概率论与数理统计学习资料.ppt

1 概率论与数理统计 十 开始王柱2011 10 27 2 习题二部分题答案 3 4 1 2 k 012345p 32808040101 243 3 6 8 N 4的独立试验序列 k 3 4时台称不够用 其概率等于 10小时台称不够用的平均时间为小时 30 48分钟 4 14 16 5 18 6 22 P 3 5 7 28 由 X N 2 则Y X N 0 1 于是 P x1 X x2 P x1 Y x2 x2 x1 查附表2 8 9 30 查附表2 不合格品率P 10 33 34 由 X N 2 则Y cX d 服从参数为 c d c 2的正态分布N c d c 2 服从参数为 c d 1 c 2 4的正态分布N 1 4 现在 0 1 c 2 d 1 11 正态分布N 1 4 的密度函数为 正态分布N 2 的密度函数为 12 例4 设F1 x 与F2 x 分别为随机变量X1和X2的分布函数 为使F x aF1 x bF2 x 是某一随机变量的分布函数 在下列各组数值中应取 a b c d 13 例5 设随机变量X服从正态分布 随机变量Y服从正态分布 且则必有 A B C D 14 由 得 从而 进而有 15 例7 设两个随机变量X和Y的联合概率分布为 a b c d 已知随机事件与相互独立 则 16 首先 由随机事件与相互独立 则 得出 17 7 两个 随机变量函数的分布 与一个随机变量的函数的分布求法类似 已知二维随机变量 X Y 的分布 可以求出其函数Z g X Y 的分布 记G为不等式g x y z所确定的x和y的范围 则 于是 如果 X Y 为连续型的且概率密度为 则 又若Z g X Y 也是连续型的 则 18 如果 X Y 是离散型的且分布律为 此时 Z g X Y 也是离散型的 设其可能值为 则其分布律 19 一 Z X Y分布de积分域 Z 1 Z 0 Z 2 x y G 下面只就几个具体的函数来讨论 20 Z X Y分布de求法 设 X Y 的概率密度为f x y 则Z X Y的分布函数为 化成逐次积分 固定z和y对积分的被积函数作变量替换 令x u y得 21 于是 得Z的概率密度为 积分换序有 由X Y的对称性 又可得Z的概率密度为 这是两个随机变量和的概率密度的一般公式 22 特别 当X Y相互独立时 变为 这两个公式称为卷积公式 记为fX fY 即 23 二 Z X Y分布de积分区域 Z 1 Z 0 Z 1 2 Z 1 Z 3 J1 J2 y x 24 Z X Y分布de求法 设 X Y 的概率密度为f x y 则Z X Y的分布函数为 第一个J1化成逐次积分 固定z和y对积分的被积函数作变量替换 令u x y 这里y 0 得 25 于是 类似地 这里y 0 有 积分换序有 26 故有 得Z的概率密度为 特别两个随机变量独立时 27 例4 X Y表示两只灯泡的寿命 且相互独立 已知它们的概率密度为 求Z X Y的概率密度 解 由x 0 y 0知必需z 0 得 即 28 3 5 2 M max X Y N min X Y 的分布 设 X Y 的是两个独立的随机变量 它们的分布函数为FX x 和FY y 求M max X Y N min X Y 的分布 推广到n个独立的随机变量 M max X1 Xn 的分布为 若为n个独立同分布的随机变量时 29 推广到n个独立的随机变量 则N min X1 Xn 的分布为 进一步若为n个独立同分布的随机变量时 30 定义4 1 1 设离散随机变量X的分布律为P X xk pkk 1 2 若级数 第四章随机变量的数字特征 4 1数学期望 绝对收敛 则称此级数的和为离散随机变量X的数学期望或均值 记为E X 即 平均值的引入 31 例4 1 1设X服从0 1分布P X 1 pP X 0 q 1 p 显然级数 绝对收敛 0 1分布的离散随机变量X的数学期望或均值为 32 例4 1 2设X服从分布 求X的数学期望或均值 解 X的分布律为 所以 33 定义4 1 2 设连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 绝对收敛 则称此积分的值为随机变量X的数学期望 记为E X 即 数学期望简称期望 又称为均值 34 例4 1 3 设求 解 这是因为被积函数在内是奇函数 35 定理4 1 1 设Y是随机变量X的函数 Y g X 函数g x 是连续函数 一 设离散随机变量X的分布律为P X xk pkk 1 2 随机变量函数的数学期望 若级数 绝对收敛 则有 36 二 连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 绝对收敛 则有 37 例4 1 4按节气出售的某种节令商品 每售出一公斤可获利a元 过了节气处理剩余的这种商品 每售出1公斤净亏损b元 设某店在季度内这种商品的销售量X是一随机变量 X在区间 t1 t2 内服从均匀分布 问该店应进多少货才能使销售利润的数学期望最大 由于X的概率密度为 解 设t 单位 公斤 表示进货数 t1 t t2 进货t所获利润记为Y 则Y是随机变量 38 得驻点 因此 由此可知 该店应进公斤商品才可以使利润的数学期望最大 39 例4 1 5设风速X是一个随机变量 在 0 a 上服从均匀分布 而飞机机翼上受到的压力Y与风速的平方成正比 即 求Y的数学期望或均值 解 X的概率密度为 所以 40 定理4 1 2 设Z是随机变量X Y的函数 Z g X Y 函数g x y 是连续函数 则Z也是一个随机变量 且 一 设离散随机变量X Y的分布律为P X xk Y yj pkjk j 1 2 和级数 绝对收敛 则有 41 二 连续型随机变量X Y的概率密度为f x y 若积分 绝对收敛 则有 42 例4 1 6设二维随机变量的概率密度为 求 解 由X Y的取值和的对称性 得 43 数学期望的性质 以下均设所遇到的数学期望存在 10设C为常数 则有E C C 20设C为常数 X是随机变量 则有E CX CE X 30X Y是两个随机变量 则有E X Y E X E Y 这个性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况 40X Y是两个相互独立的随机变量 则有E XY E X E Y 这个性质可以推广到任意有限个相互独立随机变量之积的情况 这些都是级数求和及积分的性质 44 例4 1 7设X服从分布 求X的数学期望或均值 解 取则 可见正态分布中的参数是相应的随机变量的期望 45 例4 1 8设Y服从分布 求Y的数学期望或均值 解 相互独立且每个都服从参数为p的0 1分布 所以 46 例4 1 9设X1 X2均服从参数为p的0 1分布 令 求Y1 Y2的数学期望或均值 解 47 0 1分布 设X为服从0 1分布的随机变量 则E X 1 p 0 1 p p 几种重要随机变量的数学期望 1 二项分布 设X为服从参数为n p的随机变量 n重贝奴利试验 则E X E X1 Xn E X1 E Xn np 2 设X为服从参数为N M n的超几何分布 则E X nM N 48 4 设X为服从参数为p的几何分布 则 3 泊松分布 设X为服从参数为 的随机变量 则 49 标准正态分布X