密度 同理 当fX x 0时 定理1 设随机向量 X Y 的联合概率密度为f x y Y的边缘概率密度为fY y 若f x y 在点 x y 处连续 当fY y 0时 证明 例3 设 X Y 服从单位圆上均匀分布 即其概率密度为 求 解 X的边缘密度为 当 x 1时 有 即 当 x 1时 有 x作为已知变量 X已知下Y的条件密度 求P X 1 Y y 为此 需求出 例4 设 X Y 的概率密度是 由于 于是 对y 0 故对y 0 P X 1 Y y 解 概率密度不为零的区域如右图所示 例5 设二维随机向量 X Y 的概率密度为 求条件概率密度和条件概率 当y 0 1 时 fY y 0 当x 1 1 时 fX x 0 例6 设店主在每日开门营业时 放在柜台上的货物量为Y 当日销售量为X 假定一天中不再往柜台上补充货物 于是X Y 根据历史资料 X Y 的概率密度为 求 1 给定Y y条件下 X的条件概率密度 2 给定Y 10条件下 X 5的概率 3 如果Y 20件呢 解 1 y 0 20 时 fY y 0 这个结果表明 当y 0 20 时 X的条件分布是 0 y 上的均匀分布 2 当Y 10时 3 当Y 20时 这表明 货物销售量X与放在柜台上的货物量Y的关系是很密切的 3 6随机变量的独立性 事件A与B独立的定义是 若P AB P A P B 则称事件A与B相互独立 设X Y是两个随机变量 对任意的x y 若 则称X与Y相互独立 用联合分布函数与边缘分布函数表示上式 就是 若 X Y 是连续型随机向量 上述独立性定义等价于 对任意x y R 有 这里 几乎总成立 的含义是 在平面上除去一个面积为零的集合外 公式成立 分别是X的边缘密度和Y的边缘密度 几乎总成立 则称X与Y相互独立 若 X Y 是离散型随机变量 则上述独立性定义等价于 对 X Y 所有可能取值 xi yj 有 成立 则称X与Y相互独立 解 例1 考察随机变量X与Y的独立性 因0 2 0 00017 P X 0 P Y 0 P X 0 Y 0 0 00013 故 X和Y不相互独立 证明 因 例2 设 X Y N 1 2 1 2 求证 X与Y独立的充要条件为 0 将 0代入联合概率密度函数 得 所以 X与Y相互独立 若X和Y相互独立 则 x y R2 有f x y fX x fY y 从而 0 特别地 将x 1 y 2代入上式 有f 1 2 fX 1 fY 2 即 解 从而 对一切x y R 均有f x y fX x fY y 故 X与Y相互独立 例3 设 X Y 的概率密度为 问 X与Y是否独立 解 由于存在面积不为零的区域D 使得 故 X与Y不相互独立 例4 若 X Y 的概率密度为 问X与Y是否独立 需要指出的是 与随机事件的独立性一样 在实际问题中 随机变量的独立性往往不是从其数学定义验证出来的 相反 常是从随机变量的产生的实际背景判断它们的独立性 然后再使用独立性定义中所给出的性质和结论 例如 若二维连续型随机向量 X Y 中的分量X与Y相互独