概率论与数理统计JA(48,3-4).ppt

三 频率与概率 1 频率的定义和性质 定义 在相同的条件下 进行了n次试验 在这n次试验中 事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数 比值nA n称为事件A发生的频率 并记成fn A 第一章概率论的基本概念 1随机事件的概率 第一章概率论的基本概念 它具有下述性质 1随机事件的概率 2 频率的稳定性 实验者德 摩根蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊 nnHfn H 204840401200024000 10612048601912012 0 51810 50960 50160 5005 第一章概率论的基本概念 1随机事件的概率 频率稳定值概率 事件发生的频繁程度 事件发生的可能性的大小 频率的性质 概率的公理化定义 第一章概率论的基本概念 1随机事件的概率 3 概率的定义 定义设E是随机试验 S是它的样本空间 对于E的每一个事件A赋予一个实数 记为P A 称为事件A的概率 要求集合函数P 满足下列条件 第一章概率论的基本概念 1随机事件的概率 4 概率的性质与推广 第一章概率论的基本概念 1随机事件的概率 第一章概率论的基本概念 1随机事件的概率 第一章概率论的基本概念 1随机事件的概率 性质9 第一章概率论的基本概念 1随机事件的概率 要求 熟练掌握概率的性质 第一章概率论的基本概念 1 加法原理 完成某件事有两类方法 第一类有n种 第二类有m种 则完成这件事共有n m种方法 3 排列 1 有重复排列 在有放回选取中 从n个不同元素中取r个元素进行排列 称为有重复排列 其总数为 四 排列组合公式 2 乘法原理 完成某件事有两个步骤 第一步有n种方法 第二步有m种方法 则完成这件事共有nm种方法 1随机事件的概率 第一章概率论的基本概念 4 组合 1 从n个不同元素中取r个元素组成一组 不考虑其顺序 称为组合 其总数为 2 选排列 在无放回选取中 从n个不同元素中取r个元素进行排列 称为选排列 其总数为 1随机事件的概率 说明 如果把n个不同元素分成两组 一组r个 另一组n r个 组内元素不考虑顺序 那么不同分法有种 第一章概率论的基本概念 2 多组组合 把n个不同元素分成k组 使第组有个元素 若组内元素不考虑顺序 那么不同分法有种 3 常用组合公式 1随机事件的概率 说明 熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的 2等可能概型 等可能概型 古典概型 第一章概率论的基本概念 生活中有这样一类试验 它们的共同特点是 样本空间的元素只有有限个 每个基本事件发生的可能性相同 一 等可能概型 古典概型 我们把这类实验称为等可能概型 考虑到它在概率论早期发展中的重要地位 又把它叫做古典概型 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 设S e1 e2 en 由古典概型的等可能性 得 又由于基本事件两两互不相容 所以 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 若事件A包含k个基本事件 即A e1 e2 ek 则有 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 例1把一套4卷本的书随机地摆放在书架上 问 恰好排成序 从左至右或从右至左 的概率是多少 解 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 将书随机地摆放在书架上 每一种放法就是一个基本事件 共有放法4 种 把书恰好排成序有两种放法 所以 所求概率为 例2将n只球随机的放入N N n 个盒子中去 求每个盒子至多有一只球的概率 设盒子的容量不限 解 将n只球放入N个盒子中去 共有 而每个盒子中至多放一只球 共有 第一章概率论的基本概念 思考 某指定的n个盒子中各有一球的概率 2等可能概型 此例可以作为许多问题的数学模型 比如用此公式可以得出 在一个有64人的班级里 至少有两人生日相同 的概率为99 7 np 202330405064100 0 4110 5070 7060 8910 9700 9970 9999997 经计算可得下述结果 第一章概率论的基本概念 等可能概型 2等可能概型 例3同时掷5颗骰子 试求下列事件的概率 A 5颗骰子不同点 B 5颗骰子恰有2颗同点 C 5颗骰子中有2颗同点 另外3颗同是另一个点数 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 解 第一章概率论的基本概念 等可能概型 2等可能概型 例4设有N件产品 其中有M件次品 今从中任取n件 问其中恰有k k M 件次品的概率是多少 又在M件次品中取k件 所有可能的取法有 在N M件正品中取n k件 所有可能的取法有 解 在N件产品中抽取n件 取法共有 第一章概率论的基本概念 等可能概型 2等可能概型 于是所求的概率为 此式即为超几何分布的概率公式 由乘法原理知 在N件产品中取n件 其中恰有k件次品的取法共有 第一章概率论的基本概念 等可能概型 2等可能概型 2 有放回抽样 而在N件产品中取n件 其中恰有k件次品的取法共有 于是所求的概率为 从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列 可能的排列数为个 将每一排列看作基本事件 总数为 此式即为二项分布的概率公式 第一章概率论的基本概念 等可能概型 2等可能概型 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 例5某接待站在某一周曾接待过12次来访 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的 解 假设接待站的接待时间没有规定 各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的 那么 12次接待来访者都在周二 周四的概率为 212 712 0 0000003 即千万分之三 人们在长期的实践中总结得到 概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的 称之为实际推断原理 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了 从而可以推断接待时间是有规定的 第一章概率论的基本概念 等可能概型 2等可能概型 例6将n个男生和m个女生 m n 随机地排成一列 问 任意两个女生都不相邻的概率是多少 解 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 任意两个女生都不相邻时 首先n个男生的排法有n 种 每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生 还有队列两侧各有一个位置可以站女生 这样m个女生共有n 1个位置可以站 所以 任意两个女生都不相邻这一事件的概率为 n m个学生随机地排成一列共有排法 n m 种 总共排法有种 思考题 如果这n m个学生不是排成一列 而是排成一个圆状 首尾相接 这时 任意两个女生都不相邻的概率是多少 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 例7袋中有a只白球 b只黑球 从中将球取出依次排成一列 问第k次取出的球是黑球的概率 解 设A 第k次取出的球是黑球 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 例8从1 9这9个数中有放回地取出n个 试求取出的n个数的乘积能被10整除的概率 解 A 取出的n个数的乘积能被10整除 B 取出的n个数至少有一个偶数 C 取出的n个数至少有一个5 则A B C 第一章概率论的基本概念 2等可能概型 第一章概率论的基本概念 街头摸奖问题 一位赌主在街头设摊 摸彩 他拿着一个布袋 内装6个红球和6个绿球 除颜色不同外 球的形状 大小 质量都相同 每次让人从袋中摸出6个球 输赢规则为 6个全红 得100元5红1绿 得50元4红2绿 得20元3红3绿 得 100元2红4绿 得20元1红5绿