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7静态优化 基本假设 使用经济模型的一个用途是可以在某些情形中对个人行为和团体行为作出预测 显然 只有当他们的行为符合某种规律时才可能做出预测 在经济理论中 代表性的假设是消费者是理性的 我们通常作为公理给出 1 消费者对他们的行为所产生的结果有特定的且一致的偏好 2 给定这些偏好后 消费者所采取的行为是为了在所有可能的情形中得到最好的结果 理性的假设自然将消费者行为的模型看成是约束优化的问题 这种方法在单个消费者行为的任意模型上得出一个统一的结构 并提供了一种将经济学中感兴趣的结构简化为易于讨论的数学问题方法 在这一章中 我们详细讨论对这样的问题进行分析的 方法 即非线性规划理论或者约束优化理论 7 1非线性规划 数学规划 或者 非线性规划 NLP 是指求解约束优化问题的一些方法 一般地 最基本的规划问题可以表示为 max f x x C P x也就是说 给定某个参数 我们求解x使得f 在集合C 中取到极大值 在这个表达式中 x x1 xn X Rn称为决策变量 DecisionVariables 或者选择变量 ChoiceVariables 一些解释令 表示所有可能的 环境 的集合 消费者在这些环境中都可以发现自己 参数 的一个取值表示一个环境 令X表示消费者可以采取的行为的集合 给定 的取值 消费者会发现他的选择被限制到X的某个子集C中 例如 消费者理论中的预算集 随着参数的改变 可行集也会改变 这可以表示为约束对应 ConstraintCorrespondence C X 函数f X R是消费者的目标函数f x 表示当消费者面对环境 且采取行动x时消费者的支付 理性的消费者会选择一个最优的计划 所谓最优计划是指对于给定的参数值在约束集中使得目标函数取到极大值的点 最优行动的集合称为决策规则 DecisionRule 或者最佳反应对应S 即S 是由 P 的最优解x 组成的集合 若对 的每个取值 P 的解是惟一的 则这个对应变成一个函数 记为x x 最优化的消费者的支付通过一个 极大 值函数V给出 V R定义为 给定参数向量的取值 V 给出了可得到的最高支付 显然 V 等于对于给定的 目标函数f 在最优解x 处的函数值 在许多经济应用中 我们感兴趣的是比较静态和决策规则 的性质 也就是说 我们希望知道 当环境 他面对的价格 他的收等 变化时消费者的行为将如何改变 从数学的角度上看 就是随着参数 的变化问题 P 的解将如何改变 这个问题类似于前一章中的问题 但 模型 的形式不同了 这一节的主要任务是 在给定一些可微的假设下 怎样将 P 简化为一个等价方程组系统 这样就可以运用第5章中讨论的方法 这就是 如何刻画 P 的解 的意思 根据可行集的不同 我们考虑三种不同的规划问题 凸约束集 ConvexConstraintSet C是Rn中的凸集 特别的情形 没有约束的极大化 这里我们将C看成是整个Rn 以及另一种情形 极大值需满足非负的约束 即可行集就是Rn中的非负集合 拉格朗日问题 LagrangeProblem 约束集是由等式约束组成的集合 库恩 塔克问题 Kuhn TuckerProblem 约束集是由一些不等式约束组成的集合 回忆一下 凹性和严格拟凹性 或者拟凹且不稳定性 可以得出伪凹性 因此 确定一个满足必要条件的点是最优点 这些条件都是充分的 另一方面 只有拟凹性是不够的 如同在第6章中看到的 拟凹性可能传递出 错误的信号 图7 2解释了这个问题 f是拟凹的 点x0满足一阶条件 但f并没有取到C中的极大值 严格局部极大值 定理7 1 11整体唯一性令x 是问题 P C 的最优解 C是凸集 若f是严格拟凹函数 则x 是唯一的最优解 问题7 1 12 b 等式约束 拉格朗日问题 1 问题的一般提法 2 以两个变量为例 3 一点解释 一点解释 必须看到 中包含了关于约束效应的有用信息 在一些经济解释中 c表示某种资源的可以使用的库存 目标函数可以看成是将资源作为投入所得到的利润 若我们多一个单位的投入 则拉格朗日乘子说明了最大利润也将增加 因此 作为理性决策者将愿意付出更多的单位 显然 拉格朗日乘子是对资源边际价值的一个很好的度量 这说明了为什么乘子经常解释为 影子价格 用图形来表述 问题 P L 的可行集是 x1 x2 平面中的一条曲线 问题的最优解是这条曲线上属于f的最高水平集中的点x 给定一些凸性假设 则x 是两条曲线的切点 如图7 3所示 两条曲线存在共同的切线 这说明了f和g的梯度 都垂直于切线 属于同一条直线 这样 我们可以将其中一个表示为另一个的数量积 也就是说 存在某个数一 使得 这是 L 1 式和 L 2 式的另一种形式 显然 x 还必须满足g x1 x2 c 因此 通过图解法也同样可以看到f的约束极大化所必须满足的条件 4 一般的拉格朗日问题 其必要条件也可以通过同样的方法得出 引入一个拉格朗日乘子向量 1 c T 每个约束对应一个分量 则拉格朗日函数为 拉格朗日定理 整体极大的充分条件 严格局部极大值的充分条件 c 不等式约束 库恩 塔克问题 1 问题描述 2 互补松弛性条件 条件 C S 称为互补松弛性条件 ComplementarySlacknessConditions 它有着非常直观的经济解释 前面已经说明 根据受到可获取资源的约束 乘子可以解释为度量隐性支出的影子价格 显然 若约束不受束缚 我们拥有比需要多得多的资源 则资源的进一步增加将不会增加利润 另一方面 若乘子是正的 则资源的增加将使利润增加 显然 这种情形只在我们没有足够的资源时才会出现 即当约束是受束缚时才会出现 总之 若我们已经拥有太多的某种物品 则这种物品再多也将没有任何用途 而若我们没有足够的物品 我们自然会为了得到更多的物品而愿意付出正的价格 3 一些记号 一些后面将要采用的记号 将约束函数gj x j 1 c 重新排列 将受束缚的约束排在前面 也就是说 若x 是可行点 我们将约束重新排列使得 4 库恩一塔克定理 5 整体极大点的充分条件 6 唯一性 d 代积分号的极值问题 积分目标函数和积分约束函数 这个问题和我们已经讨论过的问题不同 原来讨论的是决策变量是有限的 而现在的决策变量是无限的 换句话说 选择的目标不是Rn中的向量 而是它们的连续统 即函数x s a b Rn 对每个状态变量的值s 对应一个选择变量x 利用前面的结论 我们可以得出问题 P I 的最优解的必要条件和充分条件 这些条件类似于标准的库恩一塔克问题 一阶条件 此时的拉格朗日函数为 一阶条件为 问题7 2 10和问题7 2 11 注