概率论与数理统计 第二章.ppt

1 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 随机变量及其分布离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度几种重要的随机变量随机变量函数的分布 第二章随机变量及其分布 2 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 引例1 设随机试验E 抛一枚硬币 观察正面H与反面T的出现情况 样本空间为S H T 现在我们将试验的每个结果 样本点 与一个实数建立联系 即相当于在S上定义一个函数 1 随机变量及其分布函数 一 随机变量 这样一来 出现正面H 的事件为 X 1 出现反面T 的事件为 X 0 且易知 3 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 引例2 设随机试验E 测试灯泡寿命 小时 样本空间为S t t 0 现在我们将试验的灯泡寿命记为X 令 则X是定义在样本空间为S t t 0 上的函数 其值域为 且取值具有随机性 灯炮寿命在1000 2500小时 的事件可表示为 上面两例中 我们是在随机试验样本空间上定义了实值函数X 显然它取值具有随机性 故称它们为随机变量 4 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 注意 普通函数的定义域是实数集 而随机变量的定义域是样本空间 样本点不一定为实数 S e X e R 定义1设随机试验E的样本空间为S e 称定义在S上单值实值函数 X X e e S 为随机变量 记为r v X randomvariableX 随机变量与普通函数的区别 5 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可言 而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定概率的 此外 因试验的随机性使得随机变量的取值也具有随机性 即知道随机变量的取值范围 但在一次试验前无法确定它取何值 利用随机变量可以描述随机事件 随机变量X在任意实数集L上取值 记为 X L e X e L 它表示一切使随机变量X取值在L上的样本点所构成的事件 从而 6 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例如 在试验E 掷一枚骰子 观察出现的点数 中 如果定义随机变量 X k e 出现k点 k 1 2 3 4 5 6 则事件 出现偶数点 就可表示为 X L e X e L 其中L 2 4 6 事件 出现3点 就可表示为 X 3 显然 X 1 3 5 表示 出现奇数点 X 1 为不可能事件 X R 为必然事件 等等 7 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 随机变量与随机事件的关系 随机事件是从静态的角度研究随机现象 而随机变量是从动态的角度研究随机现象 随机变量可以描述随机事件 它涵盖了随机事件 是一个更为广泛的概念 随机变量的引入使得利用数学方法研究随机现象成为可能 是实现随机现象 数量化 的重要工具 因此 随机变量的研究是概率论的中心内容 为了更好地利用数学知识研究随机变量统计规律性 引入下列分布函数的概念 它是一个普通实函数 8 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 定义2设X为随机变量 x为任意实数 函数 为随机变量X的分布函数 distributionfunction 记为d f F x 分布函数F x 是随机事件 X x 的概率 它是一个普通函数 因而可用微积分的方法来研究随机变量 随机点 实数点 二 分布函数 事件概率普通函数 9 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质 1 F x 是单调不减函数 即对任意实数x1 x2 x1 x2 有F x1 F x2 4 0 F x 1 2 F x 至多有可列个间断点 且在其间断点处是右连续 3 F 0 F 1 图像值域范围 图像左右趋势 间断点右连续 图像自左至右呈上升 5 P x1 X x2 F x2 F x1 利用分布函数计算事件概率 满足1 2 3的函数即为某随机变量的分布函数 参见 课本P 34 35 10 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例1 设随机变量X的分布函数为 试求 1 系数A B 2 X取值落在 1 1 中的概率 解 1 由 解得 于是 分布函数为 11 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 2 由分布函数计算事件概率公式得 分布函数完全描述了随机变量的统计规律性 下面 分别讨论实际问题最常见的两类随机变量 离散型随机变量和连续型随机变量 请大家注意它们的定义和讨论方法的异同 12 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 2 离散型随机变量 定义1全部可能取值为有限个或可列无限个的随机变量称为离散型随机变量 描述一个离散型随机变量X必须且只需知道 X的所有可能取的值以及X取每个可能值的概率 一 概念 二 概率分布及其性质 设离散型随机变量X所有可能取值为 且X取各个可能值的概率为 13 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 上式称为离散型随机变量X的概率分布 分布律或分布列 数列 分布列的表示 表格 矩阵 图形 在随机变量每个可能取值的点处画一长度为相应概率值的线段 P 36 图2 1 14 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 由概率的性质易知离散型随机变量的分布列满足下列特征性质 概率的非负性公理 概率的完备性公理 分布函数与分布列关系 是非负数列为离散随机变量分布列的充要条件 可见 离散型随机变量的分布列与分布函数均能完整地描述离散型随机变量的统计规律性 15 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 分布列的求法 利用古典概率 条件概率等计算方法及运算性质求事件 X xk 概率 利用已知的重要分布的分布列 利用分布函数 分布列的应用 确定分布列中的待定参数 求分布函数 求随机事件的概率 16 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 分布律的形象化解释 设想有一单位质量的物质 如一克面粉 被分配在随机变量X的所有可能取值 处 其各点物质的分配量依次相应为 个单位 这就是一个概率分布 如何计算离散随机变量落在一个区间内的概率 17 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯 每盏信号灯均以p的概率允许汽车通过 各信号灯的工作是相互独立的 设X表示 汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数 求X的分布律 P 37 为便于理解 设事件 第k盏灯为绿灯 通行 由独立性得 解 设X是 汽车首次停下已经通过的信号灯的盏数 则X为随机变量 其可能取值为0 1 2 3 4 现求X取各值的概率 18 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 即所求分布律为 19 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例2 一袋中装有5只球 编号为1 2 3 4 5 在袋中同时取3只 以X表示取出的3只球的最大号码 写出随机变量X的分布律和分布函数 P 65 3 解 由于X表示取出的3只球的最大号码 故X的所有可能取值为3 4 5 必取3号球 只能再取1 2号球 必取4号球 再从1 2 3号球中取2只 必取5号球 再从1 2 3 4号球中取2只 由古典概率可得 20 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 即所求分布律为 由分布函数概念可知 分布函数是累积和 因此 对离散型随机变量由分布列求分布函数时需分段考虑 X的所有可能取值就是分界点 即应该就x分别位于区间 3 3 4 4 5 5 来分别计算事件 X x 的概率 当时 21 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 当时 当时 基本事件互斥 当时 故X的分布函数为 22 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 分布函数的图形为 右连续的阶梯函数 23 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例3 设随机变量X的分布律为 解 由概率可加性与分布函数定义可得分布函数 求X的分布函数和概率P X 0 5 P 1 5 X 2 5 P 2 X 3 24 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 由分布列求分布函数时 用X可能取的值 分 为k 1个区间 分别就x落在上述各区间内计算 X x 的值概率 累积和 即求出F x 的值 注意几点 离散型随机变量X落在区间I内的概率可以利用分布列或分布函数计算 即含于I内点的概率之和或分布函数在I上的增量 必要时加减端点概率值 25 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯函数 其定义域是 值域是 0 1 三 几种重要的离散型随机变量 定义2设随机变量X可能取值为0 1 2 n 且其分布列为 1 二项分布 则称X服从参数n p的二项分布 记为 特别的 当n 1时 称之为两点分布或0 1分布 26 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 二项分布分布律满足 二项式公式 二项分布分布律的图形 27 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 二项分布是离散型随机变量中最重要的一种分布 它所适用的模型就是贝努里试验 设随机试验E的只有两个样本点 其中则n重贝努里试验En中 事件A发生的次数 X就是服从二项分布 即 以三重贝努里试验中A发生2次的概率计算为例 28 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 设Ai为第i次出现A i 1 2 3 X表示 三次试验中A发生的次数 则 三次试验中A发生2次 的事件为 由概率有限可加性与独立性可得 29 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例4 一大楼装有5个同类型的供水设备 调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0 1 问在同一时刻 1 恰有2个设备被使用的概率是多少 2 至少有3个设备被使用的概率是多少 3 至多有3个设备被使用的概率是多少 4 至少有一个设备被使用的概率是多少 解 设X表示 5个设备中同时被使用的个数 则有r v X B 5 0 1 于是 1 恰有2个设备被使用的概率为 30 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 2 至少有三个设备被使用的概率为 0 0081 0 00045 0 00001 0 00856 3 至多有三个设备被使用的概率为 1 0 00045 0 00001 0 99954 31 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 4 至少有一个设备被使用的概率为 1 0 59049 0 40951 请看教材P 41 例3 关于二项分布的近似计算 当n 20 p 0 05 特别 n 100 np 10 时 有如下的泊松公式 学会查附表3 泊松分布表 32 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例5 为保证设备正常工作 需配备适量的维修工人 配备多了就浪费 少了会影响工作 现有同类型设备300台 各台工作是相互独立的 发生故障的概率均为0 01 一台设备的故障可由一个维修工人来处理 问至少需配备多少维修工人 才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0 01 参考P 45 例5 解 设X表示 300台设备中同时发生故障的台数 则有r v X B 300 0 01 又设需要配备维修工人N人 由题意 设备发生故障但不能及时维修 即发生故障的设备数大于维修工人数 的概率 由泊松公式得 33 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 学查附表3 泊松分布表 P 296 在P 297找到 np 300 0 01 3一列 向下找到第一个小于0 01的值为0 003803 横向左找到x 9 即N 1 9 得 N 8 答 至少需配备8个维修工人 请自学P 45 例5 注意其实际意义 上面例子告诉我们 利用重要随机变量分布律也可求随机事件的概率 34 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 2 泊松分布 定义3设随机变量X所有可能取的值为0 1 2 且其分布律为 则称随机变量X服从参数为 的泊松分布 记为 容易验证泊松分布的分布律满足 泊松分布有着广泛的应用 P 44 35 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例6 设某地区每年发表有关 利用圆规与直尺三等分一个角 的文章的篇数X服从参数为6的泊松分布 求明年没有次类文章的概率 解 因为r v X P 6 所以其分布律为 从而 所求概率为 36 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 常见指数函数ex值 下面 让我们来看一个利用定义求分布函数的例子 并从所得分布函数不是 阶梯函数 确定相应的随机变量不再是 离散型 随机变量 由此引入 连续型 随机变量 37 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例7 设一靶子为半径为2米的圆盘 射击 假设射击均能中靶 靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘的面积成正比 以X表示弹着点与圆心的距离 求随机变量X的分布函数 解 只能按分布函数定义来求 1 当x 0时 X x 为不可能事件 因为弹着点与圆心的距离不可能为负 故 2 当0 x 2时 由题意得 取x 2以确定k的值 射击均能中靶 38 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 故 3 当x 2时 X x 为必然事件 故 综上得X的分布函数为 显然 这里的分布函数是一条连续曲线 表明X不再是离散型随机变量 39 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 此外 易验证 对任意实数x 均有 其中非负函数 这种随机变量的分布函数F x 恰为一个非负函数f x 在 x 上的积分 称这种随机变量为连续型随机变量 40 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 3 连续型随机变量 一 概念 定义1设随机变量X的分布函数为F x 如果存在非负函数f x 使对任意实数x均有 则称X为连续型随机变量 其中函数f x 称为X的概率密度 函数 概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机变量的统计规律性 41 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 离散型随机变量 连续型随机变量 分布函数 描述随机变量 42 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 二 概率密度的性质 由定义知 概率密度f x 具有以下性质 求概率 由概率密度求分布函数 由分布函数求概率密度 确定待定参数 牛顿 莱布尼兹公式 43 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 设想有一克金 被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔 如图 概率密度的形象化解释 44 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例1 设随机变量X的概率密度为 求X的分布函数 解 注意到概率密度f x 在 上为分段函数 其分段区间为 1 1 1 1 而分布函数为累积和 故应就x在上述不同区间上积分求F x 当时 45 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 当时 积分公式 46 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 当时 积分 为单位圆面积一半 故分布函数为 47 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 利用积分对积分区间的可加性 就被积函数 概率密度 分段积分 由概率密度计算分布函数的方法 用概率密度取值非零的定义区间将整个x轴分成若干个子区间 计算分布函数的方法 熟练各种积分的计算是基础而重要的 48 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例2 设随机变量X的分布函数为 1 求概率 2 求概率密度 解 1 由分布函数求概率公式得 49 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 2 对分布函数求导数即得概率密度 注意 由分布函数不能唯一确定概率密度 50 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 从上面的例子可以看出 正是因为引入随机变量和分布函数 我们才能利用微积分等数学方法来研究随机现象 特别值得注意的是 连续型随机变量取某一确定值的概率为零 因此 计算连续型随机变量取值落在一个区间的概率时 可以不分开区间或是闭区间 这与离散型随机变量是不同的 由此可知 不可能事件与零概率事件的关系为 51 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 1 均匀分布 三 几种重要的连续型随机变量 定义2设连续型随机变量X具有概率密度 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记为 其分布函数为 52 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 定义3设连续型随机变量X的概率密度为 其中 0为常数 则称随机变量X服从参数为 的指数分布 记为 其分布函数为 2 指数分布 53 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例3 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X 分钟 服从指数分布 其概率密度为 某顾客在窗口等待服务 若超过10分钟 他就离开 他一个月要到银行5次 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数 写出Y的分布律 并求P Y 1 解 这是一道综合题 指数分布 二项分布 先求 他未等到服务而离开 的概率 54 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 因为r v Y B 5 e 2 所以Y的分布律为 于是 一个月内至少有一次未等到服务而离开 的概率为 55 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例4 设K在 0 5 上服从均匀分布 求方程 有实根的概率 解 因为r v K U 0 5 所以K的概率密度为 又方程有实根 当且仅当判别式 56 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 即或 故事件 方程有实根 的概率为 57 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 3 正态分布 定义4设连续型随机变量X的概率密度为 其中 0 均为常数 则称随机变量X服从参数为 的正态分布 记为 分布函数为 此积分不能直接积分出来 58 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 特别的 当 0 1时称r v X服从标准正态分布 其概率密度与分布函数分别为 正态分布的性质 1 概率密度曲线关于直线x 成轴对称 2 概率密度函数最大值为 且在点出x 处有拐点 并以x轴为水平渐近线 59 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 3 位置参数 X的数学期望 确定概率密度曲线的位置 形状参数 X的均方差 确定概率密度曲线的形状 4 标准正态分布函数满足公式 由于标准正态分布概率密度函数关于y轴对称 因此 概率密度曲线在 x x 上与x轴所围成的面积相等 而它们分别为 60 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 5 非标准正态分布函数与标准正态分布函数之间的关系 标准化 定理设r v 则r v 证明 利用定积分的换元积分法 此略 由上述定理可得 因此 关于正态分布的计算只需利用标准正态分布即可 而标准正态分布函数值可查附表2 标准正态分布表 P 295 求得 61 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 一般 有下列公式 设r v X N 2 则 6 标准正态分布的上 分位点与双侧 2分位点 定义5设r v X N 0 1 则称满足条件 的点为标准正态分布的上 分位点 即 62 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 上 分位点 当 0 05时 1 0 95 在附表2 P 295 的表中函数值中找到最接近0 95的值 0 9495与0 9505 它们对应的x值分别为1 64与0 65 故可取其算术平均值为上0 05分位点 当 0 005时 1 0 995 在表中函数值中找到最接近0 995的值 0 9949与0 9951 它们对应的x值分别为2 57与2 58 故可取其算术平均值为上0 005分位点 63 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例如 当 0 05时 2 0 025 1 2 0 975 查标准正态分布表可得双侧0 025分位点为 此外 在数理统计中还经常用到 双侧 2分位点 64 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 7 利用标准正态分布函数可以计算概率积分 8 正态分布的 3 原则 65 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例5 设随机变量X N 3 4 1 求P 22 P X 3 2 确定c 使P X c P X c 解 1 2 66 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 2 因为 所以 于是 即 67 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 关于重要分布 请看教材附表1 几种常用的概率分布 P 292 294 2 分布 t 分布 F 分布将在第六章中简单扼要地予以介绍 它们是数理统计的基础 请预习之 68 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 4 随机变量函数的分布 已知随机变量X的分布 现求其连续函数Y g X 的分布 此时 Y也是随机变量 一 离散型随机变量函数分布列的求法 同一表格法 设离散型r v X的分布律为 则求函数Y g X 的分布律的步骤为 求Y的所有可能取值 计算Y取各可能值的概率 如果Y各可能取值互异 即则 69 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 如果Y各可能取值中存在多个值相等 则Y取该值的概率为这些相等值对应的X取值的概率之和 例如 当 则由基本事件互斥性与概率可加性得 70 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例1 设r v X的分布律为 求X 1 X2 1的分布律 解 采用 同一表格法 互异 有等值 71 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 故X 1分布律为 X2 1的分布律为 其中 72 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 二 连续型随机变量函数概率密度的求法 方法1分布函数法 一般情形 设连续型随机变量X的概率密度为 则求Y g X 的概率密度的步骤为 其中积分区间是以y的函数为端点的区间