浅谈函数项的非一致收敛.doc

浅谈函数项级数的非一致收敛王世鹏 指导教师:张飞羽（河西学院数学与应用数学专业2010届2班36号, 甘肃张掖 7340000）摘要 本文通过实例，讲解了函数项级数非一致收敛的常见证法，即定义，确界法，柯西准则，和函数的连续性，非一致收敛的充分条件，构造法.关键词 函数项级数 非一致收敛 柯西准则 和函数 构造法Discusses a function progression shallowly the non-uniformly convergentWang Shipeng Instructor: Zhang Feiyu（N.O.36,Class 2 of 2010Specialty of Mathematics and Applied Mathematics，Department of Mathematics，Hexi University，Zhangye，Gansu，734000，China）Abstract Through examples, explain the function of non-uniform convergence of Series A common proof, That the defination of ，Supremum method, Cauchy criteria, and the function of continuity, a sufficient condition of non-uniform convergence, construction method.Keyord the function progression Non-uniform convergence Cauchy criterion With function Structure method一 运用函数项级数非一致收敛的定义证明定义1 设函数项级数在区间D上收敛，其和函数,若及，则函数项级数在区间D上非一致收敛.例1 试讨论函数项级数的敛散性.解 当时，有，取，无论多么大，只要取，就有故上非一致收敛.二 利用上确界的极限不为零的方法证明.定理1 若函数项级数的余项，故函数项级数在D上非一致收敛.例2 讨论在上的敛散性.解则 则函数项级数在上非一致收敛.例2 讨论函数项级数关于是否一致收敛?解，但是，故函数项级数在上非一致收敛.当时故函数项级数在上一致收敛.三 利用Cauchy准则来证明函数项级数非一致收敛.定理2 函数项级数在区间D上非一致收敛的充要条件是：例3 证明级数在D=上的非一致收敛.证明 取 令有 .这是因为所以即 故对有片段故级数非一致收敛.四 利用和函数的连续性证明.定理3 各项连续的函数项级数在D上逐点收敛于和函数，至少，使得在处不连续，则函数项级数非一致收敛于.例4 证明在内非一致收敛.证明 当时，级数和为零，时，级数是等比级数，所以在处间断,因此该级数在上不一致收敛,进而在内也不一致收敛(因为,假若在内一致收敛,加之级数在处收敛,便可推知级数在上一致收敛,矛盾).例5 试证级数在内不一致收敛.证明 当时，当时，为等比级数，所以 可见 故该级数不一致收敛.五 函数项级数非一致收敛的充要条件.定理4 函数项级数在在上逐点收敛 .若则函数项级数非一致收敛.例6 讨论级数的一致收敛性. 证明 时通项,级数发散.，上一致收敛.因为，故在上非一致收敛.六 构造法证明函数项级数非一致收敛.定理5 设函数项级数在区间D上逐点收敛.若，使得发散,则在区间D上非一致收敛.例7 证明函数项级数在上非一致收敛.证明 令，则发散.故发散.例8 证明级数在上非一致收敛.证明 令，发散.故在上非一致收敛.致谢 衷心感谢张飞羽老师的指导.参 考 文 献1华东师范大学数学系主编,数学分析M. 下册第三版,北京：高等教育出版社, 20012裴立文著.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社.2006.23