IIR滤波器的设计.ppt

2020 2 22 1 Ch3 4IIR滤波器的设计 Biomedicalsignalprocessing 2 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Digitalfilter的设计思路 按照任务要求 确定滤波器的性能指标 用一个因果稳定的离散LTI系统的系统函数H z 来逼近这一性能指标 H z 的实现 计算机软件 利用有限精度算法来实现这个系统函数 专用数字滤波器硬件 二者的结合 Biomedicalsignalprocessing NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 数字滤波器结构的数学表示 1 一个滤波器的表示 系统函数差分方程ItisanARMAfilter ak 递归项 auto regression AR bk 平均项 movingaveraging MA N 滤波器的阶数 Biomedicalsignalprocessing 4 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 用LTI系统来逼近filter性能 当M N H z N阶IIR系统 M N 阶的FIR系统 以上两种表示等价 部分分式形式和零极点增益形式IIR系统的逼近 就是找到滤波器的系数ak bk 或者是系统的零极点和增益 z p k Biomedicalsignalprocessing 5 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Linearphase 信号通过线性系统不失真的条件 幅频特性为一常数 具有线性相位 why Supposearg H k 输入和输出关系如何 Biomedicalsignalprocessing 6 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 IIRfilter的设计方法 从模拟滤波器H s 求出数字滤波器H z 把DF的技术指标转化成AF的技术指标根据AF指标设计模拟滤波器H s 按一定规则把H s 转换成H z 计算机辅助设计 最优化设计法 依据某一最优化准则 求得在此最佳准则下滤波器系统函数的系数 例如 频域均方差最小准则 即使得实际频率响应 H ejw 与所要求的理想 Hd ejw 的均方差最小 Biomedicalsignalprocessing 7 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 H s H z stwopreservations Stability Iftheanalogfilteriscausalandstable thetransformeddigitalfiltershouldbethesametoo ThismeansthatH s haspolesinthelefthalfofsplane theH z shouldhavepolesinsidetheunitcircleinzplane Frequencyresponse Bothfiltersshouldhavethesamefrequencyresponse Thatis thej axisinthesplaneshouldbemappedintounitcircleinthezplane Biomedicalsignalprocessing 8 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 模拟滤波器的特性 h t 为实的 H s 的极点必成共轭存在 H s H s H s H s 平方幅度函数 H s 2的极点 零点关于虚轴 j 对称 对因果 稳定系统 H s 的极点落在s的左半平面 H s 的则落在右半平面 Biomedicalsignalprocessing 9 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 由幅度平方函数求系统函数 Biomedicalsignalprocessing 10 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 模拟低通滤波器的技术指标 通带 0 p 通带中允许的波动为 1过渡带 p s 振幅响应不作明确规定阻带 s 阻带的衰减为 2 1 1 1 通带 过渡带 阻带 2 p s H Biomedicalsignalprocessing 11 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 滤波器的指标 1 幅度响应 相位响应 IIR滤波器 不能实现线性相位 只考虑幅度指标 低通滤波器的绝对指标 p s 和相对指标 1 2 Biomedicalsignalprocessing 12 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 滤波器的指标 2 Biomedicalsignalprocessing 13 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 模拟滤波器的类型 以LPAF为例 巴特沃思 Butterworth 滤波器切比雪夫 Chebyshev 滤波器椭圆滤波器 Biomedicalsignalprocessing 14 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth低通滤波器 1 单调 平稳的幅度响应 过渡区衰减缓慢 随着N的增加 其衰减加快 对所有的N H 都通过 3dB点 Biomedicalsignalprocessing 15 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth低通滤波器 2 Butterworth低通滤波器的幅频特性 Biomedicalsignalprocessing 16 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth低通滤波器的性质 对于所有的N 当 0 H j 2 1 对于所有的N 当 c H j 2 1 2 即在 c处有3dB的衰减 H j 2是 的单调减函数 N inf H j 2趋于理想低通滤波器 Biomedicalsignalprocessing 17 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth逼近 1 零点 s 全极点型 2N个极点 虚轴对称 分布于 c的圆上 极点的角度间隔 pi N Biomedicalsignalprocessing 18 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 不同N的极点分布 N 3 k 1 2 3pi k 2 pi k 3 5 3pi k 4 2pi N 4 k 1 5 8pi k 2 7 8pi k 3 9 8pi Biomedicalsignalprocessing 19 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth逼近 2 1 1 2N N 3 4 2 3 1 5 6 1 1 2N j 4 2 3 1 5 6 S平面 Biomedicalsignalprocessing 20 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 求Butterworth系统函数 Biomedicalsignalprocessing 21 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth设计方程 由滤波器的四个指标 p 1 s 2 得到Butterworth滤波器的阶数N和截止频率 c Biomedicalsignalprocessing 22 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth设计例 1 设计一个低通Butterworth滤波器 以满足 通带截止频率 p 0 2 通带波动 1 7dB 阻带截止频率 s 0 3 通带波动 2 16dB Biomedicalsignalprocessing 23 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 s和z的关系 r与 的关系 r e T 0 s平面虚轴 对应于r 1 z平面单位圆上 0 s的右半平面 对应于r 1 z平面单位圆外 与 的关系 T 0 s平面的实轴 对应于 0 z平面的正实轴 0对应于 0T z平面的辐射线 Tto T to 从s平面到z平面的映射是多值映射 Biomedicalsignalprocessing 24 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 X z 和X s 的关系 Biomedicalsignalprocessing 25 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 由模拟滤波器来设计IIR滤波器 把s平面映射到z平面 H s H z 实现这种映射的两个基本条件 频率轴对应 s平面的虚轴j 映射到z平面的单位圆上 因果稳定的H s 应能映射成因果稳定的H z s平面的左半平面 Re s 0 必须映射到z平面单位圆内 z 1 Biomedicalsignalprocessing 26 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 模拟filter 数字filter的方法 直接用H s 和H z 的转换关系 因为无穷级数求和 不能实现 采用以下三种方法 冲激响应不变法 在AF到DF的变换中 使h t h n 不变阶跃响应不变法 在AF到DF的变换中 使其阶跃响应不变双线性变换法 在AF到DF的变换中 使其系统函数 频响 不变 Biomedicalsignalprocessing 27 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 冲激响应不变法 Impulseinvariance 设计思想 使数字滤波器的单位冲激响应序列h n 模仿模拟滤波器的冲激响应ha t 将模拟滤波器的ha t 加以等间隔抽样 使h n ha nT 相应h n 的z变换H z 近似等于ha nT 的Laplace变换Ha s Biomedicalsignalprocessing 28 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 冲激响应不变法 2 Ha s h t h n H z Biomedicalsignalprocessing 29 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 冲激响应不变法 3 x t y t R 1 sC x n y n z 1 e T Biomedicalsignalprocessing 30 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Matlab命令 由低通滤波器的四个参数 求出Butter滤波器的两个参数 n Wn Buttord wp ws Rp Rs 求出H s 的B和A b a butter n Wn 通过冲激相应不变法 实现H s 到H z 的转换 impinvar BZ AZ IMPINVAR B A Fs 归一化Butter滤波器的设计 z p k buttap N H z 的零极点形式转换成部分分式的形 NUM DEN ZP2TF Z P K Biomedicalsignalprocessing 31 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 设计步骤 把数字滤波器的性能转化为相应的模拟滤波器的性能要求设计模拟滤波器 查表 或用解析的方法通过冲激响应不变法或双线性法 把H s 转化为H z Biomedicalsignalprocessing 32 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 冲激响应不变法设计过程 给定数字滤波器的性能指标 p s 1 2 的设计一个等价的模拟滤波器 然后把它映射成数字滤波器 Biomedicalsignalprocessing 33 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 冲激响应不变法的缺点 缺点 多值映射 产生频率混叠失真 条件 限带系统 why 因为高通和带阻滤波器不是限带的 不能用此法实现H s H z 的转换 在实际中较少采用 多用Bilinear变换 Biomedicalsignalprocessing 34 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 双线性变换法 Bilineartransformation 从H s 变换为H z 的另一种变换方法 克服多值映射 实现s平面到z平面的一一对应关系 双线性变换具有此功能 AF和DF在输入 输出上相似 使H s 和H z 的频响近似 其思路 差分方程的解应是模拟方程的近似解 其实现 直接用差分代替微分 结果的误差大 将微分方程做积分 再进行数值近似 得到差分方程 从微分方程 H s 差分方程 H z 二者比较后 得到s和z的对应关系 进一步要求s平面整个j 轴映射到z平面单位圆一周 得到两个频率的关系 即双线性 Biomedicalsignalprocessing 35 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 双线性变换法原理 为了克服冲激响应不变法多值映射产生的频率混叠的现象 双线性变换法的映射原理是 1 首先通过下面的变换公式把整个S平面压缩到中介S1平面的一条横带里 宽度从 T到 T 其中C为常数可根据设计要求选取 2 然后再通过将此横带变换到整个Z平面 这样就使S平面和Z平面是一一对应的单值映射关系 消除了频谱混叠现象 由于从S Z和从Z S的映射规则都是分式线性变换 因此称其为双线性变换 Biomedicalsignalprocessing 36 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 双线性变换法 2 0 采用二次映射 先将s平面压缩到s1平面的一条横带中 再进一步映射到z平面上 建立s z的一一对应关系 Biomedicalsignalprocessing 37 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 双线性变换法 2 j s平面 z平面 Im z Re z T T 3 T 3 T 1 1 s平面j 和z平面的单位圆上的点一一对应 和 一一对应 Biomedicalsignalprocessing 38 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 双线性变换设计过程 给定数字滤波器的性能指标 p s 1 2 的设计一个等价的模拟滤波器 然后把它映射成数字滤波器 实际中系数2 T均被约掉 故可省去 或者设T 1 Biomedicalsignalprocessing 39 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Butterworth设计例 2 设计一个低通Butterworth滤波器 以满足 通带 0 100Hz 通带波动 1 3dB 阻带 300 Hz 通带衰减 2 20dB Ts 1000Hz Biomedicalsignalprocessing 40 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 BilinearinMatLab H s H z 零极点增益形式 Zd Pd Kd BILINEAR Z P K Fs 部分分式 NUMd DENd BILINEAR NUM DEN Fs NUMandDEN分别表示滤波器传递函数的分子与分母多项式系数向量 d digital Biomedicalsignalprocessing 41 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 频带变换 低通滤波器作为基本逼近函数 可以通过频带变换来实现带通 带阻 高通滤波器的设计变换的方式 stos 模拟频带变换ztoz 数字频带变换 滤波器变换s z Biomedicalsignalprocessing 42 NankaiUniversity CYLI 2020 2 22 Chebyshev低通滤波器 ChebyshevI型 通带中等波纹 阻带中单调 C