数学归纳法教案.doc

姓名：阿卜杜合 学号：10071510327数学归纳法教学目标知识与技能目标：1 了解“归纳法” 的含意2理解“数学归纳法”的实质；3掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。过程与方法目标：1经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；2经历数学归纳法解题步骤的获得和用“数学归纳法”证明简单恒等式的过程，初步理解和掌握“归纳猜想证明”这一探索发现的思维方法和利用“反例”否定命题的数学方法。情感、态度与价值目标：1通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神；2认识有限与无限的辩证关系；3感悟数学的内在美，体会数学的博大精深。教学重点：1、 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。2、 运用数学归纳法证明与自然数有关的命题。教学难点：1、 数学归纳法证题有效性的理解教学方法：引导发现法。课 型：新授课。教 具：多媒体课件、小长方体木块。新课讲授过程：一知识回顾：例1某班共有30名学生，现已知第一位是男生，第二位是男生，第三位是男生，由此可得，该班的学生都是男生。很显然，结论是错误的。可见，不完全归纳法虽然推理简捷，得出结论容易，但结论不一定可靠。接下来给出完全归纳法的定义：对每个对象的情况逐一考察而得出结论的方法叫完全归纳法。完全归纳法得出的结论虽然正确，但要对每个对象的情况逐一考察，它只能对含有有限个对象的某些命题进行归纳，对于解决含有无限个对象的命题，是办不到的。不完全归纳法虽然得出结论容易，但结论不一定可靠，有没有一种方法可以对不完全归纳法得出的结论加以证明而确定结论是否正确呢？有，就是我们接下来将要学习到的数学归纳法。二数学归纳法定义：数学归纳法是一种证明与自然数有关的的数学命题的方法。利用数学归纳法证明命题分以下两个步骤：1证明当n取第一个值n0(n0=1或2等)时结论正确。2假设当n=k(kN*且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。例2求证：12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6证：当时显然成立；假设对成立，下证对也成立：因为12+22+k2=k(k+1)(2k+1)/6成立。而12+22+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2=(k+1)k(2k+1)/6 +(k+1)= (k+1)(k+2)(2k+3);显然对n=k+1 也结论成立；故对一切的自然数n 结论仍成立！例3求证：x2ny2n(nN*)能被x-y整除。证：当n=1时 x2-y2=(x-y)(x+y).显然能被x-y 整除；假设结论对n=k 成立 即：(x-y)|(x2k y2k)，下证结论对n=k+1也成立；因为x2(k+1) y2(k+1)=x2k y2kx2k + y2k;因为(x-y)|(x2k y2k) 所以(x-y)| x2k y2kx2k + y2k，即：(x-y)| x2(k+1) y2(k+1)；典例探究例：用数学归纳法证明。1+3+5+7+ +（2n-1）=n2再次使用前边的例子作为例题，消除学生的陌生感，也体现书本的活用。在规范证明完本题之后，我再次加以强调，在第2步由n=k成立向n=k+1成立过渡的过程中，必须使用归纳假设，否则就不叫用数学归纳法证题，而且两个步骤缺一不可。 为了加深对数学归纳法实质的理解，我投影两个不满足两个步骤的例子供学生辨析，进一步让学生加深对数学归纳法的透彻理解。思考题：以下证明命题的方法是数学归纳法吗？ 假设n=k时,等式1+3+5+7+(2n-1)=n2成立 即 1+3+5+7+ (2k-1)=k2 成立 那么， 1+3+5+7+ +(2k-1)+(2k+1) =(k+1)1+（2k+1）2 =（k+1)2 当n=k+1时等式也成立所以等式对一切正整数都成立。(2)用数学归纳法证明等差数列前n项和公式，证法如下：（1）当n=1时，s1=a1,显然成立。（2）假设n=k时，公式成立，即s k=ka1+k(k-1)d/2当n=k+1时,s k+1=a1+a2+a k+a k+1=a1+(a1+d)+(a1+2d)+ +a1+(k-1)d+(a1+kd)=(k+1)a1+(k+1)(k+1)-1d/2当n=k+1时公式成立。由（1） （2）知，对nn+公式都成立故结论对一切自然数n 都成立！结合以上三个例子，引导学生思考：为什么数学归纳法只需要完成两个步骤就可以断定命题正确？注意以下四点：1数学归纳法只适用于与自然数有关的命题。2n0不一定取1，（根据题中情况）有时可取2、3等。3在证明时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设。4数学归纳法的两个步骤缺一不可。总结：用数学归纳法证明命题的关键在于正确理解数学归纳法的两个步骤。其中，第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两个步骤缺一不可。应用数学归纳法不但可以证明恒等式、整除，还可以证明