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DVD在线租赁问题摘要本文研究了DVD在线租赁问题，根据题设建立了一系列的整数规划模型，利用了lingo软件成功实现了求解过程。对于题设问题一，根据一个月和三个月不同的要求，分别建立了以购买DVD总量最小为目标的整数规划模型（一）和模型（二），利用lingo软件对模型（一）进行求解，其结果为DVD总的购买量为：13475 张，各种 DVD的购买量详见正文表一；同样利用利用lingo软件对模型（二）进行求解，其结果为DVD总的购买量为：8540 张，各种 DVD的购买量详见正文表二。对于题设问题二，我们首先定义了会员的满意度，建立了以所有会员的总体满意度最大为目标的0-1整数规划模型（三），先用Matlab软件对数据作了处理，然后用lingo软件对模型编程求解得到了如下结果：会员的最大满意度为：57.82%，具体分配方案详见正文表三。对于题设问题三，我们建立了一个以会员满意度最大为首要目标，以DVD的总的购买量最小为次要目标的双目标整数规划模型（四），用求解多目标规划的分层序列法，把这个双目标整数规划模型转化为两次单目标整数规划模型求解，利用lingo软件编程求解得到了如下结果：会员最大满意度为：76.36%, DVD总的购买量为4710 张，各种DVD的购买量详见正文表四。对问题四，主要考虑网站的经济利益，先定义了会员的总体受益度，建立了以网站经济利益最大为首要目标，以会员总体受益度为次要目标的双目标的整数规划模型（五），同样转化为两次单目标整数规划求解，根据我们设定的参数求解出网站的最大收益为：58820 元，会员最大受益度为75.718%。 本文的模型的求解方法，均可由Matlab和lingo软件成功实现，因此本文模型即求解方法具有可操作性。关键词：DVD在线租赁 分配方案 满意度 整数规划模型 总体受益度 一、 问题重述当今是信息高速发展的时代，网络已逐渐融入人们的工作与生活。DVD在线租赁服务，具有成本相对低廉，租赁方便等诸多优点，在人们生活中现已广泛使用这种方式，因而对DVD在线租赁问题的研究具有很强的现实意义。 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。我们要做的是：1.网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，求出至少准备的DVD数量，保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。2.表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单, 对这些DVD进行分配，使会员获得最大的满意度。3. 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。作为网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4.作为网站经营管理人员，在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？提出的问题，并建立相应的数学模型。 （其中的表1,表2见题中所给附表） 二、符号约定 第个会员得到第种DVD的满意度 所有会员对所有租到的DVD的总体满意度 为0-1变量，其取值为1时表示第个会员得到第种DVD，当第个会员未得到第种DVD取值其0 问题2中第种DVD的现有量 为0-1变量，其取值为1时表示第个会员租两次获得6张DVD；其取值为0表示第个会员租一次得3张DVD 为0-1变量，其取值为1时表示第个会员至少获得1张DVD；其取值为0时表示第个会员没有获得DVD 表示第个会员在订单中给第张DVD赋予的数字 表示第种DVD的会购买量 表示所有会员对第种DVD的需求量 题给表一中愿意租赁的第种DVD总人数 表示第种DVD一个月出租一次的张数 表示第种DVD一个月出租两次的张数 表示第一问中第种DVD在第月出租一次的张数 表示第一问中第种DVD在第月出租两次的张数 表示第种DVD网站应该准备的张数 表示在研究期内会员能看到他想看的DVD会员占总会员的百分比，即受益覆盖率 会员总体受益度 表示在研究期内的会员总数约定 ： 表示会员序数，=1，2， ，1000 表示DVD序数，=1，2， ，100 表示月数，例如表示第1个月三、模型假设：1， DVD的使用次数与使用DVD的会员有关，即某张DVD分配到一个月租两次的会员手中那么该DVD本月使用两次，某张DVD分配到一个月租一次的会员手中那么该DVD本月只使用一次。2， 由于会员租赁DVD的时间是随机的，故在分配DVD时，不考虑会员得到DVD的具体时间。3， 在所有的会员中每个月有60%的会员租赁DVD两次，而另外的40%会员只租赁一次。4， 对每个会员，只要他得到他的定单中任意3张DVD，则认为他得到了他想看的DVD。5， 会员得到DVD的满意度与他对某种DVD的偏爱程度有关，同时与他赋予定单中各DVD的偏爱程度的总和也有关。6， 每个会员每月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。7， 网站在研究的时间内，会员数量保持不变，会员费也保持不变。8， 站费用支出包括两部分，一是购买DVD费用，二是分配DVD的邮资。9， 由于会员交纳了月费，每月租DVD时，会员不再额外付费。10，每月租出的DVD当月必须归还。11，会员租一次DVD或租两次DVD是均匀分布的。四、模型的分析与建立4.1 问题分析：问题一：由每月每个会员最多租赁两次可知，对于题目表一所给的DVD在一个月内要么租一次，要么租两次，故对于第种DVD的准备量在一个月内可看成是由出租一次的DVD张数和出租两次的DVD张数两部分组成。出租一次的DVD满足个会员，出租两次的DVD满足个会员，分别在题目一给出的一个月和三个月两种情况的约束条件下，以DVD数量的总和最小为目标建立整数规划模型，求解此整数规划模型就确定出至少要准备的各种DVD的张数。问题二:首先需要定义满意度，再根据表2订单中的数据，统计出这100种DVD的总张数为3007。由于当前只有1000位会员的订单需要处理，并且每位会员提交的订单中所要求的DVD数都大于或等于8，由于只考虑一次分配DVD，每位会员最多获得3张DVD,为了使满意程度最大，我们给每位会员都分3张，目的是安排一个使会员获得最大满意度的分配方案。对此问题可建立一个整数规划模型，求解得到。问题三：本问题要考虑两个方面的目标，其一为所有会员的总体满意度，再达到总体满意度最大的前提下，还需要考虑第二个目标，即网站应买各种DVD的总量尽量小。对这个问题的解决还需满足使一个月内95%的会员看到他想看的DVD，为此我们应该建立一个双目标整数规划模型，求解此模型就能得到一个满足题设要求对各种DVD的分配方案和网站应该购买各种DVD的数量。问题四：在DVD的租赁问题中，我们认为还需要考虑网站经营者的经济利益，为此我们考虑建立一个以网站经营者盈利最大为首要目标，以会员利益为次要目标的多目标整数规划模型，在保证网站经营者经济利益的前提下，尽量考虑会员的利益。将会员的受益度定义为满意度与受益覆盖率的加权和。并用求解多目标规划的分层序列法对模型进行求解。4.2 模型的建立：4.2.1 问题一的模型建立在一个月和三个月不同要求下分别建立模型：约束条件分析如下：(1)一个月的情况：对于每种DVD，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%能够看到该DVD，其约束表达式如下： j=1,2,3,4,5一个月租赁两次的会员总数与租赁一次的会员总数之比为，其约束表达式下： j=1,2,3,4,5 (2)三个月的情况：对于每种DVD，为保证希望看到该DVD的会员中至少95%能够看到该DVD，其约束表达式应为: =1,2,3,4,5每个月租赁两次的会员数与租赁一次的会员数之比为约束表达式： =1,2,3 为使每张DVD的利用率最大，每张DVD应尽量租出，根据会员的需要不买多余的DVD，每月租出的各种DVD的总量不变，其约束表达式： =1,2,3,4,5 通过上面的分析，两种情况下的模型分别为一个月情况： 模型（一） =1,2,3,4,5 =1,2,3,4,5 , 为整数 =1,2,3,4,5 三个月情况：模型（二） j=1,2,3,4,5 =1,2,3 =1,2,3,4,5 =1,2,3,4,5 =1,2,3 , 为整数 =1,2,3,4,5 =1,2,34.2.2 问题二的模型建立 一、满意度的定义由表中数据分析得，某个会员得到某张DVD的满意度与他对该DVD的偏爱程度有关，偏爱程度越高（数值越小表示偏爱程度越高），他得到该张DVD的满意度就越高，我们用表示第个会员得到第张DVD的满意度的第一部分；同时我们考虑到不同会员对同种DVD的偏爱程度可能一样，但是由于他们预定的DVD数量不一样，给所有的DVD赋予的偏爱程度的的总和不一样，所以即使他们对某种DVD赋予的偏爱度一样，他们得到该种DVD的满意度也应不一样，所以我们还考虑他们对某张DVD赋予的偏爱度所占总的偏爱度的百分比，为了不让这个百分比满意度的影响超过了前面偏爱度对满意度的影响，我们给这个百分比乘以一个权系数（0=D(I)*0.5);SUM(DVD(I):2*L2(I)/SUM(DVD(I):L1(I)=3/2;FOR(DVD:L=L1+L2);FOR(DVD:GIN(L1);GIN(L2);model: 0513.lg4!问题一三个月情况;sets:DVD/1.5/:L,D,M;mon/1.3/;DM(DVD,MON):L1,L2,F1,F2,Y1,Y2;endsetsdata:D=20000 10000 5000 2500 1000 ;ENDDATAmin=SUM(DVD:L);FOR(DVD(I):SUM(DM(I,J):L1(I,J)+2*L2(I,J)=D(I)*0.95);FOR(DVD(I):L=SUM(DM(I,J):L1(I,J)+L2(I,J);SUM(DM:2*L2)/SUM(DM:L1)=3/2;for(mon(j):SUM(dm(I,j):2*L2(I,j)/SUM(Dm(I,j):L1(I,j)=3/2);FOR(DVD(I):L1(I,1)+L2(I,1)=L1(I,2)+L2(I,2);FOR(DVD(I):L1(I,3)+L2(I,3)=L1(I,2)+L2(I,2);FOR(DM:GIN(L1);GIN(L2);END附件2：clearload A33 %A33为题给表格二会员在线订单(C0001C1000)与DVD(D001D100)对应的矩阵，导入matlab即可；a=A33;b=zeros(1000,100);for i=1:1000 for j=1:100 if a(i,j)0 b(i,j)=1/a(i,j); end endendb;%求表2中非0数据求倒，b(i,j)表示会员的偏爱程度kk=zeros(1000,1);for i=1:1000 for j=1:100 kk(i,1)=kk(i,1)+b(i,j); end end kk; %求每一行和 for i=1:1000 for j=1:100 hh(i,j)=b(i,j)/kk(i,1); end end hh; %偏爱度的百分比 for i=1:500 for j=1:100 he1(i,j)=hh(i,j); end end he1; for i=501:1000 for j=1:100 he2(i-500,j)=hh(i,j); end end he2; hez=he1;he2;mn=b+0.01*hez; %0.01为权重%mn为for i=1:500 for j=1:100t1(i,j)=mn(i,j);endendt1;for i=501:1000 for j=1:100t2(i-500,j)=mn(i,j);endendt2;附件3：model: 052.lg4!模型三;sets:d/1.100/:x;a/1.1000/:y，hh;t(a,d):tt,h;endsetsdata:h=ole(e:倒数+百分比.xls);x=10 40 15 20 20 12 30 33 35 25 29 31 28 61 2 28 28 26 31 38 34 29 35 22 29 81 1 19 25 41 29 35 1 40 39 5 106 30 29 2 110 6 15 36 34 11 32 25 2 64 40 26 33 26 61 2 11 38 44 36 27 31 42 44 12 81 10 35 33 30 2 40 15 11 28 24 20 88 9 28 31 8 22 3 70 21 34 4 38 27 39 28 24 15 50 24 36 55 2 40 ;ole(e:t.xls)=tt;enddatamax=sum(t(i,j):tt(i,j)*h(i,