概率论与数理统计8-2.ppt

概率论与数理统计 2 2双因素方差分析 有交互作用的双因素方差分析 无交互作用的双因素方差分析 一 有交互作用的双因素方差分析 在两个因素的实验中 不但每一个因素单独对试验起作用 往往两个因素会联合起来起作用 这种作用称为两个因素的交互作用 1 数学模型 设在某试验中 有两个因素在变化 因素A有个不同的水平 因素B有个不同的水平 在水平组合下的试验结果用表示 我们假定相互独立且 也就是说 我们共有个独立正态总体 此外 还假定在每个水平组合下进行了次重复独立试验 实验结果用表示 我们把它看作从总体中抽取的容量为的样本 有样本的定义可知 从而 与之差可以看成一个随机变量 令 易知 相互独立 并且 于是 我们可以把表示为 2 1 对这个问题首要的任务是检验假设全相等 2 2 与单因素方差分析一样 为今后讨论方便 把作形式上的改变 记 2 3 称为理论总均值 它表示所考虑的个总体的数学期望的总平均中称为因素A的第个水平对试验结果的效应 称为因素B的第个水平对试验结果的效应 易验证有记 即 2 4 称为交互效应 式中是水平组合对试验结果的总效应或联合效应 在多因素试验中 通常把因素A与因素B对实验结果的交互效应设想为某一个新因素的效应 这个新因素记为 称它为A与B对试验结果的交互作用 2 4 式可以改写为 2 5 对于交互效应 易验证满足 我们得到 等重复试验 有交互作用的双因素方差分析模型为 2 6 相互独立其中 都是未知参数 此时 我们要检验的假设为注 这三个假设一起组成的假设等价与假设全相等 2 统计分析 记 2 10 定理一 平方和分解定理 在有交互作用的双因素方差分析模型中 平方和有如下的恒等式其中 记 2 12 其中称为总偏差平方和 称为误差平方和 分别称为因素A 因素B的 主效应 偏差平方和 称为交互作用的 交互效应 偏差平方和 定理二在有交互作用的双因素方差分析模型中 有 定理三在有交互作用的双因素方差分析模型中 有 1 当假设成立时 而且与相互独立 从而 2 当假设成立时 而且与相互独立 从而 3 当假设成立时 而且与相互独立 从而 定理四在有交互作用的双因素方差分析模型中 有 1 是的无偏估计量 2 是的无偏估计量 3 是的无偏估计量 4 是的无偏估计量 5 是的无偏估计量 6 是的无偏估计量 7 是的无偏估计量 8 是的无偏估计量 其中 以上 例1一火箭是用来4种燃料 A 3种推进器 B 作射程试验 每种燃料与每种推进器的组合做两次射程试验 得火箭射程 单位 海里 如表8 8所示 试给定显著性水平 检验燃料 推进器以及它们之间的交互作用对火箭射程有无显著影响 二 无交互作用的双因素的方差分析 1 数学模型 无交互作用的双因素无重复试验的方差分析模型 它是有交互作用的双因素等重复试验方差分析模型的特殊情形 为 2 15 相互独立 其中都是未知参数 此时 我们要检验的假设为 2 统计分析 记 2 18 定理五 平方和分解定理 在无交互作用的双因素方差分析模型中 平方和有如下的恒等式其中 记 2 20 定理六在无交互作用的双因素方差分析模型中 有 定理七在无交互作用的双因素方差分析模型中 有 1 当假设成立时 而且与相互独立 从而 2 当假设成立时 而且与相互独立 从而 定理八在无交互作用的双因素方差分析模型中 有 1 是的无偏估计量 2 是的无偏估计量 3 是的无偏估计量 4 是的无偏估计量 5 是的无偏估计量 其中 例2下面给出了再某5个不同地点 不同时间空气中的颗粒状物 以mg m3计 的含量的数据 试在显著性水平下检验 在不同时间颗粒状物含量的均值有无显著性差异 在不同地点颗粒状物含量的均值有无显著性差异 本节完 解 需检验假设 计算如表8 8 表中括号内的数是 现在故有 得方差分析表 表8 9 如下 由于 所以在显著性水平下 我们拒绝 即认为不同燃料或不同推进器对射程有显著差异 解 按题意需要检验假设 的值已算出载于上表 现在得到得到方差