矩阵的乘法.doc

矩阵的乘法摘要(Abstract)：矩阵有各种各样的乘法，本文讨论矩阵的各种乘法，例如一般矩阵乘积，Hadamard 乘积, Kronecker 乘积等等。并给出这些乘积的运算性质，给出具体例子、应用及其推广。 关键词（Key Words）：一般矩阵乘积 Hadamard 乘积 Kronecker 乘积一 矩阵矩阵，是线性代数中的基本概念之一。一个mn的矩阵就是mn个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。二 一般矩阵乘积1 定义设矩阵，矩阵，则由元构成的矩阵成为矩阵与的乘积，记为.由矩阵乘法的定义可看出，矩阵与的乘积的第行第列的元素等于第一个矩阵的第行与第二个矩阵的第列的对应元素乘积的和。同时，由定义可知：（1） 的列数必须等于的行数，与才能相乘；（2） 乘积的行数等于的行数，的列数等于的列数；（3） 乘积中第行第列元等于第一个矩阵的第行元与第二个矩阵的第 列元的对应元素乘积之和，即2 性质一般的矩阵乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：（1）结合律： ；（2）分配律： ； ；（3）数与矩阵乘法的结合律： ；（4）单位元的存在性： 。若A为n 阶方阵，则对任意正整数k ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合律，我们有： ， 。 注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是： （1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义， 也未必有意义；倘使 都有意义，二者也未必相等。正是由于这个原因，一般 来讲， ， 。 （2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即 未必能推出 或者。 （3）消去律部成立：如果 并且 ，未必有 。3 算法4 应用一般矩阵乘积本身就是线性方程组的简洁表达，所以一般矩阵乘积在进行线性方程组的运算中有着很多的应用。例如：三 Hadamard 乘积1 定义设，定义，使得即2 性质（1）（2）（3）3 算法 4 应用在实际应用方面, Hadamard 矩阵已经有应用在影像处理和编码方面的例子。但是, Hadamard 矩阵在图像处理方面的效果不是最好的。n =8t + 4阶的Hadamard 矩阵可以用来构造自对偶2n, n, d纠错码, 这裡最小距离d 8。这是一个很好的性质。一个很有名的编码问题是: 是否存在自对偶72,36,16纠错码。大家自然想到用36阶Hadamard 矩阵来构造自对偶72,36,16纠错码, 但是现有已知的100多类36阶Hadamard 矩阵的等价类都只构造出自对偶72,36,8, 72,36,12纠错码, 自对偶72,36,16纠错码的存在性问题仍未获解决6。目前在这方面可以做的有两件事。第一是至少要有一种新的构造方法產生大量的新的36阶Hadamard 矩阵等价类, 然后看能否找到自对偶72,36,16纠错码, 第二是证明对36阶Hadamard 矩阵, 不存在自对偶72,36,16纠错码。然而从现有的研究结果看来, 似乎任何一件事都不容易在短期内解决。Hadamard 矩陣在科技日益發達的今天已經受到高度的重視。我們經常可以看到來自美國國防部和國家安全局的研究人員、來自澳大利亞國防部和密碼科研機構的研究人員活躍在國際組合數學和離散數學會議的講臺上報告Hadamard 矩陣在組合設計、編碼和密碼方面的應用和研究。從Sylvester起126年來, Hadamard 矩陣的研究已有不少成果。但是許多老問題還沒有解決, 又有大量的新問題提出來, 等待我們去研究。我們可以發現Hadamard 矩陣的研究是一個值得繼續開發的領域。四 Kronecker 乘积1 定义设，定义为A的 Kronecker 乘积，或称的直积，或张量积，简记为即是一个块的分块矩阵，最后是一个阶的矩阵。2 性质（1）（2）分配律： （3）结合律：（4）Kronecker 乘积不满足交换律，但它们的阶数是相同的。对单位矩阵，有 3 算法4 应用线性矩方程利用矩阵Kronecker 乘积的性质，能够方便地研究一般线性矩方程 的相容性及其解法等问题，这里为已知矩阵，是未知矩阵。对于矩阵方程，可以转化为通常的线性方程组来讨论。五 结语本文通过讨论矩阵的各种乘法，包括一般矩阵乘积、Hadamard 乘积和 Kronecker 乘积，从而给出这些乘积的运算性质，举出具体例子，讨论这些乘积的应用。由于个人水平有限，难免有些失误，望读者在阅读过程中能够指出我的错误，大家共同进步。参考文献：1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 第三版.高等教育出版