414分类计数原理与分步计数原理教师版.doc

分类计数原理与分步计数原理1.对于分类计数原理，注意以下几点：从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法2.对于分步计数原理，注意以下几点：分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成 n 个步骤后这件事才算完成3.两个原理的相同之处：目的相同：都要“做一件事并完成它”所问相同：即问“共有几种不同方法”两个原理的不同之处：分类计数用于分类，各类间独立、互斥各类中任何一种方法都能够独立完成这件事分步计数原理用于分步，步步相扣，缺一不可，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事4.练习1现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？从三个年级的学生中各选1人参加外宾的活动，有多少种不同的选法？(1) 354=12 (分类计数原理) 354=60 (分步计数原理)2.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有（ ）A.12种 B.19种 C.32种 D.60种3.若x1，2，3，7，9，则xy的不同值有（ ）A.2个 B.6个 C.9个 D.3个4.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（ ）A.34B.43 C.AD.445. 5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是A.54B.45 C.5432D.546.集合M=的子集共有（ ）A.8B.7C.6D.57.设集合A=，B=，则从A集到B集所有不同映射的个数是（ ）A.81B.64C.12D.以上都不正确8.将5封信投入3个邮箱，不同的投法共有（ ）种.A.53 B.35 C.3 D.9.用1，2，3，4，四个数字组成没有重复数字的四位数，所有四位数的数字之和是（ ）A. 10 B.24 C.240 D.6010.将3名大学生分配到4个不同的工厂去实习，每厂接受的名额不限，总的分配方案数是（ ）A.3+4 B.34 C.34 D.4311.（2001年高考）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有_种.A.5B.4C.3D.6分析：此题运用分类计数原理.胜负平积分114033102330+390627+6由上述分类可得，该队胜、负、平的情况共有3种，故选C.12.（1999年高考题）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有_种.A.5B.6C.7D.8解：将购买x件软件与y件磁盘所需资金列写成下表（表中的金额以不大于500元为限，且x3,y2） x y 3456232038044050033904504460由上表可知不同的选购方式为7种.13.（2002年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有A.8种B.12种C.16种D.20种解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为CC=12种.14.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为A.504B.210C.336D.12015三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过5次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有（ ）A6种 B8种 C10种 D16种解析：如下图：同理,甲传给丙也可以推出5种情况.综上有10种传法.故选C答案：C16如图,电路中有4个电阻和1个电流表A,若没有电流流过 电流表A,其原因仅因电阻断路的可能性共有（ ）A9种 B10种 C11种 D12种17.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_种行车路线.A.24 B.16 C.12 D.10解析：起点为C种可能性，终点为C种可能性，因此，行车路线共有CC=12种.答案：C18.（2001年高考）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间为可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是A.20B.24C.26D.1919.某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有_种不同的选派方法；从中选一名男生一名女生去领奖，则共有_种不同的选派方法. 10，2420. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 种报名方法.8121. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有 种可能的结果.6422. 乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有 项.6023集合，从中各取一个元素作为点的坐标，（1）可以得到 个不同的点.（2）这些点中，位于第一象限的有 个.24，824、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有_种.（结果用数字作答）分析：本题是一道排列组合的应用题，主要考查基本原理的灵活运用以及基本的计数 技能.解法一：用表示种上作物的地垄，表示没有种上作物的地垄，则合乎题意的不同用地方式可画图如下：共有6种，对于每种用地方式，地垄上所种的两种作物可以互换位置，即有两种不同的种植方式.应用分步计数原理，共有62=12种不同选垄方法.解法二：转化插空法.把空的6垄地看作一个整体，A、B两种作物可在其余4垄地上种植，共有如下6种情形：A种1垄，B种2，3，4垄；A种2垄，B种3，4垄；A种3垄，B种4垄.同理B与A位置可交换，再将6垄空地插入，一种插法.故不同取垄方法为62=12种.25.自然数2520有多少个正约数?分析：先考虑2520的分解.2520=2332,分四步完成：第一步：取20,21,22,23有4种；第二步：取30,31,32有3种；第三步：取50,51有2种；第四步：取70,71有2种.由分步计数原理，共有4=48个正约数26、（2005年春季北京，13）从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个.（用数字作答）解析：一个二次函数对应着a、b、c（a0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数332=18个.若二次函数为偶函数，则b=0.同上共有32=6个.答案：18 627.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有_种.解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有55=25种.答案：2528、 从集合1，2，3，10中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为22222=25=32.上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?答案：C24=80个.29.从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不同的对数值？分析：注意到1不能为底数，底数为1的对数为0，以2，3，4，7，9中任取两个不同数为真数、底数，可有54个值，但log23=log49,log24=log39,log32=log94,log42=log93,所以不同对数值共有54-4+1=17(个）.答案：17个.30.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?解：设较小的两边长为x、y且xy，则 xy11，x+y11，x、yN*.当x=1时，y=11；当x=2时，y=10，11；当x=3时，y=9，10，11；当x=4时，y=8，9，10，11；当x=5时，y=7，8，9，10，11；当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；当x=7时，y=7，8，9，10，11；当x=11时，y=11.所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.31在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多 少个？与正八边形有两个公共边的有8个，有一个公共边的有 个，所以共有40个32将3种作物种植在如下图的5块试验田里,每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,则不同的种植方法共有多少种? 42种方法33. （2003年新课程卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种.（以数字作答）解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.（1）与同色，则也同色或也同色，所以共