立体几何典型例题.doc

【知识要点】1空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：有公共点：相交，记作：abA，其中特殊位置关系：两直线垂直相交无公共点：平行或异面平行，记作：ab异面中特殊位置关系：异面垂直(2)空间直线与平面：有公共点：直线在平面内或直线与平面相交直线在平面内，记作：aa 直线与平面相交，记作：aa A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交无公共点：直线与平面平行，记作：aa (3)空间两个平面：有公共点：相交，记作：a b l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交无公共点：平行，记作：a b 2空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【例题分析】例2 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN平面PAD 【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，MACD，E是PD的中点，NECD，MANE，且MANE，AENM是平行四边形，MNAE又AE平面PAD，MN 平面PAD，MN平面PAD方法二取CD中点F，连接MF，NFMFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac，bc，a，aa，bbg a，g babababab(2)证明线面平行：aabb，aaaaa(3)证明面面平行：a，ba，ag ，g a，b，abA例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求证：A1CBC1 【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可证明：连接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB又AA1AC，侧面A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面ABC1，A1CBC1【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化例4 在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC平面PBC【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化证明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC又APPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac，bc，ababab(1)证明线面垂直：am，anab，b，a，lm，n，mnAa，alaaaa(1)证明面面垂直：a，a例5 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60，E，F分别是AB1，BC的中点 ()求证：直线EF平面A1ACC1；()在线段AB上确定一点G，使平面EFG平面ABC，并给出证明证明：()连接A1C，A1E侧面A1ABB1是菱形， E是AB1的中点，E也是A1B的中点，又F是BC的中点，EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直线EF平面A1ACC1(2)解：当时，平面EFG平面ABC，证明如下：连接EG，FG侧面A1ABB1是菱形，且A1AB60，A1AB是等边三角形E是A1B的中点，EGAB平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC又EG平面EFG，平面EFG平面ABC练习71一、选择题：1已知m，n是两条不同直线，a ，b ，g 是三个不同平面，下列命题中正确的是( )(A)若ma ，na ，则mn(B)若ma ，na ，则mn(C)若a g ，b g ，则a b (D)若ma ，mb ，则a b 2已知直线m，n和平面a ，b ，且mn，ma ，a b ，则( )(A)nb (B)nb ，或nb (C)na (D)na ，或na 3设a，b是两条直线，a 、b 是两个平面，则ab的一个充分条件是( )(A)aa ，bb ，a b (B)aa ，bb ，a b (C)aa ，bb ，a b (D)aa ，bb ，a b 4设直线m与平面a 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )(A)在平面a 内有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面a 垂直(C)与直线m垂直的直线不可能与平面a 平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面a 垂直二、填空题：5在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，ABBC，BAC30，则PC_6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(只要求写出一种条件即可)7设a ，b 是两个不同的平面，m，n是平面a ，b 之外的两条不同直线，给出四个论断：mn a b nb ma 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题_8已知平面a 平面b ，a b l，点Aa ，Al，直线ABl，直线ACl，直线ma ，mb ，给出下列四种位置：ABm；ACm；ABb ；ACb ，上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是_三、解答题：9如图，三棱锥PABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点()求MN的长；()求证：PABC10如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分别是AB、BD的中点求证：()直线EF平面ACD；()平面EFC平面BCD11如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，G，H分别为FA，FD的中点()证明：四边形BCHG是平行四边形；()C，D，F，E四点是否共面?为什么?()设ABBE，证明：平面ADE平面CDE例2 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点()求证：平面BEC1平面ACC1A1；()求证：AB1平面BEC1【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考证明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1ABC是正三角形，E是AC的中点，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()证明：连接B1C，设BC1B1CDBCC1B1是矩形，D是B1C的中点， DEAB1又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1平面BEC1例3 在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8， ()设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；()求四棱锥PABCD的体积【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD证明：()在ABD中，由于AD4，BD8，所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：过P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO为四棱锥PABCD的高，又PAD是边长为4的等边三角形因此在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为，即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为故专题七 立体几何参考答案练习7-1一、选择题：1B 2D 3C 4B二、填空题：5 6ACBD(或能得出此结论的其他条件)7、；或、 8三、解答题：9()解：连接MB，MC三棱锥PABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，且底面ABC也是边长为1的等边三角形N为BC的中点，MNBC在RtMNB中，()证明：M是PA的中点，PAMB，同理PAMCMBMCM，PA平面MBC，又BC平面MBC，PABC10证明：()E、F分别是AB、BD的中点，EF是ABD的中位线，EFAD又EF平面ACD，AD平面ACD，直线EF平面ACD()EFAD，ADBD，EFBDCBCD，F是BD的中点，CFBDCFEFF，BD平面CEFBD平面BCD，平面EFC平面BCD11()由题意知，FGGA，FHHD，GHAD，又BCAD，GHBC，GHBC，四边形BCHG是平行四边形()C，D，F，E四点共面理由如下：由BEAF，G是