历年浙江省高等数学(微积分)竞赛--工科类试题.doc

2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、 计算题（每小题12分，满分60分）1、计算.解: 。2、求.解: .3、求.解: .4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令则,令所求平面方程为: ,在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则.解得: 即所求平面方程为: .二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.解: 当, 当, 且的增长速度要比来得快!所以无实根.三、(满分20分)求中的系数.解: 当时, 故中的系数为.四、(20分) 计算,其中是球面与平面的交线.解： 而,故.五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.证明：必要性 由于,则, .充分性;要证明,只需证明: ,这里,若,不等式显然成立;即只需证明: ,而,故只要说明: ,即,当时,显然成立;假设当时,也成立,即;当时, . 六、(15分)求最小的实数,使得满足的连续函数都有.解: , 取,显然,而, 取,显然,而, 故最小的实数.2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题（每小题12分，满分60分）1、求.解: 。2、求.解: .3、求的值,使.解: 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、计算,其中为圆柱面.解: 被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：（1） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积. 解:旋转曲面上任意取一点则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,;在圆周上,由条件极值得:令解得: , ,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数的系数满足,求此幂级数的和函数.证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程-常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由于,解得, 故的和函数. 六、(15分)已知二阶可导,且,(1) 证明:.(2) 若,证明.证明: (1) 要证明,只需证明,也即说明是凹函数, ,故是凹函数, 即证.(2) ,即: .2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题1、求.解: 。2、计算.解: 。法二：，令。3、设，求.解: ,则，则 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、计算,其中为圆柱面.解: 被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：（3） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（4） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积. 解:旋转曲面上任意取一点则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,;在圆周上,由条件极值得:令解得: , ,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数的系数满足,求此幂级数的和函数.证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程-常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由于,解得, 故的和函数. 法二：，同学们自行完成。六、(15分)已知二阶可导,且,(3) 证明:.(4) 若,证明.证明: (1) 要证明,只需证明,也即说明是凹函数, ,故是凹函数, 即证.(2) ,即: .2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1.求极限解 =2计算不定积分解 =3设，求解 =4设，求此曲线的拐点解 ，令得当时，当时，当时，因此拐点为5已知极限，求常数的值解 = =1于是，由，得另解 1二、（满分20分）设，证明：当时，证 设则，由且，知当时，。又设则，所以,从而,不等式得证.三、（满分20分）设，求的最小值证 当时，故当时单调增加；当时，故当时单调减少； 当时，=。由得。当时，当时， 故是的极小值点，又=，故的最小值为 四、（满分20分）=五、（满分15分）设，证明：（1）为偶函数；（2）证 （1）（2）=六、（满分15分）设为连续函数，且，证明在上方程有唯一解证 设，则在上连续，在内可导，当时，是方程的解；当时，由零点定理，得至少存在一点使，即方程至少有一解。又，故在上严格单调递增，因此在上方程有唯一解2010浙江省大学生高等数竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1求极限2计算3设为锐角三角形,求的最大值和最小值。4已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求,其中的方向成右手系。5设连续，满足,求的值。二、（满分20分）定义数列如下： ，求。三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线 向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r (t) 随时间改变，有，求在时间段内圆盘所扫过的空间体积。四、（满分20）证明：当， 五、（满分20分）证明：2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（工科类）一、计算题：1解：原极限=2解： 3解：记 4解：原积分=5解： 二、解：即单调增且设则即有界。可知收敛记其极限为,有三、解： 四、证明：五、证明： 易知 学校姓名准考证号专业装订线2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一计算题：（每小题1分，满分0分）1求极限。2设函数可导，且，满足，求的表达式。3计算（为正整数）。4计算，为与围成的平面有界闭区域。5求曲线，的形心，其中为常数。二、（满分20分）证明：，。三、（满分20分）设所有二阶偏导连续，证明可表示为的充分必要条件为。四、（满分20）在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。五、（满分20分）证明。工科类答案一、计算题1、若 同理，当时， 所以2、解：由假设，有 可导同理 3、解：4、解： 原积分 5、解：，而 二、证明：显然 另一方面三、证明：时，显然有反之，若成立，即有 也即