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20082009学年第一学期概率论与数理统计A试卷答案 得分一、填空题(每小题3分,满分18分,把答案填在题中横线上)1设是三个随机事件,已知则全不发生的概率是 0.3 . 解 ,,故.所求概率为 2设随机变量,且则 1.44 .解 由于,则得,故.3任取两个不大于1的正数,则它们的积不大于,且它们的和不大于1的概率是. 解 设两个数分别为x,y, A表示事件x与y的积不大于,且x与y的和不大于1,则,;.所求概率为4设二维随机变量的概率密度为则 0.5 .解 5设是来自总体的样本,则样本均值的概率密度为解 由于,则,故样本均值的概率密度为6设总体,是来自总体X的样本,为样本均值,为样本方差,未知.检验假设,应取检验统计量.得分二、选择题(每小题3分,满分18分,把答案填在括号内)1在10件产品中有2件次品,依次取出2件产品,每次取一件,取后不放回,则第二次取到次品的概率为( C )(A) (B). (C) (D)解 第一次取正品第二次取次品的概率为,第一次取次品第二次取次品的概率为,第二次取到次品的概率为.2设随机变量,则随着的增大,概率( D )(A)单调增大 (B)单调减小(C)增减不定(D)保持不变解 由于,所以.而 与无关.3设事件两两独立,则相互独立的充分必要条件是( D )(A)独立 (B)独立(C)独立 (D)独立解 相互独立,哪项与第四个等式等价?可排除(B)和(C). 如果独立, 有,故排除(A).如果独立,则有.反之亦然.4设随机变量X在区间-1,3上服从均匀分布,若由切比雪夫不等式有则=( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解 由于,所以即由切比雪夫不等式有 即有,得5设总体,是来自总体X的样本,则( B )(A)0.975. (B)0.95 (C)0.05 (D)0.025解 因为,所以,6对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受那么在显著性水平0.01下,下列结论正确的是( A )(A)必接受(B)可能接受,也可能拒绝(C)必拒绝(D)不接受,也不拒绝解 在显著性水平为0.05下接受即检验统计量观测值落在接受域内.当显著性水平为0.01时,无论是已知还是未知, 无论是双侧假设检验还是单侧假设检验,接受域都比时的接受域扩大了,故必接受得分三、计算题(共5小题,满分54分)1.(10分)设随机变量X在区间2,5上服从均匀分布,对X做3次独立观察,求至少有两次观察值大于3的概率.解 由已知X的概率密度为 (2分)设表示第i次观察值大于3的事件,则有 (5分)设A表示至少有两次观察值大于3的事件,则有 2.(10分)已知随机变量X的概率密度为且求(1)常数的值;(2)解 (1)由 , (2分)再由 (4分 )解得 . (6分 )(2) (10分)3(10分)设总体,从总体X中抽取样本,样本均值为,试确定的值,使得最大.解 由于于是有令 得驻点, 因为 当时,而当时,所以 是的最大值点,即应取. (10分)4(12分)设总体X的概率密度为其中是未知参数,为来自总体X的样本,试求参数的矩估计量和最大似然估计量.解 (1) 因为 , (3分)令 , 即 ,解得的矩估计量为 . (6分)(2) 设是样本的观测值,似然函数为 (9分)取对数得 ,令 , 解得的最大似然估计值为 ,从而得的最大似然估计量为 . (12分)5(12分)设二维随机变量的概率密度为 利用卷积公式求的概率密度解 由可得随机变量X,Y边缘的概率密度为 (4分)从而有,因此X与Y相互独立, (6分)由卷积公式 (12分)得分四、证明题(共2小题,满分10分)1(5分)设且,试证A与B相互独立证 由全概率公

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